Główna zawartość

Kurs: Fizyka - 11 klasa (Indie) > Rozdział 4

Lekcja 13: Reguła łańcuchowa, czyli wzór na pochodną funkcji złożonej

Reguła łańcuchowa - podsumowanie

Heurystyczne "wyprowadzenie" wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Wprowadzenie

Jeśli mamy zadane dwie funkcje,

f (x)

g (x)

, na przykład

f (x) = x^{2}

, a

g (x) = \sin (x)

, wiemy jak policzyć pochodną funkcji, która jest ich sumą:


Reguła:	$\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ ‍
Przykład:	$\frac{d}{d x} (x^{2} + \sin (x)) = 2 x + \cos (x)$ ‍

Umiemy także obliczyć pochodną iloczynu dwóch funkcji:


Reguła:	$\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) g^{'} (x) + g (x) f^{'} (x)$ ‍
Przykład:	$\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \sin (x)) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x$ ‍

Formuła, zwana regułą łańcuchową mówi nam, w jaki sposób obliczyć pochodną funkcji złożonej, to znaczy

f (g (x))


Reguła:	$\frac{d}{d x} (f (g (x)) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ ‍
Przykład:	$\frac{d}{d x} (\sin (x))^{2} = 2 (\sin (x)) \cos (x)$ ‍

Heurystyczne, intuicyjne wyprowadzenie z lekkim algebraicznym oszukaństwem

Ostrzeżenie: Ten paragraf może wywołać silny ból głowy i nudności u osób wrażliwych na ścisłość rozumowania i notacji

Zazwyczaj zapisujemy funkcje i pochodne w odniesieniu do zmiennej

x

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x

Możemy oczywiście użyć innej litery na oznaczenie zmiennej niezależnej.

\frac{d}{d a} (a^{2}) = 2 a

A co się stanie, jak zrobimy coś naprawdę szalonego i zastąpimy

x

przez nazwę funkcji zamiast przez literę.

\frac{d}{d (\sin (x))} (\sin (x))^{2} = 2 \sin (x)

Nie jest wprawdzie całkiem jasne, co ten zapis

\frac{d}{d (\sin (x))}

miałby właściwie znaczyć, ale zapomnijmy o tym na chwilę. Możemy sobie wyobrazić, że mnożymy to przez

\frac{d (\sin (x))}{d x}

aby "uprościć" wyraz

d (\sin (x))

\frac{d (\sin (x))^{2}}{d (\sin (x))} \cdot \frac{d (\sin (x))}{d x} = \frac{d}{d x} (\sin (x))^{2}

Ściśle, matematycznie rzecz biorąc, nie można tak postąpić, poniewaź ani "

d x

" ani "

d (\sin (x))

" nie są liczbami ani funkcjami, więc nie możemy ich upraszczać. Całe to wyprowadzenie można zrobić ściśle, angażując bardziej zaawansowaną matematykę, więc na razie potraktujmy to, co zrobiliśmy jako przydatną mnemotechniczną sztuczkę. Ma to sens o tyle, że przepisaliśmy

\frac{d}{d x} (\sin (x))^{2}

w taki sposób, że znamy znaczenie każdego z wyrazów, nawet jeśli nie umiemy obliczyć pochodnej

(\sin (x))^{2}

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} (\sin (x))^{2} = \underset{\begin{array}{c} Wyobraź sobie, że zamieniasz x \\ na \sin (x) w \frac{d (x^{2})}{d x} \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{d (\sin (x))^{2}}{d (\sin (x))}}} \cdot \underset{\begin{array}{c} Zwykła pochodna \\ z \sin (x) \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{d (\sin (x))}{d x}}} = 2 \sin (x) \cdot \cos (x) \end{array}

Ten wzór wygląda dużo bardziej naturalnie jeśli zapiszemy go w ogólnej formie, zamiast w szczególnym przypadku funkcji

x^{2}

\sin (x)

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d x}

Przykład 1:

\begin{aligned} f (x) & = \sin (x^{2}) Funkcja, którą mamy zróżniczkować \\ u (x) & = x^{2} Definiujemy u (x) jako funkcję wewnętrzną \\ f (x) & = \sin (u) Wyrażamy f (x) za pomocą u (x) \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} Reguła łańcuchowa - wzór na pochodną funkcji złożonej \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d}{d u} \sin (u) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) Podstawiamy f (u) i u (x) do wzoru \\ \frac{d f}{d x} & = \cos (u) \cdot 2 x Obliczamy pochodne \\ \frac{d f}{d x} & = \cos (x^{2}) (2 x) Podstawiamy za u funkcję x . \end{aligned}

Przykład 2:

A teraz coś fajnego. Wzór na pochodną funkcji złożonej pozwoli nam policzyć pochodną funkcji

| x |

, którą możemy zdefiniować jako

\sqrt{x^{2}}

. Na przykład,

| - 5 | = \sqrt{(- 5)^{2}} = \sqrt{25} = 5

\begin{aligned} f (x) & = | x | Funkcja, którą mamy zróżniczkować \\ f (x) & = \sqrt{x^{2}} Równoważna definicja \\ u (x) & = x^{2} Definiujemy u (x) jako funkcję wewnętrzną \\ f (x) & = [u (x)]^{\frac{1}{2}} Wyrażamy f (x) za pomocą u (x) \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} Reguła łańcuchowa - wzór na pochodną funkcji złożonej \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d}{d u} u^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) Podstawiamy f (u) i u (x) do wzoru \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x Obliczamy pochodne stosując wzór na pochodną funkcji potęgowej \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{1}{2} {(x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x Podstawiamy za u funkcję x \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} Upraszczamy \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{x}{| x |} Zapisujemy \sqrt{x^{2}} jako wartość bezwzględną. \end{aligned}

Funkcje wielokrotnie złożone

Regułę łańcuchową można łatwo uogólnić na funkcje, złożone z wielu, a nie tylko dwóch funkcji. Na przykład, załóżmy że

A (x)

B (x)

C (x)

oraz

D (x)

są czterema różnymi funkcjami i zdefiniujmy

f

jako ich złożenie:

f (x) = A (B (C (D (x))))

Oznaczając pochodną przez

\frac{d f}{d x}

możemy zapisać pochodną tej funkcji złożonej jako:

\frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} A (B (C (D (x))) = \frac{d A}{d B} \cdot \frac{d B}{d C} \cdot \frac{d C}{d D} \cdot \frac{d D}{d x}

Używając dla pochodnej notacji

f^{'}

, dostaniemy wyrażenie, które trochę przypomina leżącego bałwanka:

f^{'} (x) = A^{'} (B (C (D (x)))) \cdot B^{'} (C (D (x))) \cdot C^{'} (D (x)) \cdot D^{'} (x)

Przykład 4:

Niech

f (x) = \sin (e^{x^{2} + x})

f

można myśleć jako o funkcji złożonej z

\begin{aligned} A (x) & = \sin (x) \\ B (x) & = e^{x} \\ C (x) & = x^{2} + x \end{aligned}

Pochodne tych funkcji wynoszą

\begin{aligned} A^{'} (x) & = \cos (x) \\ B^{'} (x) & = e^{x} \\ C^{'} (x) & = 2 x + 1 \end{aligned}

Korzystając z reguły łańcuchowej otrzymujemy wyrażenie na pochodną złożenia

\begin{aligned} f^{'} (x) & = A^{'} (B (C (x))) \cdot B^{'} (C (x)) \cdot C^{'} (x) \\ = \cos (e^{x^{2} + x}) \cdot e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) \end{aligned}

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.