Suma Riemanna powierzchni trapezów w notacji sigma - film z polskimi napisami

W kilku ostatnich filmach przybliżaliśmy pole obszaru pod wykresem używając prostokątów, gdzie wysokość każdego prostokąta była zdefiniowana przez wartość funkcji obliczoną w punkcie należącym do lewego brzegu. Tak więc to byłby pierwszy prostokąt. Zatem drugi prostokąt mógłby wyglądać jakoś tak. I tym sposobem doszlibyśmy do n-tego prostokąta wyglądałby jakoś tak. I przekonaliśmy się-- więc to jest pierwszy prostokąt, to jest drugi prostokat, ostatecznie dochodzimy do n-tego-- przekonaliśmy się, że gdybyśmy wzięli sumę wszystkich tych prostokątów i aproksymowali przy jej pomocy nasz obszar to dostalibyśmy sumę od i równego 1 do n. Zatem i faktycznie wskazuje prostokąt, z którym akurat mamy do czynienia. I to co teraz zrobimy to pomnożymy wysokość razy podstawę. Tak więc wysokość każdego prostokąta, wysokość prostokąta nr 1, w tym przypadku wartość funkcji liczyliśmy w x0. Wysokość prostokąta nr 2 była równa wartości f liczonej w x1. Wysokość prostokąta n-tego była równa funkcji liczonej w xn-1. Stąd wysokość prostokąta i jest równa wartości f w xi-1. Jeśli i=2, to liczymy f w x1. Gdyby i było równe 2, to to równało by się wartości funkcji w x1. Czyli to jest lewa granica. I musimy ją pomnożyć przez szerokość. W kilku poprzednich filmach, a także w tym, założymy, że wszystkie prostokąty są tej samej szerokości. Oznaczmy tę szerokość przez delta x. A żeby ją znaleźć potrzebujemy wziąć łączną odległość, jaką przebywamy w kierunku osi x. Zatem to będzie b minus a podzielić przez liczbę naszych prostokatów. Więc to będzie razy delta x. Możecie sobie wyobrażać, że nie jest to jedyny sposób brania sumy po prostokatąch, lub też nie jest to jedyny sposób sumować tudzież aproksymować obszar używając jakiś rodzaj geometrycznych kształtów. Na przykład, moglibyśmy zbudować prostokąty, których wysokość jest zdefiniowana przez prawą granicę. Zróbmy to. Tak więc tutaj jest nasz pierwszy prostokąt. I definiujemy wysokość przez prawą granicę prostokąta. Czyli tutaj jest prostokąt nr 1, i jego wysokość f(x1). I następnie dla tego tutaj wybieramy prawą granicę. Prawa granica określa wysokość. Definiujemy podobnie --to jest prostokąt nr 2-- definiujemy podobnie aż po n-ty prostokąt, tj. używamy prawej granicy dla określenia wysokości prostokąta. A więc w tym przypadku-- to jest n-ty prostokąt-- jak zapisalibyśmy tę sumę? Cóż, byłaby to suma-- pamiętamy, że naszym celem jest przybliżyć obszar pod krzywą-- od i równego 1 do n. Zatem i zlicza wszystkie prostokąty. I tak wysokość pierwszego prostokątawynosi f(x1). Wysokość n-tego prostokąta wynosi f(xn). Zatem ta wysokość tutaj to f(xn). A więc wysokość i-tego prostokąta będzie wynosiła f(xi). Jakikolwiek byłby numer prostokąta, bierzemy x z indeksem równym temu numerowi i obliczamy tam wartość f. To daje nam wysokość. Mnożymy ją przez delta x. Zatem różnica między tym, a tym, tutaj dla i-tego prostokąta używamy x z indeksem i-1, a więc lewej granicy. Tutaj używamy prawej granicy, f(xi). Cóż, nie musimy wcale na tym poprzestawać. Moglibyśmy w zamian użyć punktu z środka pomiędzy dwoma granicami. Więc, dla przykładu, tutaj moglibyśmy moglibyśmy wziąć środek odcinka [x0, x1] aby znaleźć wysokość prostokąta. A więc to jest dokładnie tutaj. To jest f((x0+x1)/2), po prostu punkt środkowy pomiędzy tymi dwoma punktami, ażeby zdefiniować wysokość prostokąta. Tak więc wyglądałoby ta jakoś tak. I następny, spójrzmy na punkt środkowy aby znów zdefiniować wysokość. I robimy wszystko tak samo aż do n-tego, po czym definiujemy punkt środkowy pomiędzy dwoma brzegami prostokąta. Tak więc wartość funkcji tam policzona mówi nam jak wysoki winien być nasz prostokąt. A wyglądałoby to jakoś tak. A więc jak wyglądałaby ta suma? Cóż, znowu, zliczamy wszystkie nasze prostokąty a więc i równa się 1 do i równa się n. i wskazuje na prostokąt, który właśnie rozważamy. Zatem to jest pierwszy, ten jest drugi, a ten n-ty. A wysokość nie będzie tym razem równa ani funkcji f w xi-1 ani f w xi. To będzie wartość funkcji odczytana w punkcie będącym środkiem odcinka [xi-1, xi], wszystko to nad 2 a potem razy delta x. W każdym z tych scenariuszy delta x jest taka sama. W końcu spróbujmy zerwać z nawykiem aproksymowania tylko przy pomocy prostokątów, bądźmy tym razem bardziej kreatywni. Czemu by nie spróbować aproksymować przy pomocy trapezów? Spróbujmy tego. To co moglibyśmy mieć tutaj to lewa strona trapezu. Wysokość wynosi f(x0). Więc to jest f(x0). A teraz prawa strona trapezu to będzie f(x1). I wówczas co będzie dla-- tutaj, pozwólcie że zrobię tak dla wszystkich. A więc to byłby pierwszy trapez. Drugi wyglądałby tak. Ten wygląda prawie jak prostokąt, ale zakładamy że górna podstawa nie jest zupełnie pozioma. I w ten sposób kontynuujemy aż do n-tego. Powinno być teraz jasne, że mamy do czynienia z trapezami. Kompletny rysunek będzie wyglądał zatem jakoś tak. Więc jak policzymy to pole, pole obszaru złożonego z trapezów? Cóż, musicie pamiętać że pole trapezu to po prostu średnia wysokości "dwóch stron" razy podstawa. A więc w tym przypadku-- pozwólcie że to rozpiszę. A więc to pole tutaj będzie średnią wysokości. Czyli będzie równe f(x0) plus f(x1), to wszystko przez 2. I jeszcze musimy domnożyć przez delta x. Tak więc to byłoby pole tego tutaj. Wzięliśmy średnią dwóch wysokości i pomnożyliśmy przez podstawę. Teraz, jeśli chcielibyśmy mieć sumę pól wszystkich trapezów i chcielibyśmy zapisać to ogólnie moglibyśmy po prostu zapisać, że to jest suma-- jeszcze raz, będziemy zliczać trapezy. A więc to jest pierwszy trapez, to drugi, aż do n-tego trapezu. Czyli tu będzie i równe 1 i równe n. I wysokość każdego trapezu, użyjemy wartości funkcji obliczonej w lewym końcu podstawy, xi-1, średnia wartości funkcji policzonych w lewym końcu podstawy i w prawym końcu, i bierzemy ich średnią i mnożymy ją przez podstawę. Powodem dla którego chciałem to zrobić była chęć pokazania, że istnieje wiele sposobów żeby to zrobić. Właściwie, gdybyście chcieli rozważań w jeszcze większej ogólności, moglibyście mieć nawet różne szerokości. Z tym, że wtedy robi się troszkę bardziej zawiłe. Ale naprawdę, po prostu żeby uświadomić wam, że z podobną notacją możecie się spotkać w waszych podręcznikach do analizy matematycznej tudzież w innych przygotowawczych. Wszystko co tutaj robimy to po prostu sumujemy pola trapezów i prostokątów w zależności czy używamy prawych granic prostokątów w celu zdefiniowania wysokości, lewych granic czy punktu środkowego z pomiędzy lewych i prawych granic, a nawet możemy konstruować trapezy.