Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Styczne i szybkość zmian

W jakim sensie prosta styczna do wykresu jest granicą ciągu prostych siecznych, i co ma z tym wspólnego pochodna i szybkość zmian funkcji.

Wprowadzenie

Pozycja samochodu jadącego ulicą, wartość waluty skorygowana o inflację, liczba bakterii w kulturze i napięcie przemienne w sygnale elektrycznym to przykłady wartości, które zmieniają się w czasie. W tej sekcji przestudiujemy tempo zmian takich wartości i to, jak jest ono związane geometrycznie z liniami siecznymi i stycznymi.

Linie sieczne i styczne

Jeśli dwa różne punkty P(x0,y0) i Q(x1,y1) leżą na krzywej y=f(x) to współczynnik kierunkowy linii siecznej, łączącej te dwa punkty jest równy
msec=y1y0x1x0=f(x1)f(x0)x1x0.
Jeśli pozwolimy, by x1 dążył do x0, to Q będzie dążył do P wzdłuż wykresu funkcji f. Współczynnik kierunkowy linii siecznej w punktach P i Q będzie stopniowo dążył do współczynnika kierunkowego stycznej w punkcie P wraz z tym jak x1 dąży do x0. W granicy, poprzednie równanie zmieni się w
mtan=limx1x0f(x1)f(x0)x1x0.
Jeśli założymy, że h=x1x0, to wtedy x1=x0+h i h0 gdy x1x0. Możemy przepisać granicę jako
mtan=limh0f(x0+h)f(x0)h.
Kiedy ta granica istnieje, jej wartość mtan jest współczynnikiem kierunkowych linii stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P(x0,y0).

Przykład 1

Znajdź współczynnik kierunkowy linii stycznej do wykresu funkcji f(x)=x3 w punkcie (2,8)

Rozwiązanie

Odkąd (x0,y0)=(2,8), korzystając ze wzoru na współczynnik kierunkowy linii stycznej
mtan=limh0f(x0+h)f(x0)h
otrzymujemy
mtan=limh0f(2+h)f(2)h=limh0(h3+6h2+12h+8)8h=limh0h3+6h2+12hh=limh0(h2+6h+12)=12.
Zatem współczynnik kierunkowy linii stycznej wynosi 12. Przywołując z algebry, że postać kanoniczna równania linii stycznej to
yy0=mtan(xx0).
Wzór postaci kanonicznej daje nam równanie
y8=12(x2)
które możemy zapisać jako
y=12x16.

Znajdowanie współczynnika kierunkowego stycznej w dowolnym punkcie

Tym razem jesteśmy zainteresowani znajdowaniem wzoru na współczynnik kierunkowy stycznej w dowolnym punkcie wykresu funkcji f. Taki wzór będzie tym samym wzorem, którego używaliśmy wcześniej, z wyjątkiem tego, że zmienimy stałą x0 na zmienną x. Daje to takie równanie
mtan=limh0f(x+h)f(x)h.
Zapisujemy ten wzór jako
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h,
gdzie f(x) czytamy jako "f prim od x". Następny przykład pokazuje zastosowanie tego wzoru.

Przykład 2

Jeśli f(x)=x23, znajdź f(x) i użyj otrzymanego wyniku, aby znaleźć współczynnik kierunkowy linii stycznej w x=2 i x=1.

Rozwiązanie

Ponieważ
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h,
możemy zapisać
f(x)=limh0[(x+h)23][x23]h=limh0x2+2xh+h23x2+3h=limh02xh+h2h=limh0(2x+h)=2x.
By znaleźć współczynnik kierunkowy, podstawiamy x=2 i x=1 do wzoru na f(x) i otrzymujemy
f(2)=2(2)=4
i
f(1)=2(1)=2.
W związku z tym, współczynniki kierunkowe linii stycznych w x=2 i x=1 wynoszą odpowiednio 4 i 2.

Przykład 3

Znajdź współczynnik kierunkowy linii stycznej do krzywej f(x)=1/x w punkcie (1,1).

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na nachylenie prostej stycznej do wykresu
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h
i podstawiając f(x)=1/x, dostajemy
f(x)=limh0(1x+h)1xh=limh0x(x+h)x(x+h)h=limh0xxhhx(x+h)=limh0hhx(x+h)=limh01x(x+h)=1x2.
Podstawiając x=1, otrzymujemy
f(1)=1(1)2=1.
A zatem, współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji f(x)=1/x w punkcie x=1 wynosi m=1. Aby wyznaczyć równanie prostej stycznej, skorzystamy z postaci kanonicznej,
yy0=m(xx0),
gdzie (x0,y0)=(1,1). W rezultacie, równanie prostej ma postać:
y1=1(x1)y=x+1+1y=x+2.

Średnia prędkość

Podstawowym pojęciem rachunku różniczkowego jest tempo zmian pewnej wielkości względnej innej. Na przykład, prędkość to tempo, z jaką droga pokonana przez jadącego zmienia się w czasie. Jeśli ktoś pokonuje 120 kilometrów w ciągu 4 godzin, to średnia prędkość samochodu, którym jedzie wynosi
120 kilometrów4 godziny=30 km/h.
To, co obliczyliśmy powyżej, nazywa się prędkością średnią, albo średnim tempem zmian pokonanej odległości w czasie. Oczywiście, jeśli samochód przejeżdża 120 kilometrów z prędkością średnią 30 kilometrów na godzinę w ciągu 4 godzin, nie znaczy to że stale utrzymywał tę samą prędkość. Równie dobrze mógł zwalniać i przyspieszać w ciągu tych 4 godzin.
Przypuśćmy, że doszło do wypadku i samochód uderzył w drzewo. Szkody, jakich doznają pasażerowie nie zależą od prędkości średniej na całej trasie, tylko od prędkości chwilowej w momencie wypadku. Mamy więc dwa rodzaje prędkości, prędkość średnią i prędkość chwilową.
Średnia prędkość jest zdefiniowana jako stosunek odległości x do czasu t, w którym ta odległość została przebyta:
v=xt=x1x0t1t0
Prędkość średnia to nic innego jak nachylenie prostej siecznej, łączącej dwa punkty na wykresie przebytej drogi w funkcji czasu. Na Rysunku 1 zaznaczono prostą sieczną przechodzącą przez dwa punkty (t0,x0) oraz (t1,x1).
Rysunek 1. Nachylenie siecznej przechodzącej przez dwa punkty na wykresie położenia daje prędkość średnią.
Jak wynika z rysunku, prędkość średnia pomiędzy chwilami t0 i t1 ma interpretację nachylenia prostej siecznej do wykresu drogi w funkcji czasu, łączącej punkty (t0,x0) i (t1,x1). Jeśli czas t1 będzie bliski t0 to prędkość średnia będzie dobrym przybliżeniem prędkości chwilowej w chwili t0.

Szybkość zmian

Średnie tempo zmian funkcji f w pewnym przedziale ma geometryczną interpretację nachylenia prostej siecznej do wykresu funkcji, łączącej punkty leżące na końcu tego przedziału. Chwilowe tempo zmian funkcji f w pewnym punkcie jest równe nachyleniu prostej stycznej do wykresu f w tym punkcie. Zajmijmy się teraz bardziej szczegółowo każdym z tych przypadków.

Średnie tempo zmian

Średnie tempo zmian funkcji f w przedziale [x0,x1] dane jest wzorem:
msec=f(x1)f(x0)x1x0
Na rysunku 2 zaznaczono prostą sieczną, przechodzącą przez punkty (x0,f(x0)) oraz (x1,f(x1)) na wykresie funkcjif. Nachylenie prostej siecznej daje średnie tempo zmian msec.
Rysunek 2. Nachylenie siecznej przechodzącej przez dwa punkty na wykresie funkcji daje średnie tempo zmian funkcji w danym przedziale.

Chwilowa prędkość zmian

Chwilowa prędkość zmian funkcji f w punkcie x0 dana jest przez pochodną tej funkcji
mtan=f(x0)=limx1x0f(x1)f(x0)x1x0
Na rysunku 3 zaznaczono prostą styczną w punkcie (x0,f(x0)) do wykresu funkcjif. Chwilowe tempo zmian równa się nachyleniu prostej stycznej mtan .
Rysunek 2. Nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie daje chwilowe tempo zmian funkcji w tym punkcie.

Przykład 4

Załóżmy, że y=x23.
(a) Oblicz średnie tempo zmian y w odniesieniu do x w przedziale [0,2].
(a) Oblicz chwilowe tempo zmian y w odniesieniu do x w punkcie x=1.

Rozwiązanie

(a) Ze wzoru na średnie tempo zmian dla f(x)=x23 i x0=0 i x1=2 otrzymujemy
msec=f(x1)f(x0)x1x0=f(2)f(0)20=1(3)2=2
Oznacza to, że w przedziale [0,2] wartość y zmienia się średnio o 2 jednostki na każdy przyrost wartości x o jedną jednostkę.
(b) W przykładzie 2 powyżej obliczyliśmy, że f(x)=2x, a więc
mtan=f(x0)=f(1)=2(1)=2.
Oznacza to, że chwilowa szybkość zmian tej funkcji jest ujemna. Innymi słowy, y maleje w punkcie x=1. Maleje w tempie 2 jednostki zmiany y na jedną jednostkę wzrostu x.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.