Główna zawartość

Fizyka - 11 klasa (Indie)

Kurs: Fizyka - 11 klasa (Indie) > Rozdział 4

Lekcja 6: Zastosowanie formalnej definicji pochodnej

Styczne i szybkość zmian

W jakim sensie prosta styczna do wykresu jest granicą ciągu prostych siecznych, i co ma z tym wspólnego pochodna i szybkość zmian funkcji.

Wprowadzenie

Pozycja samochodu jadącego ulicą, wartość waluty skorygowana o inflację, liczba bakterii w kulturze i napięcie przemienne w sygnale elektrycznym to przykłady wartości, które zmieniają się w czasie. W tej sekcji przestudiujemy tempo zmian takich wartości i to, jak jest ono związane geometrycznie z liniami siecznymi i stycznymi.

Linie sieczne i styczne

Jeśli dwa różne punkty

P (x_{0}, y_{0})

Q (x_{1}, y_{1})

leżą na krzywej

y = f (x)

to współczynnik kierunkowy linii siecznej, łączącej te dwa punkty jest równy

m_{\sec} = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

Jeśli pozwolimy, by

x_{1}

dążył do

x_{0}

, to

Q

będzie dążył do

P

wzdłuż wykresu funkcji

f

. Współczynnik kierunkowy linii siecznej w punktach

P

Q

będzie stopniowo dążył do współczynnika kierunkowego stycznej w punkcie

P

wraz z tym jak

x_{1}

dąży do

x_{0}

. W granicy, poprzednie równanie zmieni się w

m_{\tan} = lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

Jeśli założymy, że

h = x_{1} - x_{0}

, to wtedy

x_{1} = x_{0} + h

h \to 0

gdy

x_{1} \to x_{0}

. Możemy przepisać granicę jako

m_{\tan} = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Kiedy ta granica istnieje, jej wartość

m_{\tan}

jest współczynnikiem kierunkowych linii stycznej do wykresu funkcji

f

w punkcie

P (x_{0}, y_{0})

Przykład 1

Znajdź współczynnik kierunkowy linii stycznej do wykresu funkcji

f (x) = x^{3}

w punkcie

(2, 8)

Rozwiązanie

Odkąd

(x_{0}, y_{0}) = (2, 8)

, korzystając ze wzoru na współczynnik kierunkowy linii stycznej

m_{\tan} = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

otrzymujemy

\begin{aligned} m_{\tan} & = lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{(h^{3} + 6 h^{2} + 12 h + 8) - 8}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 6 h^{2} + 12 h}{h} \\ = lim_{h \to 0} (h^{2} + 6 h + 12) \\ = 12. \end{aligned}

Zatem współczynnik kierunkowy linii stycznej wynosi

12

. Przywołując z algebry, że postać kanoniczna równania linii stycznej to

y - y_{0} = m_{\tan} \cdot (x - x_{0})

Wzór postaci kanonicznej daje nam równanie

y - 8 = 12 \cdot (x - 2)

które możemy zapisać jako

y = 12 x - 16

Znajdowanie współczynnika kierunkowego stycznej w dowolnym punkcie

Tym razem jesteśmy zainteresowani znajdowaniem wzoru na współczynnik kierunkowy stycznej w dowolnym punkcie wykresu funkcji

f

. Taki wzór będzie tym samym wzorem, którego używaliśmy wcześniej, z wyjątkiem tego, że zmienimy stałą

x_{0}

na zmienną

x

. Daje to takie równanie

m_{\tan} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Zapisujemy ten wzór jako

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

gdzie

f^{'} (x)

czytamy jako "

f

prim od

x

". Następny przykład pokazuje zastosowanie tego wzoru.

Przykład 2

Jeśli

f (x) = x^{2} - 3

, znajdź

f^{'} (x)

i użyj otrzymanego wyniku, aby znaleźć współczynnik kierunkowy linii stycznej w

x = 2

x = - 1

Rozwiązanie

Ponieważ

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

możemy zapisać

\begin{aligned} f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{[(x + h)^{2} - 3] - [x^{2} - 3]}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2 x h + h^{2} - 3 - x^{2} + 3}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{2 x h + h^{2}}{h} \\ = lim_{h \to 0} (2 x + h) \\ = 2 x . \end{aligned}

By znaleźć współczynnik kierunkowy, podstawiamy

x = 2

x = - 1

do wzoru na

f^{'} (x)

i otrzymujemy

f^{'} (2) = 2 (2) = 4

f^{'} (- 1) = 2 (- 1) = - 2

W związku z tym, współczynniki kierunkowe linii stycznych w

x = 2

x = - 1

wynoszą odpowiednio

4

- 2

Przykład 3

Znajdź współczynnik kierunkowy linii stycznej do krzywej

f (x) = 1 / x

w punkcie

(1, 1)

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na nachylenie prostej stycznej do wykresu

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

i podstawiając

f (x) = 1 / x

, dostajemy

\begin{aligned} f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h}) - \frac{1}{x}}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{x - x - h}{h x (x + h)} \\ = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h x (x + h)} \\ = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)} \\ = \frac{- 1}{x^{2}} . \end{aligned}

Podstawiając

x = 1

, otrzymujemy

f^{'} (1) = \frac{- 1}{(1)^{2}} = - 1

A zatem, współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji

f (x) = 1 / x

w punkcie

x = 1

wynosi

m = - 1

. Aby wyznaczyć równanie prostej stycznej, skorzystamy z postaci kanonicznej,

y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})

gdzie

(x_{0}, y_{0}) = (1, 1)

. W rezultacie, równanie prostej ma postać:

\begin{aligned} y - 1 & = - 1 \cdot (x - 1) \\ y & = - x + 1 + 1 \\ y & = - x + 2. \end{aligned}

Średnia prędkość

Podstawowym pojęciem rachunku różniczkowego jest tempo zmian pewnej wielkości względnej innej. Na przykład, prędkość to tempo, z jaką droga pokonana przez jadącego zmienia się w czasie. Jeśli ktoś pokonuje

120

kilometrów w ciągu

4

godzin, to średnia prędkość samochodu, którym jedzie wynosi

\frac{120 kilometrów}{4 godziny} = 30 km/h

To, co obliczyliśmy powyżej, nazywa się prędkością średnią, albo średnim tempem zmian pokonanej odległości w czasie. Oczywiście, jeśli samochód przejeżdża

120

kilometrów z prędkością średnią

30

kilometrów na godzinę w ciągu

4

godzin, nie znaczy to że stale utrzymywał tę samą prędkość. Równie dobrze mógł zwalniać i przyspieszać w ciągu tych

4

godzin.

Przypuśćmy, że doszło do wypadku i samochód uderzył w drzewo. Szkody, jakich doznają pasażerowie nie zależą od prędkości średniej na całej trasie, tylko od prędkości chwilowej w momencie wypadku. Mamy więc dwa rodzaje prędkości, prędkość średnią i prędkość chwilową.

Średnia prędkość jest zdefiniowana jako stosunek odległości

△ x

do czasu

△ t

, w którym ta odległość została przebyta:

v = \frac{△ x}{△ t} = \frac{x_{1} - x_{0}}{t_{1} - t_{0}}

Prędkość średnia to nic innego jak nachylenie prostej siecznej, łączącej dwa punkty na wykresie

przebytej drogi w funkcji czasu

. Na Rysunku 1 zaznaczono

prostą sieczną

przechodzącą przez dwa punkty

(t_{0}, x_{0})

oraz

(t_{1}, x_{1})

Jak wynika z rysunku, prędkość średnia pomiędzy chwilami

t_{0}

t_{1}

ma interpretację nachylenia prostej siecznej do wykresu drogi w funkcji czasu, łączącej punkty

(t_{0}, x_{0})

(t_{1}, x_{1})

. Jeśli czas

t_{1}

będzie bliski

t_{0}

to prędkość średnia będzie dobrym przybliżeniem prędkości chwilowej w chwili

t_{0}

Szybkość zmian

Średnie tempo zmian funkcji

f

w pewnym przedziale ma geometryczną interpretację nachylenia prostej siecznej do wykresu funkcji, łączącej punkty leżące na końcu tego przedziału. Chwilowe tempo zmian funkcji

f

w pewnym punkcie jest równe nachyleniu prostej stycznej do wykresu

f

w tym punkcie. Zajmijmy się teraz bardziej szczegółowo każdym z tych przypadków.

Średnie tempo zmian

Średnie tempo zmian funkcji

f

w przedziale

[x_{0}, x_{1}]

dane jest wzorem:

m_{\sec} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

Na rysunku 2 zaznaczono

prostą sieczną

, przechodzącą przez punkty

(x_{0}, f (x_{0}))

oraz

(x_{1}, f (x_{1}))

wykresie funkcji f

. Nachylenie prostej siecznej daje średnie tempo zmian

m_{\sec}

Chwilowa prędkość zmian

Chwilowa prędkość zmian funkcji

f

w punkcie

x_{0}

dana jest przez pochodną tej funkcji

m_{\tan} = f^{'} (x_{0}) = lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

Na rysunku 3 zaznaczono

prostą styczną

w punkcie

(x_{0}, f (x_{0}))

wykresu funkcji f

. Chwilowe tempo zmian równa się nachyleniu prostej stycznej

m_{\tan}

Przykład 4

Załóżmy, że

y = x^{2} - 3

(a) Oblicz średnie tempo zmian

y

w odniesieniu do

x

w przedziale

[0, 2]

(a) Oblicz chwilowe tempo zmian

y

w odniesieniu do

x

w punkcie

x = - 1

Rozwiązanie

(a) Ze wzoru na średnie tempo zmian dla

f (x) = x^{2} - 3

x_{0} = 0

x_{1} = 2

otrzymujemy

\begin{aligned} m_{\sec} & = \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} \\ = \frac{f (2) - f (0)}{2 - 0} \\ = \frac{1 - (- 3)}{2} \\ = 2 \end{aligned}

Oznacza to, że w przedziale

[0, 2]

wartość

y

zmienia się średnio o 2 jednostki na każdy przyrost wartości

x

o jedną jednostkę.

(b) W przykładzie 2 powyżej obliczyliśmy, że

f^{'} (x) = 2 x

, a więc

\begin{aligned} m_{\tan} & = f^{'} (x_{0}) \\ = f^{'} (- 1) \\ = 2 (- 1) \\ = - 2. \end{aligned}

Oznacza to, że chwilowa szybkość zmian tej funkcji jest ujemna. Innymi słowy,

y

maleje w punkcie

x = - 1

. Maleje w tempie

2

jednostki zmiany

y

na jedną jednostkę wzrostu

x

Źródło

CK-12: Tempo zmian i styczne do wykresu funkcji

Licencja

Creative Commons Attribution-NonCommercial

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.