If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Warianty odpowiedzi swobodnej układu RLC

Odpowiedź swobodna układu RLC wykazuje jedno z trzech zachowań: nadtłumienie, krytyczne tłumienie i niedotłumienie. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Wprowadzenie

W zależności od wartości parametrów opisujących elementy układu RLC, jego odpowiedź swobodna może przyjmować trzy różne postaci.
W dwóch poprzednich artykułach zastanowiliśmy się nad intuicyjnym opisem działania układu RLC, a następnie dokonaliśmy formalnego wyprowadzenia równań. Punktem wyjścia było równanie różniczkowe drugiego rzędu, które stanowiło model działania obwodu. Znaleźliśmy jego rozwiązania dla przykładowego obwodu z zadanymi rzeczywistymi wartościami parametrów. Teraz pochylimy się nad równaniem charakterystycznym układu i nazwiemy jego różne rozwiązania.
Schematyczne przedstawienie układu RLC, którego odpowiedź swobodną dyskutujemy w tym artykule.

Do czego zmierzamy

Równanie charakterystyczne układu RLC ma postać:
s2+RLs+1LC=0,
Rozwiązania równania charakterystycznego wyznaczymy ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:
s=R±R24L/C2L.
Po podstawieniu zmiennych α i ωo, s możemy rozpisać w uproszczonej formie:
s=α±α2ωo2.
gdzie,
α=R2L, ωo=1LC
α nazywamy współczynnikiem tłumienia, a ωo to częstość rezonansowa.
W zależności od względnych wartości α i ωo, rozwiązanie w postaci funkcji i(t) może przyjąć trzy różne formy.
  • przetłumione, α>ω0, prowadzące do sumy dwóch zanikających eksponent,
  • krytycznie tłumione α=ω0, prowadzące do postaci t razy zanikająca eksponenta
  • niedotłumione, α<ω0, prowadzące do zanikającej funkcji sinus.

Matematyczny model układu - podsumowanie

W poprzednim artykule zbudowaliśmy i rozwiązaliśmy równanie różniczkowe drugiego rzędu opisujące modelowe działanie układu RLC. Równanie to ma postać:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
Zaproponowaliśmy rozwiązanie w postaci wykładniczej, która się nam pięknie sprawdziła. Udało nam się wyprowadzić tak zwane równanie charakterystyczne układu:
s2+RLs+1LC=0,
Korzystając ze wzoru na miejsca zerowe funkcji kwadratowej, znaleźliśmy rozwiązania na s, czyli pierwiastki równania charakterystycznego układu RLC,
s=R±R24L/C2L.
Uprościliśmy nieco wyrażenie na s, wstawiając zmienne α i ωo:
s=α±α2ωo2.
gdzie α=R2L, a ωo=1LC.
α nazywamy współczynnikiem tłumienia, a ω0 to częstość rezonansowa.
Zbudowaliśmy ulepszone rozwiązanie w następującej postaci:
i=K1es1t+K2es2t.
Teraz przyjrzymy się wyrażeniu na s, pierwiastkom równania charakterystycznego układu RLC oraz temu, jaki wpływ mają na rozwiązanie na i.

Dokładne rozwiązanie

Chcąc wyznaczyć dokładne wartości R, L i C, możemy wykonać takie obliczenia, jak dla modelowego układu z poprzedniego artykułu. Drugą możliwością jest znalezienie rozwiązania korzystając z symulatora obwodów.

Drgania przetłumione, krytycznie tłumione, niedotłumione

Jakościowe spojrzenie na trzy możliwe zachowania obwodu da nam pojęcie o pełnej gamie możliwej odpowiedzi swobodnej naszego układu.
Rozwiązanie na s zależy od tego, jaki znak przyjmuje różnica znajdująca się pod pierwiastkiem w równaniu:
s=α±α2ωo2.
Tak wychodzą pierwiastki równania na s:
relacjaznak α2ω2nazwas
α>ωo+przetłumione2 rzeczywiste pierwiastki
α=ωo0krytycznie tłumione2 identyczne pierwiastki
α<ωoniedotłumione2 zespolone pierwiastki
A takie wychodzą funkcje odpowiedzi, i(t):
relacjaznak α2ω2nazwai(t)
α>ωo+przetłumione2 zanikające eksponenty
α=ωo0krytycznie tłumionet zanikająca eksponenta
α<ωoniedotłumionezanikająca sinusoida
Jeśli na studiach inżynierskich spotkasz się z teorią sterowania, zauważysz, że tych określeń używa się do opisu działania układów dynamicznych. Na przykład, ruch ramienia robota można opisać równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Jeśli wydasz robotowi komendę, by szybko sięgnął po jakiś obiekt, za pomocą poniższych słów sformułujesz opis jego działania.
Przyjrzyjmy się nieco bliżej trzem możliwym zachowaniom układu.

α2ω2>0 układ nadtłumiony

W pierwszym przypadku wartość ωo2 jest mała względem α2. Wyrażenie pod pierwiastkiem będzie dodatnie, a wartość po wzięciu pierwiastka będzie mniejsza niż α. Równanie na s ma w tej sytuacji dwa rzeczywiste, ujemne rozwiązania.
s1,2=α±α2ωo2 ,
gdzie s1=liczba rzeczywista1 and s2=liczba rzeczywista2
(Upewnij się, że widzisz czemu zarówno s1, jak i s2 są liczbami ujemnymi.)
Natężenie prądu wyraża się przez superpozycję dwóch funkcji eksponencjalnych zbiegających do zera,
i=K1ereal1t+K2ereal2t.
Układ jest nadtłumiony, co przejawia się tym, że obie nałożone na siebie funkcje zbiegają do zera. Mówimy, że układ jest nadtłumiony, gdy opór jest wysoki w odniesieniu do częstości rezonansowej.

α2ω2=0 układ krytycznie tłumiony

Gdy α=ωo, układ znajduje się na granicy nadtłumienia i niedotłumienia. Współczynnik tłumienia równoważy częstość rezonansową. Wyraz pod pierwiastkiem redukuje się do 0. Równanie charakterystyczne na s ma dwa jednakowe, rzeczywiste rozwiązania nazywane pierwiastkami podwójnymi:
s1,2=α±α2ωo20 ,
s1,2=α.
Przy rozwiązywaniu równania różniczkowego drugiego rzędu z pierwiastkami podwójnymi trzeba uważać na kilka pułapek. Nie będę prowadził Cię przez całe wyprowadzenie, ale pokieruję Cię do świetnego filmu nagranego przez Sala na temat pierwiastków wielokrotnych. Witam z powrotem... Rozwiązanie równania z pierwiastkiem podwójnym jest w postaci funkcji eksponencjalnej pomnożonej przez t.
i=V0Lteαt ,
Układ wykazuje krytycznie tłumioną odpowiedź.

α2ω2<0 układ niedotłumiony

Gdy α jest mniejsze od ωo, wyraz pod pierwiastkiem jest ujemny, a rozwiązaniami na s są dwie sprzężone liczby zespolone o częściach rzeczywistych i urojonych. Przykładowy obwód, który rozwiązaliśmy w artykule odpowiedź naturalna układu RLC - wyprowadzenie jest przykładem układu niedotłumionego.
Przebieg natężenia prądu w czasie przypomina zanikającą sinusoidę. Wyobraź sobie dźwięk, który wydaje dzwon po uderzeniu. Jego dźwięk wybrzmiewa i z czasem zanika. Jest to przykład niedotłumionego układu mechanicznego drugiego rzędu. O obwodach elektrycznych drugiego rzędu mówimy że "drgają" z częstością zbliżoną do ωo=1LC, pożyczając to określenie z opisu układów mechanicznych.
W miarę jak stopniowo zmniejszamy opór do zera, α=R/2L zbiega do zera a s1,2 staje się tożsame z ωo. Układ przechodzi do konfiguracji LC. Analizując odpowiedź naturalną układu LC, uzyskaliśmy utrzymującą się funkcję sinusoidalną. W rzeczywistości R nigdy nie jest równe dokładnie zero. Zatem zawsze pewna ilość energii jest tracona. Dźwięk dzwonu nie brzmi wiecznie.
Pierwszy obwód, który rozwiązaliśmy miał R=2Ω,L=1H i C=1/5F.
Nie będziemy powtarzać wyprowadzenia. Zamiast tego opiszmy go za pomocą α i ωo.
Współczynnik tłumienia α wynosi
α=R2L=221=1
a częstość rezonansowa ωo:
ωo=1LC=111/5=5
Wyrażenie pod pierwiastkiem:
α2ω2=1252=4 jest liczbą ujemną, co, jak widzieliśmy, prowadzi do rozwiązania w postaci zanikającej sinusoidy. Mamy zatem do czynienia z przykładem układu niedotłumionego.

Podsumowanie

Układ RLC jest elektrycznym odpowiednikiem wahadła z uwzględnieniem tarcia. Zachowanie obwodu opisuje liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
Równanie charakterystyczne ma postać:
s2+RLs+1LC=0,
W celu znalezienia pierwiastków równania charakterystycznego, skorzystaliśmy z równania na miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
s=R±R24L/C2L.
Uprościliśmy nieco wyrażenie na s, wstawiając zmienne α i ωo:
s=α±α2ωo2.
gdzie α=R2L, a ωo=1LC.
W zależności od względnych wartości α i ωo, opisaliśmy trzy różne rozwiązania:
  • przetłumione, α>ω0, prowadzące do sumy dwóch zanikających eksponent,
  • krytycznie tłumione α=ω0, prowadzące do postaci t mnożącego zanikającą eksponentę
  • niedotłumione, α<ω0, prowadzące do zanikającej funkcji sinusoidalnej

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.