Główna zawartość

Kurs: Fizyka - 11 klasa (Indie) > Rozdział 9

Lekcja 10: Naprężenia

Co to jest naprężenie?

Naprężona lina ciągnie do góry zawieszony na niej ciężar. Dowiedz się, jak analizować ten i podobne problemy. Tłumaczenie na język polski: Centrum Fizyki Teoretycznej PAN.

Czym jest naprężenie?

Wszystkie ciała fizyczne, jeśli znajdują się w bezpośrednim kontakcie, w jakiś sposób ze sobą oddziałują. W zależności od typu tych oddziaływań, nadajemy im różne nazwy. W przypadku, kiedy jakiś podłużny obiekt (lina, łańcuch, kabel itd.) dźwiga pewien ciężar, mówimy o sile naprężenia.

Jeśli powiesimy na linie jakiś obiekt, ulegnie ona małemu wydłużeniu (często niedostrzegalnemu gołym okiem). To rozciągnięcia sprawi, że lina będzie napięta (naprężona), co pozwoli jej "przenosić" siły, z jakimi działają obiekty, które łączy (podobnie jak ściśnięta sprężyna - za jej pomocą możemy odepchnąć się od podłogi, nie dotykając jej bezpośrednio). Rozciągnięcie jest zwykle niezauważalnie małe, ale wiążą się w nim gigantyczne naprężenia. Każdy obiekt (lina, kabel, łańcuch) ma swój limit wytrzymałości - wraz ze wzrastająca siłą będzie się rozciągać, aż pęknie. Dlatego zawsze przed użyciem tego typów obiektów do podnoszenia ciężarów należy dowiedzieć się, jaki duże naprężenia są one stanie wytrzymać.

Liny i kable są bardzo wygodne, gdyż pozwalają przenosić siły na duże odległości. Rozważmy np. psi zaprzęg - gdyby chcieć go skonstruować bez użycia lin, psy musiałyby po prostu pchać sanie, napierając na nie od tyłu. Można by zaangażować tylko kilka psów, które i tak, ściśnięte w małej przestrzeni, nie byłyby w stanie rozwinąć dużej prędkości. Założenie psom uprzęży, które są przywiązane linami do sani, pozwala każdemu psu biec swobodnie, dzięki czemu efektywniej wykorzystujemy ich potencjał.

Należy tutaj podkreślić, iż liny umożliwiają jedynie ciągnięcie czegoś - nie da się pchnąć jakiegoś obiekty za pomocą liny. Jeśli spróbujemy to robić, lina od razu zwiotczeje. Wydaje się to całkiem oczywiste - zdziwiłbyś się jednak, jak wiele ludzi popełnia błędy, rozrysowując kierunki działania sił w układach, w których występują liny. Pamiętaj - obiekty typu lina, łańcuch czy kabel są w stanie przenosić jedynie naprężenia rozciągające.

Jak policzyć siłę naprężenia?

Nie ma żadnego specjalnego wzoru na siłę naprężenia. Podobnie jak w przypadku siły reakcji podłoża, wystarczy posłużyć się drugą zasada dynamiki Newtona (oczywiście pod warunkiem, że znamy wartości pozostałych sił oraz przyspieszenie obiektu):

Rozrysuj siły działające na analizowane ciało.
Zapisz równanie wyrażające drugą zasadę dynamiki Newtona $(a = \frac{Σ F}{m})$ ‍ dla kierunku, w którym działa naprężenie (jest to kierunek, wzdłuż którego ułożona jest lina).
Przekształć równanie $a = \frac{Σ F}{m}$ ‍, aby wyznaczyć wartość naprężenia.

W poniższych przykładach pokażemy dokładnie, jak stosować ten schemat.

Jak rozwiązywać zadania o naprężeniach?

Przykład 1: Lina ciągnąca pudełko pod kątem

Pudło o masie

2, 0 kg

, pełnie ogórków kiszonych, ciągnięte jest bez tarcia po stole przez linę nachyloną do poziomu pod kątem

θ = 60^{o}

, jak na rysunku poniżej. Naprężenie liny sprawia, że pudło porusza się po powierzchni stolika z przyspieszeniem

3, 0 \frac{m}{s^{2}}

Jakie naprężenie przenosi lina?

Na początku rozrysujmy siły działające na pudło.

Teraz zastosujmy drugą zasadę dynamiki Newtona. Pojawia się pytanie, który kierunek analizować - wszak siła naprężenia działa zarówno w pionie, jak w poziomie. Zauważmy jednak iż dla sił pionowych mamy więcej niewiadomych (nie znamy siły reakcji podłoża), dlatego lepiej jest wypisać równania na ruch poziomy (ostatecznie i tak wyliczymy całkowitą wartość naprężenie, a nie tylko jedną ze składowych)

Cóż, w takiej sytuacji nie udałoby nam się rozwiązać równania - mielibyśmy aż dwie niewiadome i tylko jedną zależność między nimi.

Nie należy się tym jednak martwić. Nawet, jeśli nie widzisz od razu, który kierunek należy wybrać, aby rozwiązać zadanie, są przecież tylko dwie możliwości (tu oznaczone x i y). Jeżeli najpierw wybierzesz źle, drugi strzał z pewnością będzie prawidłowy.

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} (druga zasada dynamiki Newtona dla kierunku poziomego)

3, 0 \frac{m}{s^{2}} = \frac{T cos 60^{o}}{2, 0 kg} (podstawiamy wartości przyspieszenia i masy oraz wypisujemy siły)

Aby zapisać równania, musimy rozłożyć siłę naprężenia na składowe pionową i poziomą, jak na rysunku poniżej.

Wartość składowej poziomej

T_{x}

możemy łatwo wyznaczyć, odwołując się do definicji funkcji trygonometrycznej

cosinus

cos 60^{o} = \frac{przylegająca przyprostokątna}{przeciwprostokątna} = \frac{T_{x}}{T}

T_{x} = T {cos60}^{o}

T

jest tutaj całkowitą wartością naprężenie, a

T_{x}

wartością jego poziomej składowej.

Zauważ, że w ogóle nie przejmowaliśmy się siłą grawitacji ani siłą reakcji podłoża - one działają w kierunku pionowym, a nas interesowały jedynie siły działające w poziomie.

T cos 60^{o} = (3, 0 \frac{m}{s^{2}}) (2, 0 kg) (przerzucamy T na lewo)

T = \frac{(3, 0 \frac{m}{s^{2}}) (2, 0 kg)}{cos 60^{o}} (wyznaczamy T)

T = 12 N (i oto wynik)

Przykład 2: Pudełko zawieszone na dwóch linach

Ważące

0, 25 kg

pudełko ze zwierzęcą karmą zostało przymocowane dwiema linami do sufitu i ściany (jak na rysunku). Skośna lina, przenosząca naprężenie

T_{2}

jest nachylona pod kątem

θ = 30^{o}

do poziomu.

Ile wynoszą wartość naprężeń $(T_{1}$ ‍ i $T_{2})$ ‍ obydwu lin?

Na początku rozrysujmy siły działające na pudełko.

Teraz zastosujmy drugą zasadę dynamiki Newtona. Znów pojawia się pytanie, który kierunek należy rozważyć. Zauważmy, że znamy wartość siły grawitacji, a więc dla kierunku pionowego mamy tylko jedną niewiadomą - warto jest zatem zacząć od drugiej zasady dynamiki Newtona dla kierunku pionowego.

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} (druga zasada dynamiki Newtona dla kierunku pionowego)

0 = \frac{T_{2} sin 30^{o} - F_{g}}{0, 25 kg} (wypisujemy siły, podstawiamy wartości masy i przyspieszenia)

Ponieważ analizujemy równowagę sił w kierunku pionowym, interesują nas jedynie składowe pionowe sił.

Siła grawitacji (

F_{g}

) działa w kierunku pionowym, więc nie ma potrzeby rozkładać jej na składowe.

Siła naprężenia

T_{2}

skierowana jest pod kątem, zatem w tym wypadku rozbijanie na składowe jest konieczne.

Możemy wyznaczyć wartość pionowej składowej

T_{2}

, korzystając z definicji funkcji sinus.

sin θ = \frac{przeciwna przyprostokątna}{przeciwprostokątna} = \frac{T_{2 y}}{T_{2}}

T_{2 y} = T_{2} sin θ = T_{2} sin 30^{o}

To jest składowa, której wartość należy podstawić do równania na ruch w pionie. Zauważmy również, iż pionowa składowa siły naprężenia

T_{2}

musi być równa co do wartości sile grawitacji, gdyż pudełko nie doznaje żadnego przyspieszenia.

T_{2} = \frac{F_{g}}{sin 30^{o}} (wyznaczamy T_{2})

T_{2} = \frac{m g}{sin 30^{o}} (podstawiamy F_{g} = m g)

T_{2} = \frac{(0, 25 kg) (9, 8 \frac{m}{s^{2}})}{sin 30^{o}} = 4, 9 N (i mamy wynik)

Teraz, kiedy znamy wartość naprężenia

T_{2}

, możemy napisać równania Newtona dla ruchu poziomego i wyznaczyć

T_{1}

(w tym momencie mamy już tylko jedną niewiadomą, więc pójdzie bez problemów).

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} (druga zasada dynamiki Newtona dla kierunku poziomego)

0 = \frac{T_{2} cos 30^{o} - T_{1}}{0, 25 kg} (wypisujemy poziome siły i podstawiamy wartości masy oraz przyspieszenia)

T_{1} = T_{2} cos 30^{o} (wyznaczamy T_{1})

T_{1} = (4, 9 N) cos 30^{o} (podstawiamy wyliczoną wcześniej wartość T_{2} = 4, 9 N)

T_{1} = 4, 2 N (i mamy wynik)

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.