Główna zawartość
Fizyka - 11 klasa (Indie)
Kurs: Fizyka - 11 klasa (Indie) > Rozdział 4
Lekcja 6: Zastosowanie formalnej definicji pochodnej- Obliczenie pochodnej funkcji x² w x=3 z formalnej definicji pochodnej
- Obliczenie pochodnej funkcji x² w dowolnym punkcie z formalnej definicji pochodnej
- Pochodna funkcji liniowej jako granica ilorazu różnicowego
- Styczne i szybkość zmian
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Styczne i szybkość zmian
W jakim sensie prosta styczna do wykresu jest granicą ciągu prostych siecznych, i co ma z tym wspólnego pochodna i szybkość zmian funkcji.
Wprowadzenie
Pozycja samochodu jadącego ulicą, wartość waluty skorygowana o inflację, liczba bakterii w kulturze i napięcie przemienne w sygnale elektrycznym to przykłady wartości, które zmieniają się w czasie. W tej sekcji przestudiujemy tempo zmian takich wartości i to, jak jest ono związane geometrycznie z liniami siecznymi i stycznymi.
Linie sieczne i styczne
Jeśli dwa różne punkty i leżą na krzywej to współczynnik kierunkowy linii siecznej, łączącej te dwa punkty jest równy
Jeśli pozwolimy, by dążył do , to będzie dążył do wzdłuż wykresu funkcji . Współczynnik kierunkowy linii siecznej w punktach i będzie stopniowo dążył do współczynnika kierunkowego stycznej w punkcie wraz z tym jak dąży do . W granicy, poprzednie równanie zmieni się w
Jeśli założymy, że , to wtedy i gdy . Możemy przepisać granicę jako
Kiedy ta granica istnieje, jej wartość jest współczynnikiem kierunkowych linii stycznej do wykresu funkcji w punkcie .
Przykład 1
Znajdź współczynnik kierunkowy linii stycznej do wykresu funkcji w punkcie
Rozwiązanie
Odkąd , korzystając ze wzoru na współczynnik kierunkowy linii stycznej
otrzymujemy
Zatem współczynnik kierunkowy linii stycznej wynosi . Przywołując z algebry, że postać kanoniczna równania linii stycznej to
Wzór postaci kanonicznej daje nam równanie
które możemy zapisać jako
Znajdowanie współczynnika kierunkowego stycznej w dowolnym punkcie
Tym razem jesteśmy zainteresowani znajdowaniem wzoru na współczynnik kierunkowy stycznej w dowolnym punkcie wykresu funkcji . Taki wzór będzie tym samym wzorem, którego używaliśmy wcześniej, z wyjątkiem tego, że zmienimy stałą na zmienną . Daje to takie równanie
Zapisujemy ten wzór jako
gdzie czytamy jako " prim od ". Następny przykład pokazuje zastosowanie tego wzoru.
Przykład 2
Jeśli , znajdź i użyj otrzymanego wyniku, aby znaleźć współczynnik kierunkowy linii stycznej w i .
Rozwiązanie
Ponieważ
możemy zapisać
By znaleźć współczynnik kierunkowy, podstawiamy i do wzoru na i otrzymujemy
i
W związku z tym, współczynniki kierunkowe linii stycznych w i wynoszą odpowiednio i .
Przykład 3
Znajdź współczynnik kierunkowy linii stycznej do krzywej w punkcie .
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na nachylenie prostej stycznej do wykresu
i podstawiając , dostajemy
Podstawiając , otrzymujemy
A zatem, współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie wynosi . Aby wyznaczyć równanie prostej stycznej, skorzystamy z postaci kanonicznej,
gdzie . W rezultacie, równanie prostej ma postać:
Średnia prędkość
Podstawowym pojęciem rachunku różniczkowego jest tempo zmian pewnej wielkości względnej innej. Na przykład, prędkość to tempo, z jaką droga pokonana przez jadącego zmienia się w czasie. Jeśli ktoś pokonuje kilometrów w ciągu godzin, to średnia prędkość samochodu, którym jedzie wynosi
To, co obliczyliśmy powyżej, nazywa się prędkością średnią, albo średnim tempem zmian pokonanej odległości w czasie. Oczywiście, jeśli samochód przejeżdża kilometrów z prędkością średnią kilometrów na godzinę w ciągu godzin, nie znaczy to że stale utrzymywał tę samą prędkość. Równie dobrze mógł zwalniać i przyspieszać w ciągu tych godzin.
Przypuśćmy, że doszło do wypadku i samochód uderzył w drzewo. Szkody, jakich doznają pasażerowie nie zależą od prędkości średniej na całej trasie, tylko od prędkości chwilowej w momencie wypadku. Mamy więc dwa rodzaje prędkości, prędkość średnią i prędkość chwilową.
Średnia prędkość jest zdefiniowana jako stosunek odległości do czasu , w którym ta odległość została przebyta:
Prędkość średnia to nic innego jak nachylenie prostej siecznej, łączącej dwa punkty na wykresie . Na Rysunku 1 zaznaczono przechodzącą przez dwa punkty oraz .
Jak wynika z rysunku, prędkość średnia pomiędzy chwilami i ma interpretację nachylenia prostej siecznej do wykresu drogi w funkcji czasu, łączącej punkty i . Jeśli czas będzie bliski to prędkość średnia będzie dobrym przybliżeniem prędkości chwilowej w chwili .
Szybkość zmian
Średnie tempo zmian funkcji w pewnym przedziale ma geometryczną interpretację nachylenia prostej siecznej do wykresu funkcji, łączącej punkty leżące na końcu tego przedziału. Chwilowe tempo zmian funkcji w pewnym punkcie jest równe nachyleniu prostej stycznej do wykresu w tym punkcie. Zajmijmy się teraz bardziej szczegółowo każdym z tych przypadków.
Średnie tempo zmian
Średnie tempo zmian funkcji w przedziale dane jest wzorem:
Na rysunku 2 zaznaczono , przechodzącą przez punkty oraz na . Nachylenie prostej siecznej daje średnie tempo zmian .
Chwilowa prędkość zmian
Chwilowa prędkość zmian funkcji w punkcie dana jest przez pochodną tej funkcji
Na rysunku 3 zaznaczono w punkcie do . Chwilowe tempo zmian równa się nachyleniu prostej stycznej .
Przykład 4
Załóżmy, że .
(a) Oblicz średnie tempo zmian w odniesieniu do w przedziale .
(a) Oblicz chwilowe tempo zmian w odniesieniu do w punkcie .
Rozwiązanie
(a) Ze wzoru na średnie tempo zmian dla i i otrzymujemy
Oznacza to, że w przedziale wartość zmienia się średnio o 2 jednostki na każdy przyrost wartości o jedną jednostkę.
(b) W przykładzie 2 powyżej obliczyliśmy, że , a więc
Oznacza to, że chwilowa szybkość zmian tej funkcji jest ujemna. Innymi słowy, maleje w punkcie . Maleje w tempie jednostki zmiany na jedną jednostkę wzrostu .
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji