If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Czym są zderzenia sprężyste i niesprężyste?

Wielkości zachowane w zderzeniach sprężystych i niesprężystych. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Zderzenia sprężyste

W zderzeniach sprężystych energia kinetyczna zderzających się obiektów jest zachowana, to znaczy suma energii kinetycznych przed zderzeniem równa się sumie energii kinetycznych po zderzeniu. W zderzeniach sprężystych zachowane są pęd i energia kinetyczna.
Wyobraź sobie dwa identyczne przedmioty, na przykład wózki, jadące po szynie naprzeciw siebie ze stałymi, równymi szybkościami. W pewnej chwili wózki zderzają się i odbijają się od siebie jak piłki tak, że ich prędkości zmieniają kierunek na przeciwny, ale ich wartość pozostaje taka sama, jak przed zderzeniem. To jest przykład zderzenia sprężystego, ponieważ energia kinetyczna wózków po zderzeniu jest taka sama, jak przed zderzeniem. W tym zderzeniu energia kinetyczna wózków jest zachowana.
W rzeczywistości rzadko mamy do czynienia ze zderzeniami sprężystymi. Może to wydawać Ci się dziwne, ale najwięcej przykładów zderzeń sprężystych, które w tym kontekście nazywamy zderzeniami elastycznymi, dotyczy zderzeń pomiędzy atomami, czy cząsteczkami. W świecie zjawisk makroskopowych zderzenia doskonale sprężyste zdarzają się znacznie rzadziej, jeśli w ogóle, ale często zdarzają się sytuacje, w których zderzenia można w dobrym przybliżeniu uznać za sprężyste i to wystarcza, żeby zrozumieć ich przebieg. Przykładem mogą być zderzenia kul bilardowych albo kul w kołysce Newtona.

W takim razie, dlaczego w ogóle wprowadzamy pojęcie zderzenia sprężystego w odniesieniu do mechaniki?

Skoro w mechanice zderzenia sprężyste praktycznie nigdy nie mają miejsca, może wydawać się, że nie ma sensu ich analizować, gdyż nie mają praktycznego znaczenia. Okazuje się, że jest inaczej. W wielu przypadkach przybliżenie zachowania energii mechanicznej jest wystarczająco dobre, by za jego pomocą uzyskać wystarczająco dokładny opis zderzenia. Dzięki równaniu, które wynika z zachowania energii mechanicznej, możemy rozwiązać ten wyidealizowany problem do końca, podczas gdy bez wykorzystania zasady zachowania energii mechanicznej rozwiązanie nie jest możliwe. Umiemy także przewidzieć, jakie warunki powinny być spełnione aby można było w dobrym przybliżeniu opisać dane zderzenie jako sprężyste.
Załóżmy, że dwa wózki (A i B) poruszają się po szynie w przeciwnych kierunkach tak, że dochodzi do zderzenia. Materiał, z którego zrobione są wózki, jest sprężysty i wytrzymały tak, że spowodowane zderzeniem odkształcenia są minimalne. Jeśli zderzenie jest krótkotrwałe, wpływ sił tarcia na ruch wózków można zaniedbać (odpowiedź na pytanie dlaczego znajdziesz w rozdziale o popędzie siły). Mamy dane prędkości początkowe obu wózków vAi i vBi (i od angielskiego słowa initial - początkowy) oraz ich masy mA i mB. Zadanie polega na wyznaczeniu prędkości końcowych (oznaczanych zazwyczaj przez f, od angielskiego słowa final - końcowy). Zasada zachowania pędu pozwala nam napisać jedno równanie na dwie niewiadome:
mAvAi+mBvBi=mAvAf+mBvBf
Z zasady zachowania energii kinetycznej wynika drugie równanie:
12mAvAi2+12mBvBi2=12mAvAf2+12mBvBf2 .
Otrzymaliśmy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi i możemy go rozwiązać to znaczy obliczyć prędkości końcowe.
Rozwiązanie wymaga wykonania kilku algebraicznych przekształceń. Ostateczny wynik wygląda następująco:
vAf=(mAmBmA+mB)vAi+(2mBmA+mB)vBi
vBf=(2mAmA+mB)vAi+(mBmAmA+mB)vBi
Przeanalizujemy teraz kilka szczególnych przypadków. Jak się zaraz przekonamy, pozwoli nam to zrozumieć np. zachowanie kulek w kołysce Newtona.
  • Ciało A zderza się sprężyście z ciałem B, które spoczywa. Oba ciała mają takie same masy:
vAf=0, vBf=vAi.
W wyniku zderzenia nadlatujące ciało zatrzymuje się, a ciało, które przed zderzeniem spoczywało, po zderzeniu porusza się z prędkością, którą nadlatujące ciało miało przed zderzeniem.
Dokładnie tak samo zachowują się kule w kołysce Newtona. Kiedy pierwsza kula uderza w drugą z kolei, zatrzymuje się, przekazując swój pęd drugiej, która uderza w trzecią, zatrzymuje się i ten proces powtarza się, aż ostatnia kula, nie mając przed sobą kolejnej, wylatuje po drugiej stronie. Zauważ, że zasada zachowania pędu dopuszcza rozwiązanie, w którym to dwie ostatnie kule poruszają się z tą samą szybkością. Zderzenia kul w kołysce Newtona są jednak prawie idealnie sprężyste. Jedynie rozwiązanie, w którym to jedna, ostatnia kula, wylatuje po drugiej stronie kołyski, spełnia oba równania, zasadę zachowania pędu i zasadę zachowania energii kinetycznej.
  • Ciała A i B zbliżają się do siebie wzdłuż linii prostej z prędkościami o tej samej wartości i przeciwnych zwrotach.
    vAf=vBi, vBf=vAi
Po zderzeniu ciała wymieniają się prędkościami: prędkość końcowa ciała A równa jest prędkości początkowej ciała B i na odwrót. Zauważ, że w tym przypadku równych mas i prędkości ciała wymieniają się również pędami. W artykule na temat środka masa pokazujemy, jak można wykorzystać tę obserwację do rozwiązania problemu zderzenia elastycznego dwóch ciał w ogólnym przypadku.
  • Ciało A zderza się sprężyście z nieruchomym ciałem B, którego masa jest znacznie mniejsza od masy ciała A.
    Ciało o mniejszej masie porusza się po zderzeniu z szybkością dwa razy większą od szybkości początkowej ciała o większej masie, a prędkość ciała o większej masie dąży do jego prędkości początkowej. To odpowiada intuicji, zgodnie z którą w granicy, w której stosunek mas obu ciał jest bardzo mały, ciało o mniejszej masie ma niewielki wpływ na ruch ciała o większej masie.
  • Ciało A zderza się sprężyście z ciałem B o znacznie większej masie, znajdującym się w spoczynku.
    Ciało A odbija się od ciała B, poruszając się po zderzeniu z prędkością o takiej samej wartości, lecz przeciwnym zwrocie. Ciało B pozostaje nieruchome.
Zadanie 1a: Zawodniczka, grająca w badmintona, serwuje lotkę, uderzając w nią rakietką. Prędkość rakietki zbadano, filmując ją specjalną, szybką kamerą filmową i zmierzono, że tuż przed uderzeniem poruszała się z szybkością około vr=20 m/s. Zakładając, że masa rakietki jest dużo większa od masy lotki, oszacuj szybkość lotki zaraz po uderzeniu.
Zadanie 1b: Zakładając, że zderzenie jest sprężyste, oblicz prędkość vl lotki po uderzeniu zakładając, że masa rakietki mr=100 gramów, a masa lotki ml=5 gramów.

Zderzenia niesprężyste

W zderzeniach niesprężystych zachowany jest pęd, ale energia kinetyczna nie jest zachowana. Część energii kinetycznej zamienia się w inną formę energii. W grę mogą wchodzić na przykład energia termiczna, energia rozchodzącej się fali dźwiękowej czy energia odkształcenia materiału.
Wyobraźmy sobie teraz, że wyposażyliśmy te same wózki, które były bohaterami historii ze zderzeniem sprężystym w magnetyczne zaczepy w taki sposób, że w trakcie zderzenia wózki szczepiły się ze sobą i po zderzeniu poruszają się jak jedno ciało o masie równej sumie mas obu wózków. Takie zderzenie nazywamy doskonale niesprężystym, gdyż w takiej konfiguracji największa możliwa część energii kinetycznej przekształciła się w inne formy energii. Nie znaczy to, że energia kinetyczna układu wózków po zderzeniu jest zero, zasada zachowania pędu musi być spełniona.perfectly inelastic
Na skali sprężystości w otaczającym nas świecie, rządzonym prawami mechaniki Newtona, zderzenia leżą gdzieś pomiędzy idealnie sprężystymi i idealnie niesprężystymi. Piłka, upuszczona z wysokości h na podłogę odbije się zazwyczaj na wysokość mniejszą od h, w zależności od własności materiału, z którego zrobione są piłka i podłoga. Takie zderzenia nazywamy po prostu zderzeniami niesprężystymi, albo nieelastycznymi.

Czy w ogóle znamy przykłady zderzeń doskonale niesprężystych?

Przykładem przydatnego urządzenia, w którego działaniu kluczową rolę odgrywa zderzenie doskonale niesprężyste jest wahadło balistyczne. Zanim rozwój technologii umożliwił skonstruowanie doskonalszych instrumentów pomiarowych, wahadło balistyczne było podstawowym narzędziem do pomiaru prędkości pocisków.
Wahadło balistyczne to drewniana belka zawieszona na linie. Pomiar polega na wystrzeleniu pocisku w kierunku belki. W chwili początkowej wahadło spoczywa. W wyniku zderzenia pocisk zatrzymuje się w drewnie tak, że po zderzeniu drewniana belka i pocisk poruszają się jak jedna masa, jest to więc zderzenie doskonale niesprężyste. Część energii kinetycznej pocisku zmienia się w energię termiczną, energię rozchodzącej się fali dźwiękowej lub energię związaną z nieodwracalną deformacją drewna, ale zasada zachowania całkowitego pędu musi być spełniona. W rezultacie belka i pocisk zyskują po zderzeniu pewną prędkość i razem zachowują się jak wahadło (stąd nazwa), którego całkowita energia mechaniczna jest w bardzo dobrym przybliżeniu zachowana. Mierząc wysokość, na którą wznosi się wahadło, możemy obliczyć energię kinetyczną belki i pocisku, a następnie korzystając z zasady zachowania pędu obliczyć prędkość pocisku tuż przed uderzeniem w blok.
Rysunek 1 Przykład zderzenia niesprężystego - wahadło balistyczne.
Skoro całkowity pęd jest zachowany, tuż po zderzeniu pęd belki z unieruchomionym w niej pociskiem musi być równy pędowi pocisku tuż przed zderzeniem. Oznaczmy przez B belkę, przez P pocisk, i niech vB oznacza prędkość belki (i pocisku) zaraz po zderzeniu. Możemy napisać równanie, wynikające z zasady zachowania pędu:
mPvP=(mB+mP)vB.
Przekształcając, otrzymamy:
vB=mPvPmP+mB.
Zakładamy, że po zderzeniu energia mechaniczna jest zachowana, co jest zupełnie dobrym przybliżeniem. W takim razie, jeśli po uderzeniu pocisku belka wzniesie się na wysokość h, z zasady zachowania energii mechanicznej otrzymamy związek:
12(mP+mB)vB2=(mP+mB)gh
Przekształcając, otrzymamy:
vB2=2gh,
gdzie g oznacza przyspieszenie grawitacyjne. Podstawiając to wyrażenie do równania wynikającego z zasady zachowania pędu dostaniemy:
mPvPmP+mB=2gh,
co po ostatecznych przekształceniach da w rezultacie:
vP=mP+mBmP2gh.
Zadanie 2a: Kula muszkietowa o masie 10 gram zostaje wystrzelona w kierunku wahadła balistycznego, którego drewniana belka ma masę 1 kg. Po wystrzale wahadło wychyliło się do wysokości 0,3 m. Wyznacz prędkość kuli wystrzelonej z muszkietu.
Zadanie 2b: Załóżmy, że kulę z poprzedniego zadania zamieniono na inną, dwa razy lżejszą, ale za to poruszającą się dwa razy szybciej. Czy wahadła, opisanego w poprzednim zadaniu, można bezpiecznie użyć do wyznaczenia prędkości kuli w tym przypadku? Ile wynosi rezultat?

Co to jest współczynnik restytucji?

Współczynnik restytucji (po angielsku Coefficient of Restiution, COR) to liczba z przedziały pomiędzy 0 a 1, która opisuje położenie zderzenia w skali pomiędzy zderzeniem doskonale niesprężystym (0) i doskonale sprężystym (1).
Jeśli ciało, na przykład piłka, odbija się od nieruchomej powierzchni, na przykład podłogi, współczynnik restytucji równa się stosunkowi szybkości ciała przed i po zderzeniu:
CR=vfvi.
Współczynnik restytucji dla piłek, używanych w popularnych dyscyplinach sportowych ma wartość od 0,35 dla piłki do krykieta odbijającej się od drewnianej powierzchni do 0,9 dla piłki golfowej odbijającej się od podłogi, wykonanej ze stali [1]. W przypadku zderzających się kul bilardowych wartość współczynnika restytucji może sięgać 0,98 [2].

Zderzenia sprężyste i niesprężyste samochodów - które są bardziej niebezpieczne?

Odpowiedź na to pytanie zależy od tego, czy interesują Cię szkody, poniesione przez samochód, czy bezpieczeństwo i zdrowie kierowcy i pasażerów!
Wyobraź sobie zderzenie samochodu z innym obiektem, na przykład ze ścianą, jak to często robi się w testach bezpieczeństwa. Jeśli jest to zderzenie sprężyste, samochód się odbije. Zmiana pędu samochodu i siedzących w nim osób będzie większa, niż byłaby w przypadku zderzenia niesprężystego i w związku z tym działająca na nie siła będzie większa, co może prowadzić do utraty zdrowia, czy życia. Z drugiej strony, skoro zderzenie jest sprężyste, to energia kinetyczna samochodu nie przekształca się na przykład w energię deformacji nadwozia, więc uszkodzenia samochodu będą minimalne.
Nowoczesne samochody zaprojektowano w taki sposób, żeby w razie wypadku wykorzystać do pewnego stopnia cechy obu rodzajów zderzeń, sprężystych i niesprężystych. Część nadwozia to tak zwana strefa kontrolowanego zgniotu, która ma zaabsorbować energię kinetyczną, ulegając zgnieceniu. Kabina jest natomiast specjalnie wzmocniona, aby zmniejszyć szkody poniesione przez osoby, które się w niej znajdują.

Przypisy

[1] A. Haron and K. A. Ismail 2012 Coefficient of restitution of sports balls: A normal drop test in 'IOP Conference Series: Materials Science and Engineering' vol. 36 #1.
[2] Mathavan, S., Jackson, M.R. and Parkin, R.M, 2010. A theoretical analysis of billiard ball dynamics under cushion impacts. In 'Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science', 224 (9), pp. 1863 - 1873

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.