Czym są składowe prędkości?

Ruch dwuwymiarowy jest bardziej złożony niż ruch jednowymiarowy, ponieważ prędkości mogą wskazywać kierunek ukośny, nie tylko pionowy i poziomy. Na przykład, piłka bejsbolowa mogłaby poruszać się w kierunku pionowym i poziomym w tym samym czasie, z ukośną prędkością $v$v. Możemy "rozbić" wektor prędkości $v$v piłki bejsbolowej, to znaczy ustalić prędkość piłki w kierunku poziomym $v_x$v, start subscript, x, end subscript i pionowym $v_y$v, start subscript, y, end subscript, tak, by uprościć nasze obliczenia.

Równania ruchu piłki bejsbolowej znacznie się upraszczają, jeśli rozpatrzyć oddzielnie ruch w kierunku poziomym i ruch w kierunku pionowym.

Rozłożenie prędkości ukośnej $v$v, na składową poziomą $v_x$v, start subscript, x, end subscript i składową pionową $v_y$v, start subscript, y, end subscript, pozwala nam poradzić sobie z każdym kierunkiem osobno. W gruncie rzeczy, będziemy w stanie zamienić jeden trudny dwuwymiarowy problem na dwa łatwiejsze problemy jednowymiarowe. Ta sztuczka, polegająca na rozkładaniu wektorów na składowe, działa także wtedy, gdy wektor jest czymś innym niż wektorem prędkości (np. wektorem siły, momentu, pola elektrycznego itd.). Właściwie będziemy używać tej sztuczki w fizyce wielokrotnie, więc ważne jest żeby stać się naprawdę dobrym w radzeniu sobie ze składowymi wektorów, tak szybko jak to możliwe.

Before we talk about breaking up vectors, we should note that trigonometry already gives us the ability to relate the side lengths of a right triangle—hypotenuse, opposite, adjacent—and one of the angles, $\theta$theta, as seen below.

Gdy rozkładamy wektor na dwie prostopadłe składowe, wektor i jego składowe - $v, v_y, v_x$v, comma, v, start subscript, y, end subscript, comma, v, start subscript, x, end subscript - tworzą trójkąt prostokątny. To dlatego możemy stosować trygonometrię do obliczania związków pomiędzy długością wektora a długościami jego składowych. Zauważ, że $v_x$v, start subscript, x, end subscript ma interpretację przyprostokątnej przyległej, $v_y$v, start subscript, y, end subscript interpretujemy jako przyprostokątną naprzeciwległą, a $v$v jako przeciwprostokątną.

Zauważ, że $v$v w tych wzorach zawsze oznacza długość wektora prędkości, szybkość, która nie może być ujemna. Składowe $v_x$v, start subscript, x, end subscript i $v_y$v, start subscript, y, end subscript są składowymi wektora, które mogą mieć dowolny znak. Na ogół przyjmujemy zasadę że dla składowej poziomej $x$x kierunek ujemny wskazuje w lewo, a dla składowej pionowej $y$y w dół.

W poprzednich rozdziałach zobaczyliśmy, jak można rozłożyć wektor na składową poziomą i pionową. Powiedzmy jednak, że zaczynasz od pewnych podanych składowych prędkości $v_y$v, start subscript, y, end subscript i $v_x$v, start subscript, x, end subscript. W jaki sposób możesz wykorzystać składowe, żeby znaleźć wartość $v$v oraz kąt nachylenia $\theta$theta wypadkowego wektora prędkości?

Wyznaczenie wartości wypadkowego wektora prędkości nie jest zbyt trudne, ponieważ dla dowolnego trójkąta prostokątnego długości boków i przeciwprostokątna, będzie wyrażona przez twierdzenie Pitagorasa.

Pierwiastkując, dostaniemy wartość wektora wypadkowego wyrażonego przez jego składowe.

Jeżeli znamy obie składowe wektora wypadkowego, możemy wyznaczyć jego kąt nachylenia, korzystając z funkcji $\text{tan}\theta$start text, t, a, n, end text, theta.

Obliczając odwrotność funkcji tangens, otrzymujemy kąt nachylenia wypadkowego wektora prędkości wyrażonego przez jego składowe.

Kiedy korzystamy z funkcji $\theta=\tan^{-1}(\dfrac{{v_y}}{{v_x}})$theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis, fakt że wstawiamy $v_y$v, start subscript, y, end subscript w liczniku jako bok przeciwległy i $v_x$v, start subscript, x, end subscript w mianowniku jako przyległy, oznacza że mierzymy kąt od osi poziomej. Czasem może być trudno zrozumieć jak narysować ten kąt. Oto sposób, żeby dowiedzieć się jak to zrobić.

Zakładając, że wybraliśmy prawo/górę jako kierunek dodatni, to jeżeli składowa pozioma $v_x$v, start subscript, x, end subscript jest dodatnia, wektor jest skierowany w prawą stronę. Jeżeli składowa pozioma $v_x$v, start subscript, x, end subscript jest ujemna, wektor jest skierowany w lewą stronę.

Zakładając, że wybraliśmy w górę jako kierunek dodatni, to jeżeli składowa pionowa $v_y$v, start subscript, y, end subscript jest dodatnia, wektor jest skierowany w górę. Jeżeli składowa pozioma $v_y$v, start subscript, y, end subscript jest ujemna, wektor jest skierowany w dół.

Na przykład, jeżeli składowe wektora są równe $v_x=-12 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 12, start text, space, m, slash, s, end text i $v_y=10 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, 10, start text, space, m, slash, s, end text, wektor musi być skierowany w lewo - ponieważ składowa $v_x$v, start subscript, x, end subscript jest ujemna - i w górę - ponieważ składowa $v_y$v, start subscript, y, end subscript jest dodatnia, tak więc narysujemy go tak jak pokazano poniżej.

Piłka jest kopnięta w górę i w prawo pod kątem $30^\circ$30, degrees z prędkością 24,3 m/s, tak jak pokazano poniżej.

Jaka jest pionowa składowa prędkości w danej chwili?

Jaka jest pozioma składowa prędkości w danej chwili?

Żeby wyznaczyć składową pionową, skorzystamy z funkcji $sin\theta=\dfrac{\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}=\dfrac{v_y}{v}$s, i, n, theta, equals, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, n, a, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction. Przeciwprostokątna jest równa wartości prędkości 24,3 m/s, natomiast $v_y$v, start subscript, y, end subscript jest przyprostokątną naprzeciwległą do kąta $30^\circ$30, degrees.

Do wyznaczenia składowej poziomej, wykorzystamy funkcję $\cos\theta=\dfrac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}=\dfrac{v_x}{v}$cosine, theta, equals, start fraction, start text, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction.

Mewa lata nad Seattle z poziomą składową prędkości równą $v_x=14{,}6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text i składową pionową prędkości równą $v_y=-8{,}62 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text.

Jaki jest kąt wypadkowej prędkości mewy?

Przyjmijmy, że kierunki w prawo/a górę oznaczają kierunki dodatnie i że wszystkie kąty będą mierzone od dodatniej osi x, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, żeby wyznaczyć wartość wypadkowego wektora prędkości.

Do wyznaczenia kąta, skorzystamy z definicji $\text{tangensa}$start text, t, a, n, g, e, n, s, a, end text. Ponieważ znamy wartość $v$v, moglibyśmy skorzystać z definicji $\text{sinusa}$start text, s, i, n, u, s, a, end text lub $\text{cosinusa}$start text, c, o, s, i, n, u, s, a, end text.

Ponieważ składowa pionowa jest równa $v_y=-8{,}62 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text, wiemy że wektor jest skierowany w dół. Ponieważ składowa pozioma jest równa $v_x=14{,}6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text, wiemy że wektor jest skierowany w prawo. Dlatego narysujemy wektor w czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

Tak więc, mewa porusza się z szybkością $17{,}0 \text{ m/s}$17, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text pod kątem $30{,}6^\circ$30, comma, 6, degrees poniżej osi poziomej, tak jak pokazano poniżej.