Główna zawartość
Część 4: Podstawowe umiejętności konieczne w nauce fizyki - różniczkowanie
O tym dziale
Certain ideas in physics require the prior knowledge of differentiation. The big idea of differential calculus is the concept of the derivative, which essentially gives us the rate of change of a quantity like displacement or velocity.Dowiedz się co to jest nachylenie (stromość linii) i jak je znaleźć.
Ucz się sam(a)!
ĆWICZENIE
O co chodzi w rachunku różniczkowym? Odpowiedź na to pytanie leży właśnie przed Tobą.
Ucz się sam(a)!
ĆWICZENIE
Zdobądź trochę praktyki w pracy z siecznymi. Pomoże nam to w znalezieniu formalnej definicji pochodnej.
Granica to wartość, do której zbliżają się wyrazy ciągu (na przykład ciągu wartości funkcji) gdy liczba wyrazów ciągu dąży do nieskończoności (albo gdy argumenty tej funkcji dążą do pewnej wartości). W tym rozdziale spróbujemy pomóc Ci zbudować intuicje na temat obliczania granic.
Ucz się sam(a)!
ĆWICZENIE
Istnieją dwa sposoby na zdefiniowanie pochodnej funkcji f w punkcie x=a. Formalna definicja to granica [f(a+h)-f(x)]/h dla h dążącego do 0, a alternatywna definicja to granica [f(x)-f(a)]/(x-a) dla x dążącego do a. Zapoznaj się z tymi dwiema definicjami.
Ucz się sam(a)!
ĆWICZENIE
Zobacz jak obliczyć pochodną funkcji wychodząc z definicji pochodnej. Obliczymy w ten sposób pochodną funkcji (x)=x² w pukcie x=3, a także dla dowolnej wartości argumentu x.
Ucz się sam(a)!
Może cię to zaskoczyć, ale pochodna funkcji sama jest funkcją! Przyzwyczaj się do świadomości, że pochodna jest funkcją, która jest oddzielna od funkcji pierwotnej, ale ściśle z nią powiązana.
Jeśli zdarzyło ci się kiedyś próbować znaleźć pochodne za pomocą ich formalnej definicji, zapewne wiesz jak nudne to może być. Na szczęście mamy sposoby na znajdowanie pochodnych o wiele szybciej, przy użyciu reguł różniczkowania! Zrób swoje pierwsze kroki w tym fascynującym świecie pracując z bardziej podstawowymi regułami. Na przykład pochodna [f(x)+g(x)] to f'(x)+g'(x), a pochodna k⋅f(x) to k⋅f'(x).
Ucz się sam(a)!
ĆWICZENIE
Wzór na pochodną funkcji potęgowej mówi, że pochodna xⁿ wynosi n⋅xⁿ⁻¹. Dzięki temu, możemy szybko policzyć pochodną dowolnego wielomianu, a w zasadzie pójść jeszcze dalej! Zapoznaj się z tą prostą, a jakże potężną regułą.
Wykorzystanie wzoru na pochodną funkcji potęgowej do różniczkowania wielomianów.
Pochodna sin(x) równa się cos(x), a pochodna cos(x) wynosi -sin(x). jakże przydatne! Poćwicz różniczkowanie funkcji składających się z sinusów i kosinusów.
Wzór na różniczkowanie iloczynu dwóch funkcji mówi, że pochodna iloczynu f(x)g(x) równa się f'(x)g(x)+f(x)g'(x). W ten sposób możemy obliczyć pochodną funkcji będąca iloczynem dwóch innych, prostszych funkcji.
Wzór na pochodną funkcji złożonej mówi, że pochodna złożenia f(g(x)) równa się f'(g(x))⋅g'(x). W ten sposób możemy obliczyć pochodną złożenia funkcji i wagę tego trudno przecenić!