If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Przekształcenie gwiazda-trójkąt

Poznamy dodatkową technikę używaną do połączeń oporników, których nie da się uprościć szukając połączeń szeregowych bądź równoległych. Metoda ta nazywana jest transformacją trójkąt-gwiazda.  Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.
Pracując nad uproszczeniem obwodu z opornikami, zdarza się, że utkniemy w martwym punkcie. Niektórych połączeń nie da się rozwiązać metodami, które poznaliśmy wcześniej, a które dotyczą połączeń równoległych albo szeregowych. Aby wyjść z tego klinczu, z pomocą przychodzi tak zwana transfiguracja (przekształcenie) trójkąt-gwiazda, w anglosaskiej literaturze zwana przekształceniem ΔY.
Określenie "trójkąt-gwiazda" odnosi się do kształtu połączeń, między którymi dokonujemy transfiguracji. W pierwszym z nich elementy są połączone w trójkąt, przypominający kształtem grecką wielką literę Δ (delta). W drugim zaś elementy tworzą gwiazdę — rozwidlenie przypominające literę alfabetu łacińskiego Y.
Przedstawienie połączeń w postaci trójkąta i gwiazdy w powyższy sposób podkreśla, że mamy do czynienia z elementami o trzech zaciskach -- tak zwanymi trójnikami. Zwróć uwagę, że w konfiguracji gwiazdy mamy jedynie trzy węzły znajdujące się na zewnątrz, a w gwieździe -- cztery. Występuje tu dodatkowy węzeł w środku.
Te rodzaje połączeń możemy rozrysować za pomocą linii prostopadłych. Wtedy nazywamy to transfiguracją πT, choć to określenie występuje głównie w literaturze anglosaskiej.
Styl πT jest w zgodzie z przyjętą konwencją rysowania schematów obwodów. Wszystkie równania transformacyjne, które za chwilę wyprowadzimy stosuje się również do połączenia typu πT.

Transfiguracja trójkąt-gwiazda (ΔY)

Połączenie powstałe w wyniku tego przekształcenia będzie równoważne wyjściowemu, jeśli na wszystkich parach zacisków mierzony będzie ten sam opór. Możemy rozpisać układ trzech równań, który opisuje tę sytuację.
Rozważmy zaciski x i y zakładając na razie, że z nie jest z niczym połączone, a prąd płynący przez R3 wynosi 0. W konfiguracji trójkąta, opór między punktami x i y wynosi Rc z wpiętym równolegle oporem Ra+Rb. Δ
W obwodzie Y, opór zmierzony pomiędzy x i y wynosi R1+R2 (przypomnij sobie o założeniu, że z nie jest podłączone do niczego. Wobec tego przez R1 i R2 płynie ten sam prąd i możemy stwierdzić, że są połączone szeregowo). Teraz możemy zapisać pierwsze z równań w układzie opisującym te połączenia,
R1+R2=Rc(Ra+Rb)Rc+(Ra+Rb)
Dla pozostałych dwóch par zacisków możemy rozpisać analogiczne równania. Zwróć uwagę na oznaczenia. W konfiguracji trójkąta do indeksowania oporników użyliśmy liter (Ra, itd.), a w przypadku gwiazdy -- liczb (R1, itd.).
Rozwiązanie układu równań (nie rozpiszemy tu wszystkich) pozwoli nam przekształcić jedną konfigurację w drugą.

Transfiguracja trójkąt-gwiazda (ΔY)

Równania wyrażające opory w konfiguracji gwiazdy po transfiguracji z trójkąta mają następującą postać:
R1=RbRcRa+Rb+Rc
R2=RaRcRa+Rb+Rc
R3=RaRbRa+Rb+Rc
Transfiguracja trójkąt-gwiazda wprowadza do obwodu dodatkowy węzeł.

Transfiguracja gwiazda-trójkąt (YΔ)

Równania wyrażające opory po transfiguracji trójkąt-gwiazda mają następującą postać: Δ
Ra=R1R2+R2R3+R3R1R1
Rb=R1R2+R2R3+R3R1R2
Rc=R1R2+R2R3+R3R1R3
Transfiguracja gwiazda-trójkąt powoduje usunięcie jednego węzła.

Przykład

Rozwiążmy przykład z połączeniem identycznych oporników. Załóżmy, że chcemy przekształcić połączenie typu trójkąt trzech oporników, każdy o oporze 3Ω. Obliczmy równoważne połączenie typu gwiazda używając równań odpowiedniej transfiguracji.
R1=RbRcRa+Rb+Rc=333+3+3=1Ω
R2=RaRcRa+Rb+Rc=333+3+3=1Ω
R3=RaRbRa+Rb+Rc=333+3+3=1Ω
Odwrotna transfiguracja gwiazda-trójkąt, przebiega następująco:
Ra=R1R2+R2R3+R3R1R1=11+11+111=3Ω
Rb=R1R2+R2R3+R3R1R2=11+11+111=3Ω
Rc=R1R2+R2R3+R3R1R3=11+11+111=3Ω

Przykład

Teraz zróbmy odrobinę bardziej złożony przykład. Wyznaczmy opór zastępczy pomiędzy górnym i dolnym zaciskiem.
Jakkolwiek się nie postaramy, nie znajdziemy ani szeregowych, ani równoległych oporników. Jednak nic straconego. W pierwszej kolejności, narysujmy schemat tak, by było jasne, że mamy do czynienia z dwoma połączeniami typu trójkąt.
Wybierzmy teraz jeden z trójkątów i przekształćmy go w gwiazdę. Przeprowadzimy transfigurację i zobaczymy, czy uda nam się wyjść z klinczu i dalej uprościć obwód.
Zaczniemy od dolnego trójkąta (wybór jest arbitralny). Bardzo ostrożnie oznaczymy oporniki i węzły. Musimy pilnować oznaczeń oporników i węzłów, jeśli mamy otrzymać prawidłowy wynik transformacji. Rc musi łączyć węzły x i y, i tak dalej dla pozostałych oporników. Konwencja została przedstawiona powyżej na Diagramie 1.
W wyniku transformacji dolnego trójkąta, oznaczone na czarno oporniki będą zastąpione szarymi w nowo powstałej gwieździe zgodnie z poniższym diagramem:
Spróbuj samemu wykonać transfigurację. Upewnij się, że wybrałeś odpowiedni zestaw równań.
Oblicz nowe wartości oporów przy transformacji trójkąt-gwiazda, a następnie narysuj obwód.
Udało się! Zobacz jak wygląda teraz nasz obwód. Znajdują się w nim szeregowe i równoległe połączenia oporników, których nie było tam wcześniej. Kontynuuj upraszczanie do momentu w którym w obwodzie będzie tylko jeden opornik. Poniżej rozrysowano schemat używając prostopadłych linii do których jesteśmy przyzwyczajeni.
W dalszych krokach postępujemy analogicznie do poprzedniej lekcji, "Analiza i upraszczanie układów oporników"
W lewej gałęzi, 3,125+1,25=4,375Ω
W prawej gałęzi, 4+1=5Ω
Równoległe oporniki zastąpimy poprzez 4,375||5=4,37554,375+5=2,33Ω
Na koniec szeregowe oporniki zastąpimy sumując ich opory:
Rrównoważne=2,33+1,66=4Ω

Podsumowanie

Transfiguracja trójkąt-gwiazda jest kolejnym narzędziem w naszym arsenale pracy nad upraszczaniem obwodów, zanim przystąpimy do ich analizy.
Nie zaprzątaj sobie głowy zapamiętywaniem równań tych transformacji. W razie potrzeby zawsze możesz je sprawdzić.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.