If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Co to jest rozkład Maxwella-Boltzmanna?

Cząsteczki gazu poruszają się z różnymi prędkościami. Zjawisko to najlepiej opisać statystycznym rozkładem tych prędkości. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Co to jest rozkład Maxwella-Boltzmanna?

Cząsteczki powietrza, które nas otaczają, nie poruszają się wszystkie z tą samą prędkością, nawet, jeśli całe nasze otoczenie jest w jednakowej temperaturze. Jedne mogą mieć naprawdę ogromne prędkości, niektóre poruszają się z umiarkowaną szybkością, a ruch innych może być bardzo powolny. W związku z tym nie można spytać "Jaka jest prędkość cząsteczek w gazie?", gdyż dla ogromnego zakresu prędkości można znaleźć co najmniej jedną cząsteczkę poruszającą się właśnie z tą prędkością.
Wobec tego, zamiast wypisywać prędkości wszystkich pojedynczych cząsteczek, lepiej jest zapytać "Jaki jest rozkład prędkości cząsteczek w gazie o określonej temperaturze?" W drugiej połowie XIXw., James Clerk Maxwell i Ludwig Boltzmann znaleźli odpowiedź na to pytanie, stąd rozkład prędkości molekuł w gazie doskonałym nazywamy dzisiaj rozkładem Maxwella-Boltzmanna; często jest on przedstawiany w formie wykresu, jak ten poniżej.
Na osi y wykresu powyżej odłożono liczbę cząsteczek na jednostkę prędkości. Zatem, jeśli w którymś miejscu wykres jest wyższy, oznacza to, że większa liczba cząstek porusza się właśnie z taką prędkością.
Zauważmy, że rozkład prędkości nie jest symetryczny. Po prawej stronie widoczny jest długi "ogon", odpowiadający cząsteczkom o dużych prędkościach. Wykres rozciąga się w prawo ku ogromnym wartościom prędkości (jest coraz niższy, ale wciąż różny od zera), podczas gdy z lewej strony musi osiągać dokładnie zero (gdyż wartość prędkości cząsteczki nie może być ujemna).
Dokładny, matematyczny wzór na rozkład Maxwella-Boltzmanna jest dość skomplikowany i jego znajomość nie jest konieczna na tym poziomie rozważań.

Co to znaczy średnia prędkość kwadratowa?

Może się wydawać, że średnią prędkością cząsteczek jest ta, dla której rozkład Maxwella-Boltzmanna osiąga maksimum - to jednak nieprawda. Jest to najbardziej prawdopodobna prędkość vp, tj. spośród wszystkich prędkości, najłatwiej jest znaleźć cząstkę poruszającą się z prędkością właśnie w tej okolicy.
Prędkość średnia vśr cząsteczek w gazie znajduje się na prawo od maksimum. Powód, dla którego średnia prędkość jest większa od najbardziej prawdopodobnej, to długi "ogon" rozciągający się z prawej strony. Ponieważ w tym ogonie znajdują się cząsteczki o bardzo dużych prędkościach, mimo że jest ich niewiele, ich obecność w zauważalny sposób wpływa na średnią.
Innym użytecznym parametrem jest prędkość średnia kwadratowa vk. Pojęcie średnia kwadratowa oznacza pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów danej wartości (tu: prędkości). Wyciągnięcie na koniec pierwiastka jest konieczne, aby końcowy wynik miał wymiar prędkości (a nie jej kwadratu); matematycznie wyraża się to następująco:
vk=1N(v12+v22+v32+)
Prędkość średnia kwadratowa na pierwszy rzut oka może wydawać się czymś całkiem bezsensownym - po co komplikować sobie życie, podnosząc prędkości do kwadratu, skoro na koniec i tak wyciągniemy pierwiastek? Zauważmy jednak, że znajomość zarówno prędkości średniej kwadratowej daje nam więcej informacji na temat rozkładu prędkości - np. jest ona bardziej czuła na istnienie szybkich cząstek z "ogona" niż zwykła średnia.
W tym momencie warto zaznaczyć, że wszystkie trzy zdefiniowane prędkości (vp, vśr, and vk) osiągają bardzo duże wartości, nawet dla gazu w temperaturze pokojowej.Np., dla neony w temperaturze pokojowej (23oC=293 K) najbardziej prawdopodobna, średnia oraz prędkość średnia kwadratowa przyjmują następujące wartości:
vp=491ms (lub 1100mihr)
vavg=554ms (lub 1240mihr)
vrms=602ms (lub 1350mihr)

Jak interpretować pole pod wykresem rozkładu Maxwella-Boltzmanna?

Na osi y wykresu rozkładu Stefana-Stefana Boltzmanna odłożona jest liczba cząsteczek na jednostkę prędkości. A zatem pole powierzchni pod wykresem odpowiada całkowitej liczbie cząsteczek danego gazu.
Jeżeli podgrzejemy gaz, maksimum wykresu przesunie się na prawo (gdyż wartość najbardziej prawdopodobnej prędkości się zwiększy). Ponieważ cały wykres zostanie rozciągnięty w prawo, będzie musiał się również obniżyć, gdyż pole powierzchni pod wykresem, wyrażające liczbę cząsteczek, musi pozostać stałe. W drugą stronę - jeśli gaz się ochłodzi, maksimum przesunie się na lewo, cały wykres zostanie ściśnięty, a więc jego wysokość będzie musiała się zwiększyć, aby pole powierzchni pozostało niezmienione. Poniżej pokazano kilka przykładowych krzywych odpowiadających gazom o różnych temperaturach.
Im zimniejszy jest gaz, tym wykres staje się wyższy i węższy. Analogicznie, dla gorętszych gazów wykres robi się niski i szeroki. Wynika to z faktu, iż pole powierzchni pod krzywą (odpowiadające całkowitej liczbie cząsteczek) musi pozostawać stałe.
Jeżeli badany gaz ma zmienną liczbę cząsteczek (czyli nie jest to szczelnie zamknięty pojemnik), zależność ta nie musi być zachowana. Kiedy dostarczamy cząsteczek do analizowanego gazu, pole pod wykresem wzrasta; gdy cząsteczki są odprowadzane - pole maleje.

Jak rozwiązać przykładowe zadania, stosując rozkład Maxwella-Boltzmanna?

Przykład 1: Chłodzenie gazu

Szczelny pojemnik wypełniony jest azotem (gaz dwuatomowy). W pewnym momencie zostaje umieszczony w lodowej kąpieli, po czym jego temperatura spada aż do osiągnięcia poziomu równowagi.
Jak zmienią się parametry gazu po schłodzeniu? (wybierz dwie poprawne odpowiedzi)
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Przykład 2: Co się stało z gazem?

Na początku rozkład prędkości w pewnym gazie wygląda następująco:
Co kolejno musiało dziać się z gazem, aby rozkład prędkości zmienił się od tego zadanego przez krzywą 1, do zadanego krzywa 2 na wykresie poniżej?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.