Co to jest przyspieszenie dośrodkowe?

Jak sądzisz, czy obiekt poruszający się ze stałą szybkością może jednocześnie poruszać się z przyspieszeniem? Tak! Na pierwszy rzut oka jest to sprzeczne z intuicją, jeśli zapomnimy o tym, że prędkość jest wektorem, więc zmiana kierunku ruchu, nawet jeśli szybkość ruchu pozostaje stała — oznacza ruch z przyspieszeniem.

Ruch z przyspieszeniem oznacza zmianę albo długości wektora prędkości— to znaczy szybkości — lub kierunku wektora prędkości, lub obu tych atrybutów. W ruchu jednostajnym po okręgu to kierunek wektora prędkości stale się zmienia i to ta ciągła zmiana związana jest z przyspieszeniem, natomiast wartość prędkości, czyli szybkość, pozostaje stała. Do tej pory zajmowaliśmy się ruchem z przyspieszeniem wzdłuż linii prostej: wiesz, co się wtedy dzieje, jadąc w przyspieszającym samochodzie, czujesz, jak mówimy, że „przyspieszenie wgniata Cię w fotel”, czyli jak fotel działa na Twoje ciało, popychając je do przodu. Teraz będziemy skręcać samochodem utrzymującym stałą szybkość — to właśnie jest ruch jednostajny po okręgu. Czujesz, jak pasy wżynają Ci się w bark, gdy samochód razem z Tobą skręca, poruszając się z przyspieszeniem dośrodkowym. Im ostrzejszy skręt i im większa prędkość, tym silniej odczuwasz efekty przyspieszenia dośrodkowego. W tym rozdziale zajmiemy się wartością i kierunkiem tego przyspieszenia.

Na poniższym rysunku przedstawiono obiekt poruszający się po torze w kształcie okręgu ze stałą szybkością. Dla dwóch punktów leżących na tym okręgu, $B$‍ i $C$‍, zaznaczono wektory prędkości chwilowej. Przyspieszenie skierowane jest w kierunku zmiany prędkości. Jeśli punkty $B$‍ i $C$‍ leżałyby bardzo blisko siebie, różnica wektorów prędkości chwilowej skierowana byłaby dokładnie do środka okręgu. Dlatego przyspieszenie obiektu poruszającego się ruchem „jednostajnym” — to znaczy ze stałą szybkością — po okręgu nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym i oznaczamy jako $a_d$‍. Przyspieszenie dośrodkowe jest wektorem, skierowanym od poruszającego się punktu do środka okręgu, prostopadle do wektora prędkości chwilowej. Mamy jeszcze jeden argument, który powinien Cię przekonać, że przyspieszenie dośrodkowe rzeczywiście skierowane jest od poruszającego się punktu do środka okręgu. Spójrz, nie masz wątpliwości, że prędkość punktu w punkcie $B$‍ skierowana jest prostopadle do wektora położenia $r$‍, tak jak na rysunku (z jakichś powodów, ludzie mają bezbłędną intuicję na temat prędkości, która niestety nie rozciąga się na przyspieszenie). Ale prędkość to pochodna wektora położenia po czasie. Różniczkowanie po czasie to operacja matematyczna — przekształca jeden zależny od czasu wektor w drugi, będący jego pochodną po czasie. Zastanów się w takim razie, przez analogię, co zrobi różniczkowanie po czasie z wektorem prędkości w punkcie $B$‍...

Mamy nadzieję, że rozumiesz już, dlaczego w ruchu jednostajnym po okręgu przyspieszenie dośrodkowe skierowane jest do środka okręgu, ale ile wynosi jego wartość? Zacznijmy od próby zgadnięcia zależności od promienia ruchu $r$‍ i (stałej) szybkości $v$‍ za pomocą analizy wymiarowej. $a_d$‍ jest przyspieszeniem, ma więc wymiar m/s${}^2$‍ , czyli m${}^1$‍ s${}^{-2}$‍. Zapiszmy więc $a_d$‍ jako (szybkość $v$‍)${}^a$‍ (promień $r$‍)${}^b$‍ i spróbujmy wyznaczyć $a$‍ i $b$‍. Z porównania potęg metra i sekundy dostaniemy natychmiast, ze $a=2$‍ i $b=-1$‍, a zatem przyspieszenie dośrodkowe jest wprost proporcjonalne do kwadratu prędkości i odwrotnie proporcjonalne do promienia okręgu, po którym porusza się nasz punkt. Skorzystajmy teraz z argumentu bazującego na podobieństwie pojęć wektora położenia i wektora prędkości. Zgodzisz się, że wartość prędkości (szybkość) równa się stosunkowi długości okręgu zataczanego przez koniec wektora położenia do czasu jednego obrotu. Przez analogię, długość wektora przyspieszenia powinna być równa stosunkowi długości okręgu zataczanego przez koniec wektora prędkości (promień tego okręgu wynosi $|v|$‍) do czasu. Z tak opisanych dwóch równań można łatwo wyznaczyć długość $|a_d|$‍. Można też oprzeć się na geometrii: trójkąty utworzone przez prędkości i ich różnice oraz przez promienie $r$‍ i cięciwę $\mathrm{\Delta }s$‍ są podobne (jesli kąt jest mały, cięciwę można przybliżyć przez długość łuku). Oba trójkąty $ABC$‍ i $PQR$‍ są trójkątami równoramiennymi. W przypadku prędkości równe boki odpowiadają prędkościom $v_1=v_2=v$‍. Korzystając z podobieństwa trójkątów, dostajemy ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{r}}$‍. Uwaga, na temat notacji: to, co wygląda na różnicę prędkości, jest tak naprawdę długością wektora, będącego różnicą dwóch wektorów prędkości. Nie powinno się to mylić ze zmianą długości samego wektora prędkości, która jest zero, bo ruch odbywa się ze stałą szybkością.

Skoro przyspieszenie to ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$‍, zacznijmy od wyznaczenia $\mathrm{\Delta }v$‍:

Dzieląc obie strony przez $\mathrm{\Delta }t$‍ otrzymamy:

Zauważmy, że ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}=a_c$‍ i że ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}=v$‍, wartości prędkości liniowej, stycznej do okręgu, z jaką porusza się nasz punkt. Stąd wynika, że przyspieszenie dośrodkowe ma wartość $a_c={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$‍.

Obliczyliśmy trzema różnymi metodami wzór na przyspieszenie dośrodkowe punktu poruszającego się ze stałą szybkością $v$‍ po okręgu o promieniu $r$‍. Przyspieszenie dośrodkowe $a_d$‍ jest odwrotnie proporcjonalne do promienia $r$‍, a zatem im promień skrętu jest mniejszy, tym przyspieszenie większe, co powinno zgadzać się z Twoją intuicją na podstawie codziennych doświadczeń jazdy samochodem, rowerem czy komunikacją miejską. Poza tym to ciekawe, że $a_d$‍ jest wprost proporcjonalne do kwadratu prędkości (choć inaczej być nie mogło, patrz wyprowadzenie wzoru za pomocą analizy wymiarowej), co oznacza, że wchodząc w zakręt o zadanym promieniu z szybkością 100 km/h odpowiada wartości przyspieszenia dośrodkowego 4 razy większej niż przy wejściu w ten sam zakręt z szybkością 50 km/h.

Wirówka to urządzenie umożliwiające rozdzielenie zawiesin i emulsji poprzez wprawienie ich w bardzo szybki ruch obrotowy. Duże, przekraczające tysiące razy przyspieszenie ziemskie, przyspieszenie dośrodkowe powala na rozdzielenie niewielkich próbek materiałów o różnej gęstości w krótkim czasie. Dzięki ultraszybkim wirówkom możemy rozdzielić składniki krwi, większe i mniejsze bakterie, czy duże molekuły, takie jak białka czy DNA, z roztworu, w którym się znajdują.

Wirówki dzielimy często w zależności od stosunku przyspieszenia dośrodkowego, działającego na próbkę, do przyspieszenia ziemskiego $g$‍; przyspieszenia dośrodkowe rzędu setek tysięcy $g$‍ uzyskuje się w wirówkach działających w próżni. Specjalnie skonstruowane, wielkie wirówki wykorzystuje się do treningu pilotów wojskowych i kosmonautów i badania wpływu dużych przyspieszeń na ludzki organizm.

Ile wynosi przyspieszenie dośrodkowe, z jakim poruszają się pasażerowie samochodu wchodzącego w zakręt o promieniu 500 m z szybkością 25 m/s — czyli około 90 km/h? Porównaj wynik z wartością przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni Ziemi. Promień zakrętu i szybkość samochodu odpowiadają typowym warunkom spotykanym na drogach szybkiego ruchu.

Wyznacz przyspieszenie dośrodkowe w punkcie odległym o 7,5 cm od osi obrotu w ultrawirówce, która obraca się z szybkością $7,5\cdot {10}^4$‍ obrotów na minutę.