Główna zawartość

Prawa Kirchhoffa

Prawa Kirchhoffa opisują jak sumować natężenia prądów wpływających do węzła oraz napięć wokół pętli obwodu. Te dwa równania stanowią podstawę zaawansowanej analizy obwodów. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Prawa Kirchoffa dla prądu i napięcia są kluczowe dla rozwiązywania obwodów. Te dwa prawa, plus dodatkowe równania dla pojedynczych elementów (opornik, kondensator, cewka indukcyjna) tworzą zestaw reguł który wystarczy do rozwiązywania najprostszych obwodów.

Ten artykuł zakłada że znasz następujące definicje: węzeł, rozdzielony węzeł, gałąź, pętla
Artykuł zawiera zadania, więc miej w pobliżu kartkę i ołówek.

Prądy wpływające do węzła

Zanim omówimy teorię, zastanów się nad jednym przykładem. Na schemacie pokazane są cztery gałęzie przez które prąd wpływa i wypływa z poniższego rozproszonego węzła. Natężenia wyrażono w miliamperach, oprócz jednego, start color #11accd, i, end color #11accd, którego wartość nie jest znana.

Zadanie 1: Ile wynosi i?

(Choice A)
minus, 4, start text, m, A, end text
(Choice B)
plus, 2, start text, m, A, end text
(Choice C)
plus, 4, start text, m, A, end text
(Choice D)
plus, 8, start text, m, A, end text

[Pokaż odpowiedź]

Kolejny przykład rozważymy na literach, zamiast podstawiać liczbowe wartości natężeń. Mamy węzeł z którym połączone jest pięć gałęzi. W każdej z nich może (lub nie) płynąć prąd o natężeniu oznaczonym od i, start subscript, 1, end subscript, start text, d, o, end text, i, start subscript, 5, end subscript.

Wszystkie strzałki skierowane są do węzła. Wybór kierunku jest umowny. W tym momencie nie ma znaczenia, czy strzałki będą skierowane do środka czy jakkolwiek inaczej. Strzałki określają nam kierunek przepływu prądu o dodatnim natężeniu.

Rozważmy jedną z gałęzi w której płynie i, start subscript, 1, end subscript.
Gdzie trafia prąd?

W pierwszej kolejności, prąd o natężeniu i, start subscript, 1, end subscript wpływa do węzła (oznaczonego czarną kropką).

Co dalej?

Oto czego i, start subscript, 1, end subscript nie może zrobić: Po pierwsze, i, start subscript, 1, end subscript nie zostanie wewnątrz węzła. Węzeł nie może gromadzić w sobie ładunku. Po drugie, ładunek niesiony w i, start subscript, 1, end subscript nie może "zeskoczyć" z przewodów i zniknąć. Ładunek, w normalnych warunkach, tak się nie zachowuje.

Co nam pozostaje? Prąd musi wypłynąć z węzła przy pomocy jednej lub więcej gałęzi.

Dla węzła z naszego przykładu możemy zapisać ten fakt równaniem,

i, start subscript, 1, end subscript, plus, i, start subscript, 2, end subscript, plus, i, start subscript, 3, end subscript, plus, i, start subscript, 4, end subscript, plus, i, start subscript, 5, end subscript, equals, 0.

Jeżeli wartość i, start subscript, 1, end subscript jest dodatnia, więc zgodnie z naszą konwencją, wpływa on do węzła, to jeden lub więcej z pozostałych wyrazów musi być ujemny i wypływać z węzła.

Tę obserwację zgrabnie opisuje pierwsze prawo Kirchhoffa, nazywane również prądowym.

Prądowe prawo Kirchhoffa

Prądowe prawo Kirchhoffa głosi, że suma natężeń wszystkich prądów wpływających do węzła musi równoważyć się z sumą natężeń wszystkich prąd z niego wypływających. Można zapisać je w postaci równania:

sum, i, start subscript, w, e, j, end subscript, equals, sum, i, start subscript, w, y, j, end subscript.

[Cóż to za zygzak?]

Prądowe prawo Kirchhoffa - sprawdzenie wiedzy

Wartości natężeń prądów podano w miliamperach, start text, m, A, end text.

Zadanie 2: Ile wynosi i, start subscript, 5, end subscript?

(Choice A)
minus, 6, start text, m, A, end text
(Choice B)
empty space, 0, start text, m, A, end text
(Choice C)
plus, 6, start text, m, A, end text
(Choice D)
plus, 9, start text, m, A, end text

[Pokaż odpowiedź]

Zadanie 3: Ile wynosi i, start subscript, 3, end subscript w poniższym rozproszonym węźle?

(Choice A)
minus, 6, start text, m, A, end text
(Choice B)
empty space, 0, start text, m, A, end text
(Choice C)
plus, 6, start text, m, A, end text
(Choice D)
plus, 12, start text, m, A, end text

[Pokaż odpowiedź]

Napięcie dokoła pętli

Poniższy obwód z czterema opornikami i źródłem napięciowym możemy rozwiązać korzystając z prawa Ohma. Następnie przyjrzymy się rozwiązaniu i poczynimy pewne obserwacje. Najpierw wyznaczymy natężenie prądu, a następnie napięcia na każdym z oporników.

Widać, że mamy do czynienia z obwodem szeregowym. Przez wszystkie elementy przepływa więc prąd o tym samym natężeniu start color #11accd, i, end color #11accd. Wartość natężenia start color #11accd, i, end color #11accd wyznaczymy po wyznaczeniu zastępczego oporu szeregowego:

R, start subscript, s, z, e, r, e, g, end subscript, equals, 100, plus, 200, plus, 300, plus, 400, equals, 1000, \Omega.

Natężenie prądu wyznaczymy z prawa Ohma:

start color #11accd, i, end color #11accd, equals, start fraction, V, divided by, R, start subscript, s, e, r, i, e, s, end subscript, end fraction, equals, start fraction, 20, start text, V, end text, divided by, 1000, \Omega, end fraction, equals, 0, comma, 020, start text, A, end text, equals, 20, start text, m, A, end text.

Znamy już więc natężenie prądu. Teraz wyznaczymy napięcia na czterech opornikach. Wróćmy do pierwszego schematu i dodajmy oznaczenia napięć na każdym z pięciu elementów obwodu:

Stosując prawo Ohma jeszcze czterokrotnie, wyznaczymy napięcie na każdym z oporników:

v, empty space, equals, start color #11accd, i, end color #11accd, start text, R, end text
v, start subscript, start text, R, 1, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, dot, 100, \Omega, equals, plus, 2, start text, V, end text
v, start subscript, start text, R, 2, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, dot, 200, \Omega, equals, plus, 4, start text, V, end text
v, start subscript, start text, R, 3, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, dot, 300, \Omega, equals, plus, 6, start text, V, end text
v, start subscript, start text, R, 4, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, dot, 400, \Omega, equals, plus, 8, start text, V, end text

Znamy już natężenie prądu i wszystkie napięcia. Obwód jest więc rozwiązany.

Na schemat możemy nanieść napięcia, zwane również napięciami elementów. Węzłom nadamy też nazwy od start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f do start color #0d923f, start text, e, end text, end color #0d923f, tak, byśmy mogli odnosić się do nich.

Zróbmy szybkie sprawdzenie. Sumując napięcia wszystkich oporników dostajemy:

2, start text, V, end text, plus, 4, start text, V, end text, plus, 6, start text, V, end text, plus, 8, start text, V, end text, equals, 20, start text, V, end text.

Napięcia oporników sumują się do napięcia źródła. Ma to sens, a w dodatku potwierdza nasze obliczenia.

Teraz zrobimy to samo - zsumujemy napięcia. Zastosujemy nieco inną procedurę. Podążymy "dokoła pętli". Nie odkrywamy niczego nowego, po prostu przestawiamy wyrazy w tym samym obliczeniu.

Procedura sumowania napięć elementów dokoła pętli

Krok 1: Wybierz węzeł początkowy.

Krok 2: Wybierz kierunek ruchu wokół pętli (zgodnie albo przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Krok 3: Poruszaj się dokoła pętli.

[wskazówka]

Kolejne elementy dodawaj do rosnącej sumy zgodnie z kilkoma zasadami:

Po napotkaniu nowego elementu, zwróć uwagę na jego znak od strony na którą trafisz.
Jeśli znak jest dodatni, na elemencie odnotujemy spadek napięcia. Odejmij napięcie tego elementu.
Jeśli znak jest ujemny, na elemencie odnotujemy skok napięcia. Dodaj wartość napięcia na tym elemencie.
[Alternatywny zestaw reguł]

Krok 4: Kontynuuj dokoła pętli póki nie wrócisz do początkowego węzła i uwzględniaj wszystkie elementy na jakie trafisz.

Zastosowanie procedury w pętli

Wykonajmy procedurę krok po kroku.

Zaczynamy od lewego dolnego rogu, w węźle start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f.
Ruszamy zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Pierwszym elementem, który napotkamy jest źródło napięciowe. Dotrzemy do niego od strony ujemnego potencjału, więc doświadczymy skoku napięcia. Zgodnie z trzecim krokiem procedury, sumowanie zaczniemy od napięcia źródła, biorąc je ze znakiem dodatnim.

v, start subscript, p, ę, t, l, a, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, po przejściu przez źródło trafimy do węzła start color #0d923f, start text, b, end text, end color #0d923f.

Kolejnym elementem jest opornik o wartości 100, \Omega. Trafiamy na dodatni zacisk. Zgodnie z procedurą, wartość napięcia odejmiemy więc od sumy.

v, start subscript, p, ę, t, l, a, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, przez opornik 100, \Omega do węzła oznaczonego start color #0d923f, start text, c, end text, end color #0d923f.

Idziemy dalej. Następny jest opornik o wartości 200, \Omega. Znów trafimy na dodatni zacisk, więc napięcie ponownie odejmiemy od sumy.

v, start subscript, p, ę, t, l, a, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, minus, 4, start text, V, end text, przez opornik 200, \Omega do węzła start color #0d923f, start text, d, end text, end color #0d923f.

Jeszcze dwa elementy i zamkniemy pętlę,

v, start subscript, p, ę, t, l, a, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, minus, 4, start text, V, end text, minus, 6, start text, V, end text, przez opornik 300, \Omega do węzła start color #0d923f, start text, e, end text, end color #0d923f.

v, start subscript, p, ę, t, l, a, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, minus, 4, start text, V, end text, minus, 6, start text, V, end text, minus, 8, start text, V, end text, po napotkaniu opornika 400, \Omega.

(Sprawdź, czy na ostatnich dwóch elementach zgadzają się znaki.)

Koniec. Wróciliśmy do węzła start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f. Ile wynosi suma v, start subscript, p, ę, t, l, a, end subscript?

Napięcia dokoła pętli sumują się do zera. Zaczęliśmy i skończyliśmy w tym samym węźle, więc napięcie początkowe i końcowe są jednakowe. W trakcie "spaceru" natknęliśmy się na skoki i spadki napięcia, które wzajemnie się znoszą po powrocie do miejsca startu. Dzieje się tak, gdyż siła elektryczna jest zachowawcza. Wróciwszy do tego samego punktu nie doświadczymy skoku ani spadku całkowitej energii.

Zrobimy jeszcze jeden przykład. Tym razem posługiwać będziemy się nazwami zmiennych zamiast wartościami parametrów. Na poniższy schemat, który już dobrze znamy, naniesiono oznaczenia węzłów i napięć. Bieguny napięć oznaczone są w sposób, który mógłbyś się nie spodziewać. Wszystkie strzałki wskazują ten sam kierunek dokoła pętli. Taka konwencja pozwoli nam zobaczyć pewną fajną cechę pętli.

Przejdźmy się dokoła pętli, sumując napotkane napięcia. Zaczynamy w węźle start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f w lewym dolnym rogu. Poruszamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (to arbitralny wybór, mamy tu pełną dowolność).

Po wyjściu z węzła start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f, napotykamy ujemny zacisk źródła napięciowego. Następuje więc skok napięcia o wartości v, start subscript, a, b, end subscript woltów. W takim razie wyraz z tym napięciem będzie miał znak dodatni.

Kontynuujemy ruch po pętli, z węzła start color #0d923f, start text, b, end text, end color #0d923f do start color #0d923f, start text, c, end text, end color #0d923f do start color #0d923f, start text, d, end text, end color #0d923f do start color #0d923f, start text, e, end text, end color #0d923f i wracamy do węzła start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f, w międzyczasie dodając napięcia do naszej sumy. Bieguny wybrano tak, że na każdym oporniku trafiamy na znak minus. Wszystkie elementy wchodzą do sumy ze znakiem plus. Ostatecznie nasza suma wygląda następująco:

plus, v, start subscript, start text, a, b, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, R, 1, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, R, 2, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, R, 3, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, R, 4, end text, end subscript.

Zastanówmy się, jaka może być wartość tej sumy.

Pętla zaczyna się i kończy w tym samym węźle, więc początkowe i końcowe napięcie jest jednakowe. Przeszliśmy całą pętlę sumując napięcia i skończyliśmy z tym samym napięciem. Napotkane wartości napięć muszą więc sumować się do zera. W naszym przykładzie możemy to wyrazić przez:

v, start subscript, start text, a, b, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, R, 1, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, R, 2, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, R, 3, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, R, 4, end text, end subscript, equals, 0.

[Co stałoby się, gdyby napięcia w pętli sumowały się do innej wartości niż zero?]

[Co się stanie jeśli pętlę obejdziemy w drugą stronę?]

[podpowiedź]

[pokaż odpowiedź]

Napięciowe prawo Kirchhoffa zgrabnie opisuje zachowanie się napięć dokoła pętli.

Napięciowe prawo Kirchhoffa

Napięciowe prawo Kirchhoffa brzmi: Suma napięć w dowolnej pętli obwodu elektrycznego wynosi zero.

Napięciowe prawo Kirchhoffa można zapisać w ogólnej postaci równaniem:

sum, start subscript, n, end subscript, v, start subscript, n, end subscript, equals, 0.

gdzie suma po indeksach n przebiega po wszystkich elementach w pętli.

Inne sformułowanie napięciowego prawa Kirchhoffa brzmi: W dowolnej pętli, suma skoków napięć równa jest sumie spadków napięć,

sum, v, start subscript, s, k, o, k, end subscript, equals, sum, v, start subscript, s, p, a, d, e, k, end subscript.

Napięciowe prawo Kirchhoffa ma kilka przyjemnych własności:

Pętlę możesz rozpocząć w dowolnym węźle. Po przejściu dokoła pętli z powrotem do początkowego węzła, suma wszystkich napięć wyniesie będzie równa zeru.
Prawo obowiązuje niezależnie od kierunku sumowania. Nie ma znaczenia, czy sumę wykonasz zgodnie czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Jeśli w obwodzie występuje wiele pętli, napięciowe prawo Kirchhoffa obowiązuje dla każdej z nich.

Same dodatnie napięcia?

Być może zastanawiasz się, jak to możliwe by istniał obwód, w którym na wszystkich elementach występuje dodatnie napięcie, skoro mają sumować się do zera. Nie ma żadnego problemu. Strzałki napięć i oznaczenia biegunów definiują nam jedynie kierunek odniesienia. Po zanalizowaniu obwodu, jeden lub więcej elementów wykaże ujemne napięcie względem strzałki, co zawsze wyjdzie w trakcie obliczeń.

Napięciowe prawo Kirchhoffa - sprawdzenie wiedzy

Zadanie 4: Ile wynosi v, start subscript, R, 3, end subscript?

Przypomnienie: Sprawdź znak na każdym elemencie na który trafisz "chodząc" dokoła obwodu.

[Pokaż odpowiedź]

Podsumowanie

Poznaliśmy się z dwoma nowymi znajomymi.

Natężenia prądów wpływających do węzła możemy rozpisać stosując prądowe prawo Kirchhoffa,

sum, start subscript, n, end subscript, i, start subscript, n, end subscript, equals, 0.

Dla elementów połączonych w pętlę stosujemy napięciowe prawo Kirchhoffa,

sum, start subscript, n, end subscript, v, start subscript, n, end subscript, equals, 0.

Naszych nowych znajomych czasem nazywa się ich inicjałami, PPK i NPK.

Nauczyliśmy się również, jak ważne jest pilnowanie znaków przy poszczególnych natężeniach prądu i napięciach. Każde sprawdzenie jest żmudnym procesem, w którym kluczowe jest dbanie o szczegóły. Jest to główna cecha dobrego elektrotechnika.

[Temat zaawansowany: Prawa Kirchhoffa wyprowadza się z równań Maxwella]

[Informacja o prawach autorskich]