Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Charakterystyka i-v cewki w działaniu

Przyjrzymy się równaniom i-v cewki indukcyjnej i pokażemy jak ważne jest zapewnienie jej ścieżki przepływu prądu. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.
Jednym spośród idealnych komponentów jest cewka. Przyjrzymy się wzajemnej zależności prądu i napięcia w cewce, tak by dowiedzieć się więcej o jej zachowaniu

Do czego zmierzamy

W tym artykule:
  • Zbadamy różniczkową oraz całkową postać równania i-v cewki:
v=Ldidt i=1L0Tvdt+i0
  • Zbudujemy proste obwody, łącząc cewkę ze źródłem prądowym albo napięciowym oraz z przełącznikiem.
  • Dowiemy się, dlaczego przy stałym natężeniu prądu cewka zachowuje się jak zwykły kawałek przewodu, zwany zwarciem.
  • Dowiemy się, dlaczego zmiana natężenia prądu w cewce nie jest natychmiastowa.
  • W obwodzie z przełącznikiem dochodzimy do paradoksu. Co dzieje się z prądem płynącym przez cewkę w momencie otwarcia przełącznika?
  • Pokażemy jak chronić wrażliwe komponenty przed wysokimi napięciami wygenerowanymi przez cewkę.

Równania i-v cewki

v=Ldidt i=1L0Tvdt+i0
Oto różniczkowa i całkowa postać równania cewki.
L oznacza indukcyjność, wielkość fizyczną opisującą cewkę.
W równaniu wiążącym napięcie v z różniczką natężenia prądu po czasie di/dt, L występuje jako stała proporcjonalności.
L określa jak wysokie napięcie v zostanie wytworzone przez zadaną ilość di/dt.
i0 oznacza początkowe natężenie prądu płynącego przez cewkę w chwili t=0.

Napięcie na cewce jest proporcjonalne do zmiany natężenia prądu

Ucząc się o tym, jak działają oporniki, przyswoiliśmy prawo Ohma. Mówi nam ono, że napięcie na oporniku jest proporcjonalne do natężenia prądu płynącego przez niego, v=iR.
W przypadku cewki analogiczne równanie i-v ma postać: v=Ldidt.
Mówi nam ono, że napięcie na cewce jest propocjonalne do zmiany natężenia prądu, który przez nią płynie.
Ustaliliśmy wcześniej, że dla rzeczywistego opornika przyłożone napięcie i natężenie puszczonego nań prądu nie mogą być za wysokie. W przypadku rzeczywistej cewki, musimy zwrócić uwagę na to, by napięcie oraz zmiana natężenia prądu nie były zbyt wysokie. Bywa to kłopotliwe, bo istnieje jeden bardzo prosty sposób na wytworzenie gwałtownej zmiany natężenia prądu. Jest nią otwarcie albo zamknięcie przełącznika. Dalej dowiemy się jak zaprojektować obwód z myślą o tej sytuacji.

Cewka i źródło prądowe

Na początku rozważymy cewkę podłączoną do idealnego źródła prądowego.
Źródło prądowe zasila cewkę prądem o stałym natężeniu i=I, na przykład i=2mA. Ile wynosi napięcie na cewce?
Przypomnijmy równanie cewki:
v=Ldidt.
Oznacza ono, że napięcie jest proporcjonalne do zmiany natężenia prądu płynącego przez cewkę.
Źródło prądowe podaje prąd o stałym natężeniu, więc tempo jego zmian wynosi dokładnie 0.
didt=d2dt=0 (jak powszechnie wiadomo, wyrażenie takie jak 2 nie jest zmienne w czasie)
Zatem napięcie na cewce wynosi:
v=L0
v=0
Jeśli przez cewkę płynie prąd stały, a więc taki dla którego di/dt=0, na cewce nie pojawia się napięcie.
Zerowe napięcie mówi nam, że przy prądzie o natężeniu stałym w czasie, cewka zachowuje się jak zwarcie czyli zwykły kawałek drutu.
Nawet jeśli natężenie prądu samo w sobie jest bardzo wysokie, na przykład 100A, to, jeśli nie zmienia się w czasie, prowadzi do wygenerowania napięcia 0 woltów.

Cewka i źródło napięciowe

Zobaczmy teraz, jaką postać przybierze równanie cewki po przyłączeniu jej do idealnego źródła napięciowego.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że v=3V, a L=10mH.
Wstawiwszy te wartości do równania cewki otrzymamy:
v=Ldidt.
3=10mHdidt
przekształcimy, tak by znaleźć wartość di/dt:
didt=310103=300amperów/sek
Wyszło nam, że przyrost natężenia prądu w cewce wynosi 300amperów/sekundę.
To niewiarygodne, ale tak wychodzi z naszego równania. Oczywiście, nie jest to najbardziej użyteczny obwód. Zbudowaliśmy go w wyobraźni, po to, by zobaczyć jak zachowa się cewka z przyłożonym stałym napięciem. Gdybyśmy faktycznie stworzyli rzeczywisty obwód, natężenie przyrastałoby do momentu, w którym źródło napięciowe nie wytrzymałoby poboru coraz większej ilości prądu. Rozważając jednak krótki odcinek czasu, dokładnie tak pracowałaby rzeczywista cewka.
Stałe napięcie na cewce generuje prąd, którego natężenie narasta w sposób liniowy.

Cewka i przełącznik

Teraz zmierzymy się z całkową postacią równania cewki. Przyda nam się ona w analizie obwodu w który wpięto przełącznik.
Teraz obwód zawiera źródło napięciowe połączone szeregowo z cewką o indukcyjności 10mH oraz przełącznik z przyciskiem wyzwalającym (p). Na górnym zacisku cewki utrzymane jest na stałym poziomie 3V powyżej napięcia uziemienia. Napięcie na cewce nazwiemy vL, a na przełączniku: vp, które jest tożsame z napięciem na dolnym zacisku cewki.
W chwili t=0 wciskamy przycisk zwierając obwód i wyzwalając przepływ prądu. Znajdźmy wartość natężenia prądu i przez cewkę. Tym razem posłużymy się całkową postacią równania cewki.

Przed wciśnięciem przycisku

Przyjmujemy, że początkowe natężenie prądu płynącego przez cewkę było zerowe: i(0)=0. Przed chwilą t=0, przycisk nie był wciśnięty, więc obwód był otwarty.

Po wciśnięciu przycisku

W chwili t=0 wciśnięto przycisk.
W chwili zamknięcia przełącznika, vp spada do 0V. Źródło podające napięcie +3V jest teraz podłączone do cewki. Prąd zaczyna płynąć, stopniowo rosnąc poczynając od 0. Cewka całkuje napięcie zgodnie ze swoim równaniem:
i(t)=1L0tv(x)dx+i(0)
Granica całkowania t oznacza ilość czasu, który upłynął od wciśnięcia przycisku. Póki pozostaje wciśnięty, cewka całkuje (czyli sumuje) napięcie, a natężenie prądu wciąż rośnie.
Wpiszmy wartości zmiennych, które znamy L i v:
i(t)=110mH0t3dx+0
Z całki zostaje nam po prostu x. Podstawiamy x w przedziale od 0 do t.
i(t)=3V10mHx|0t
i(t)=3V10mH[t0]
i(t)=3V10mHt
Jest to równanie prostej, stosowane tak długo, jak przycisk jest wciśnięty. Współczynnik nachylenia prostej wynosi:
3V0,010H=300A/s
Póki przełącznik jest zamknięty, natężenie prądu narasta co sekundę o 300 amperów. Cała ta energia kumuluje się w polu magnetycznym cewki.
Wybierzemy konkretny moment czasu: po upływie 0,002 sekund (2ms) od wciśnięcia przycisku, natężenie wzrasta do 3000,002=0,6A lub inaczej, 600mA.
Natężenie prądu stopniowo rośnie (albo spada) podczas gdy cewka całkuje podane na nią napięcie po czasie.
Wyszła nam ta sama wartość co powyżej, gdy stosowaliśmy różniczkową postać równania cewki.
W którymś momencie w końcu będziemy musieli zdjąć palec z przycisku.

Puszczenie przycisku

Przyjmijmy, że w chwili t=2ms puszczamy przycisk a przełącznik się otwiera. Zastosujmy różniczkową postać równania cewki aby zobaczyć co się stanie:
v=Ldidt.
Po puszczeniu przycisku, spodziewalibyśmy spadku natężenia prądu z 600mA do 0mA. Chwileczkę. To oznaczałoby, że w czasie równym 0, i zmienia się z pewnej skończonej wartości do 0 amperów.
Pochodna natężenia prądu po czasie, di/dt, wynosi (0600)/0, czyli nieskończoność!
Z równania cewki wynika, że v będzie nieskończone! Czy to możliwe? Nie. Natężenie prądu na cewce nie może zmienić się w sposób natychmiastowy, gdyż oznaczałoby to powstanie nieskończonego napięcia, co jest niemożliwe. Niechęć do zmiany wynika z energii zmagazynowanej w polu magnetycznym cewki.
Natężenie prądu w cewce nie zmienia się w sposób natychmiastowy.
Przed nami zagadka. Otworzyliśmy przełącznik w momencie, gdy przez cewkę płynął prąd. Otwarcie przełącznika oznacza, że prąd nie ma dokąd płynąć. Co stanie się z prądem, który bardzo chciałby płynąć dalej przez cewkę?

Co dzieje się w idealnym obwodzie?

Co za bałagan. Mamy tyle prądu i napięcia ile byśmy tylko chcieli. Niestety, znaleźliśmy się w położeniu, w którym idealne modele załamują się. Stworzyliśmy niemożliwą do rozstrzygnięcia walkę: natężenie prądu powinno jednocześnie być zerowe i nieskończone. Rozbolała mnie już głowa.

Co dzieje się w rzeczywistym obwodzie?

Kiedy przełącznik otwiera się w chwili t=2ms, spodziewamy się spadku natężenia prądu z 600mA do 0mA w czasie 0. Nie bądźmy jednak zachłanni i przyjmijmy, że przełącznik może potrzebować 1μs na przejście ze stanu zamkniętego do otwartego. Napięcie, które pojawiłoby się na cewce wynosi:
vL=Ldidt
vL=10mH(0600mA)1μs=10103600103106V
vL=6000woltów!!
Napięcie na cewce rośnie do olbrzymich wartości! Zacisk + cewki jest utrzymywany na poziomie +3 V powyżej napięcia uziemienia. Ujemna wartość vL oznacza, że potencjał na zacisku jest 6000 woltów powyżej zacisku dodatniego.
W takim razie vp=3+6000=+6003V.
Czy opisana sytuacja ma miejsce w rzeczywistości?
Tak gwałtowny skok napięcia w rzeczywistości spowoduje przeskoczenie iskry w powietrzu pomiędzy stykami przełącznika. Zgromadzona w polu magnetycznym energia jest w jednej chwili uwolniona, czemu towarzyszy krótki błysk światła. To co zrobiliśmy tutaj jest zresztą jednym z najlepszych sposobów na wywołanie iskry.
W rzeczywistej realizacji obwodu, który służy nam za przykład, iskra zaczyna się w okolicy napięcia 3000 wolt. Jeśli przełącznik jest fizycznie wytrzymały, zniesie pojawienie się iskry. Jeśli jednak użyliśmy bardziej wrażliwego przełącznika, na przykład wykorzystując w tym celu tranzystor, z dużym prawdopodobieństwem wysokie napięcie doprowadzi do jego zniszczenia.
Natykamy się na paradoks: Jak możliwe jest pojawienie się prądu o skończonym natężeniu w sytuacji, kiedy obwód jest otwarty? W rzeczywistości paradoks rozwiązany jest tym, że efekt związany z obecnością cewki góruje nad otwartym obwodem, który zostaje zwarty na czas pojawienia się iskry.
Jeśli chcesz, możesz skończyć czytać w tym miejscu. Wiesz już, jak skorzystać z obu postaci równania cewki. W opcjonalnej sekcji poniżej opisano jak zaprojektować obwód z cewką tak by uniknąć pojawienia się znacznego skoku napięcia.
Poniższy opis będzie bardziej zrozumiały i najwięcej na nim skorzystasz, jeśli dowiesz się najpierw jak działa dioda. Dioda przewodzi prąd tylko w jednym kierunku, a w przeciwnym prąd jest blokowany.
Jak uniknąć zniszczenia obwodu przez skok napięcia na cewce? Projektując obwód z cewką, która może być włączona i wyłączona z obwodu, trzeba o tym pamiętać i zapewnić prądowi ścieżkę, którą może płynąć.

Zróbmy ścieżkę dla prądu

Wyzwaniem, które przed nami stoi, jest zaprojektowanie obwodu w taki sposób, aby zapewnić alternatywną ścieżkę dla przepływu prądu. Chcemy uniknąć sytuacji, w której cewka nagle znajdzie się w otwartym obwodzie.
Skok napięcia nie pojawi się, jeśli równolegle do cewki zostanie wpięta dioda. Dioda zapewnia bezpieczną ścieżkę dla prądu z rozładowującej się cewki, unikając jednocześnie uszkodzenia przez przeskakującą iskrę.
Pierwszą rzeczą, która zapewne zwróci twoją uwagę jest kierunek diody. Strzałka na jej symbolu skierowana jest do góry, co oznacza, że prąd będzie płynął przez diodę jedynie w górę.
Przed zamknięciem przełącznika, w obwodzie nie płynie żaden prąd. Zatem napięcie na cewce i na diodzie wynosi 0. vp ma wartość 3V.

Zamykamy przełącznik

W momencie zamknięcia przełącznika, prąd płynie przez niego i przez cewkę, dokładnie tak jak w obwodzie bez diody:
Jakie napięcie wytworzy się na zaciskach diody w momencie zamknięcia przełącznika?
vL=
V

Czy dioda jest spolaryzowana w kierunku przewodzenia, czy w zaporowym?
Wybierz 1 odpowiedź:

Ile w przybliżeniu wynosi natężenie prądu na diodzie?
Natężenie prądu diodowego
A

Otwieramy przełącznik

Teraz puszczamy przycisk. Przełącznik się otwiera. Dioda teraz zrobi dla nas coś sprytnego. Bez niej, otwarcie przełącznika doprowadzało do olbrzymiego skoku napięcia vp.
W pierwszym momencie po otwarciu obwodu, dioda niewiele zmienia. Pojawia się wysokie di/dt, a vp gwałtownie skacze do olbrzymiej dodatniej wartości, tak samo jak miało to miejsce bez diody.
Co dzieje się z diodą w momencie, gdy vp wzrasta do wartości powyżej 3 voltów? (w naszym przypadku o około 0,7V)
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Jednak dzięki diodzie, prąd cewki ma dokąd płynąć. Tym razem na zaciskach przełącznika nie pojawi się iskra. Dzięki swojej charakterystyce i-v, dioda zatrzyma wzrost napięcia vp. Może pojawić się napięcie rzędu 3,7 woltów albo trochę wyższe. Dioda cofa napięcie do tej wartości. Często nazywa się ją diodą cofania. Zapobiegła pojawieniu się niechcianego łuku. Wszystko skończyło się dobrze.
Prąd cewki, o natężeniu i, krąży przez diodę dopóki energia nie zostanie rozproszona w postaci ciepła na rezystancji drutu. Dioda zatrzymuje skok indukowanego napięcia i chroni elementy obwodu.

Podsumowanie

Natężenie prądu cewki nie zmienia się w sposób natychmiastowy.
Przy stałym natężeniu prądu, cewka zwiera obwód.
Zachowaj ostrożność tworząc obwód z cewką. Nagła zmiana prądu, taka jak otwarcie przełącznika, które uniemożliwia przepływ, sprawia, że pochodna natężenia po czasie, di/dt, staje się bardzo duża. Równanie cewki mówi nam, że na zaciskach cewki wygenerowane zostanie duże napięcie.
Obwody z cewkami projektuje się tak, by przepływ był zawsze możliwy alternatywną ścieżką. Wtedy nie pojawi się wysokie di/dt. Pokazaliśmy jak włączyć do obwodu diodę cofania, która zatrzyma nagły wzrost napięcia cewki. Po otwarciu przełącznika napięcie utrzyma się w akceptowalnym zakresie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.