Przypomnienie wiadomości o rozkładzie wektorów na prostopadłe składowe

Przypomnij sobie, jak rozkładamy wektory na składową poziomą i pionową. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Wektory i trygonometria

Przypomnij sobie, jeśli zaniedbamy opór powietrza, to analizę ruchu w dwóch wymiarach, na przykład rzut ukośny, można uprościć, rozbijając na dwa niezależne układy równań, opisujące przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie niezależnie w kierunkach poziomym i pionowym. Ponieważ są to wielkości wektorowe, musimy zastanowić się jak rozłożyć je na składowe w tych kierunkach.

Wyznaczanie poziomych i pionowych składowych wektora

Chodzi nam o znalezieniu dwóch wektorów, których suma da wyjściowy wektor i które są skierowane jeden w poziomo i w prawo, a drugi pionowo i do góry. Możemy wyznaczyć długości tych dwóch wektorów składowych,

A_{x}

A_{y}

, stosując twierdzenie Pitagorasa (Rysunek 1a).

A

jest długością wyjściowego wektora, a zarazem przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym.

A_{x} = A \cos θ

A_{y} = A \sin θ

Nie, wszystko zależy od tego, jak zdefiniujemy kąt. Rysunek 1 przedstawia jedną z możliwości. Lepiej kierować się następującą zasadą:

Cosinus równa się stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej. $\cos θ = \frac{przyprostokątna przyległa}{przeciwprostokątna}$ ‍
Sinus równa się stosunkowi przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta do przeciwprostokątnej. $\sin θ = \frac{przyprostokątna naprzeciwległa}{przeciwprostokątna}$ ‍

Na rysunku 1b przedstawiliśmy inną możliwość; kąt

θ

mierzony jest od osi

Y

, a nie od osi

X

Keep in mind however that the components of a vector can be negative. So if you measure the angle of a vector from an axis that is not the positive x axis, you may need to supply your own negative signs by hand for any components that point down or left.

Obliczenie długości wypadkowego wektora, gdy znane są jego składowe

Znajomość długości składowych poziomej i pionowej pozwala nam obliczyć długość wyjściowego wektora za pomocą twierdzenia Pitagorasa (Rysunek 2).

| A | = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}}

Jak wyznaczyć kierunek i zwrot wektora?

Do wyznaczenie kąta

θ

, jaki wektor tworzy z dodatnim kierunkiem osi

X

, posłużą nam współrzędne

A_{x}

A_{y}

tego wektora oraz definicja funkcji tangens:

\tan θ = | \frac{A_{y}}{A_{x}} |

Aby wyznaczyć kąt

θ

skorzystamy z funkcji odwrotnej do funkcji

\tan

θ = \arctan | \frac{A_{y}}{A_{x}} |

Często spotykane błędy i nieporozumienia

Zdarza się, że ktoś nie wie jaką funkcję trygonometryczną, $\sin$ ‍ czy $\cos$ ‍, wykorzystać, aby wyznaczyć składowe czy współrzędne wektora. Zasada jest prosta, narysuj trójkąt prostokątny i pamiętaj:

\begin{aligned} \sin θ & = \frac{przyprostokątna naprzeciwległa}{przeciwprostokątna} \\ \cos θ & = \frac{przyprostokątna przyległa}{przeciwprostokątna} \\ \tan θ & = \frac{przyprostokątna naprzeciwległa}{przeciwprostokątna} \end{aligned}

Dowiedz się więcej

Aby pogłębić swoją wiedzę na ten temat, zobacz nasz film Wektory w dwóch wymiarach, graficzne dodawanie wektorów.

Jeśli chcesz sprawdzić swoje zrozumienie pojęcia wektorów i dodawania i odejmowania wektorów, zajrzyj do tego ćwiczenia: Suma wektorów i rozkład wektorów na składowe za pomocą funkcji trygonometrycznych.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.