Główna zawartość

Kurs: Fizyka > Rozdział 3

Lekcja 5: Równia pochyła i tarcie

Co to jest równia pochyła?

Powierzchnie, po których się poruszamy, nie są na ogół idealnie poziome. Dowiedz się, jak sobie radzić z nachyleniem! Tłumaczenie na język polski zrealizowane przez Centrum Fizyki Teoretycznej PAN.

Czym jest równia pochyła?

Podjazd dla wózków, pochyła droga, rampa to załadunku - wszystko to przykłady nachylonych powierzchni. Równia pochyła jest ich idealnym modelem - doskonale płaską, nachyloną pod pewnym kątem do poziomu powierzchnią, na której różnorakie ciała fizyczne mogą leżeć, ślizgać się, toczyć, turlać lub cokolwiek innego.

Równia pochyła często przydaje się w praktyce, gdyż pozwala znaczącą zmniejszyć siłę wymaganą do podniesienia danego obiektu. Jest ona jedną z sześciu podstawowych maszyn prostych.

Sześć podstawowych maszyn prostych to najbardziej elementarne, często wykorzystywane w inżynierii obiekty, których używanie daje pewne wymierne korzyści (np. zmniejszenie siły wymaganej do wykonania pewnego zadania). Maszyny te to: dźwignia, koło (zaczepione na osi), krążek linowy, równia pochyła, klin i śruba.

Maszyny proste są przydatne, gdyż zmniejszają wartość siły wymaganej do przesunięcia danego przedmiotu. Np. rampa do załadunku towaru pomaga nam przesuwać ciężkie obiekty w pionie, używając siły znacznie mniejszej niż ich ciężar. Brzmi to trochę jak magiczna sztuczka i oszczędność energii - nic bardziej mylnego. Do wykonania zadania używamy mniejszej siły, ale droga podnoszenia obiektu jest znacznie dłuższa, także ilość koniecznej do wykonania pracy pozostaje niezmieniona.

Jak do równi pochyłej ma się druga zasada dynamiki Newtoda?

W większości przypadków, używając drugiej zasady dynamiki Newtona rozbijamy problem na ruch (i siły) w pionie oraz w poziomie. Przy analizie ruchu obiektów po równi takie podejście byłoby bardzo mało efektywne (choć wciąż możliwe i w pełni poprawne). Korzystniej jest rozbić siły na składowe prostopadłe i równoległe do powierzchni równi i zapisywać równania dla tych kierunków.

Oznacza to, że po rozłożeniu sił i przyspieszeń na składowe otrzymamy oddzielne równania: dla kierunku prostopadłego $⊥$ ‍ i równoległego $∥$ ‍ do równi.

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m}

Ponieważ w praktycznie każdym przypadku obiekt ślizga się po powierzchni równi bez podskakiwania, możemy z powodzeniem przyjmować, że przyspieszenie w kierunku prostopadłym do równi

a_{⊥} = 0

Jak znaleźć składowe $⊥$ ‍ i $∥$ ‍ siły grawitacji?

Ponieważ chcemy rozważać oddzielnie ruch w płaszczyźnie równi oraz prostopadły do niej, musi rozłożyć siłę grawitacji na odpowiednie składowe: prostopadłą i równoległą do równi.

Na rysunku poniżej pokazano, jak rozkładać siłę grawitacji na składowe. Należy być ostrożnym - mylenie

sinusa

cosinusa

to bardzo częsty błąd (warto tak narysować obrazek, by kąt nachylenia równi był niewielki - wówczas wartość sinusa jest znacznie mniejsza niż cosinusa, co ułatwia uniknięcie błędu).

Rozkładanie siły grawitacje na składowe prostopadłą i równoległą często stwarza problemy, dlatego dokładnie prześledzimy cały proces.

Zauważmy, że siła grawitacji $F_{g} = m g$ ‍ działa prosto w dół.

Siłę grawitacji (jak każdy wektor) można rozbić na składowe równoległą $F_{g ∥}$ ‍ i prostopadłą $F_{g ⊥}$ ‍ do powierzchni równi.

Lewy górny kąt równi $ϕ$ ‍ ma tę samą wartość, co kąt $ϕ$ ‍ pomiędzy skierowaną w dół siłą grawitacji $m g$ ‍ a jej składową równoległą do równi $F_{g ∥}$ ‍. Ten kąt jako taki nas nie obchodzi, ale przyda się, do znalezienia związku między nachyleniem równi a długością składowych.

Zarówno równia, jak siła grawitacji wraz ze swoimi składowymi tworzą na obrazku trójkąty prostokątne. Oznacza to, że skoro kąt $ϕ$ ‍ jest w obu przypadkach jednakowy, również kąt $θ$ ‍ (nachylenie równi oraz kąt między $m g$ ‍ a $F_{g ⊥}$ ‍) musi mieć tę samą wartość w obydwu trójkątach (gdyż trzeci kąt jest zadany jako prosty, a suma kątów w trójkącie zawsze wynosi $180^{o}$ ‍).

Teraz, znając wartość kąta między $m g$ ‍ a $F_{g ⊥}$ ‍, posługując się definicją $sinusa$ ‍, możemy stwierdzić:

sin θ = \frac{przeciwległa przyprostokątna}{przeciwprostokątna} = \frac{F_{g ∥}}{m g}

Co po przekształceniu równania daje wartość

F_{g ∥}

F_{g ∥} = m g sin θ

Podobnie dla składowej prostopadłej. Definicja

cosinusa

mówi nam

cos θ = \frac{przylegająca przyprostokątna}{przeciwprostokątna} = \frac{F_{g ⊥}}{m g}

Co daje nam wzór na

F_{g ⊥}

F_{g ⊥} = m g cos θ

Jaka jest wartość siły reakcji podłoża $F_{N}$ ‍ dla obiektu umiejscowionego na równi pochyłej?

Siła reakcji podłoża

F_{N}

zawsze skierowana jest prostopadle do płaszczyzny styku ciał; zatem i w tym wypadku kierunek działania siły będzie prostopadły do powierzchni równi.

W typowym przypadku, kiedy ciało nie doznaje żadnych przyspieszeń w kierunku prostopadłym do powierzchni równi (nie podskakuje), musi zachodzić równowaga sił w tym kierunku. Oznacza to, że siła reakcji podłoża musi być równa co do wartości składowej normalnej (czyli prostopadłej) siły grawitacji oraz musi być przeciwnie skierowana.

Innymi słowy, dla ciała leżącego nieruchomo lub ślizgającego się po powierzchni równi

F_{N} = m g cos θ

Aby wyznaczyć wartość siły reakcji podłoża zapiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona dla kierunku prostopadłego do powierzchni równi:

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (druga zasada dynamiki Newtona dla kierunku prostopadłego do powierzchni równi)

0 = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (a_{⊥} wynosi zero, gdyż ciało nie doznaje przyspieszeń w tym kierunku (nie podskakuje))

0 = \frac{F_{N} - m g cos θ}{m} (wypisujemy jawnie siły - F_{N} i prostopadła kładowa F_{g})

0 = F_{N} - m g cos θ (mnożymy obustronnie przez m)

F_{N} = m g cos θ (wyznaczamy wartość F_{N})

To wyprowadzenie dowodzi, iż wartość siły reakcji podłoża działającej na obiekt umiejscowiony na równi pochyłej wynosi

m g cos θ

(pod warunkiem że ciało nie doznaje przyspieszeń w kierunku prostopadłym do równi i nie działają na nie w tym kierunku inne siły).

Jak rozwiązywać zadania o równiach pochyłych?

Przykład 1: Sanki

Dziecko zjeżdża z góry na sankach. Kąt nachylenia powierzchni górki do poziomu wynosi

θ = 30^{o}

, a współczynnik tarcia kinetycznego między sankami a śniegiem ma wartość

μ_{k} = 0,150

. Sumaryczna masa dziecka i sanek to

65, 0 kg

Jakiego przyspieszenia doznają sanki zjeżdżając z górki?

Zacznijmy od rozrysowania sił działających na sanki.

Użyjmy drugiej zasady dynamiki Newtona dla kierunku równoległego do powierzchni górki:

a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m} (druga zasada dynamiki Newtona dla kierunku równoległego)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - F_{k}}{m} (wypisujemy jawnie siły)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{k} F_{N}}{m} (podstawiamy wzór na siłę tarcia kinetycznego)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{k} (m g cos θ)}{m} (podstawiamy m g cos θ pod siłę reakcji podłoża F_{N})

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{k} (m g cos θ)}{m} (skracamy masę w liczniku i mianowniku)

a_{∥} = g sin θ - μ_{k} (g cos θ) (okazało się, że przyspieszenie nie zależy od masy!)

a_{∥} = (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) sin 30^{o} - (0,150) (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) cos 30^{o} (podstawiamy wartości liczbowe)

a_{∥} = 3, 63 \frac{m}{s^{2}} (mamy ostateczny wynik)

Przykład 2: Stromy podjazd

Pewien człowiek buduje dom i zastanawia się, jak stromy może być podjazd, aby mógł na nim parkować samochodem bez obawy, że ten się zsunie. Współczynnik tarcia statycznego między oponami a betonem, z którego wykonany jest podjazd, wynosi

0, 75

Jaki jest maksymalny kąt nachylenia płaszczyzny podjazdu do poziomu, dla którego samochód będzie mógł stać bez zsuwania się?

Zacznijmy od drugiej zasady dynamiki Newtona dla kierunku równoległego do powierzchni podjazdu:

a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m} (druga zasada dynamiki Newtona dla kierunku równoległego)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - F_{s}}{m} (wypisujemy jawnie siły - składową grawitacji oraz siłę tarcia statycznego)

0 = \frac{m g sin θ - F_{s}}{m} (ponieważ samochód ma się nie zsuwać, przyspieszenie wynosi zero)

0 = m g sin θ - F_{s} (mnożymy obustronnie przez m)

0 = m g sin θ - F_{s max} (zakładamy, że F_{s} osiąga maksymalną możliwą wartość F_{s max})

Wartość siły tarcia statycznego będzie rosła i rosła wraz ze zwiększaniem kąta nachylenia podjazdu. Ponieważ szukamy największej możliwej wartości kąta, interesuje nas skrajny przypadek - czyli taki, wartość tarcia wzrosła już do maksymalnej możliwej wartości i odchylenie podjazdu dowolnie mocniej zaowocowałoby ześlizgiwaniem się auta.

Wobec tego do wzoru należy podstawić wzór na maksymalna wartość siły tarcia statycznego

F_{s max} = μ_{s} F_{N}

0 = m g sin θ - μ_{s} F_{N} (podstawiamy wrażenie na maksymalną wartość siły tarcia statycznego)

0 = m g sin θ - μ_{s} (m g cos θ) (podstawiamy wyrażenie na siłę reakcji równi)

0 = m g sin θ - μ_{s} (m g cos θ) (dzielimy obustronnie przez m g)

0 = sin θ - μ_{s} (cos θ) (ponownie - wynik nie zależy od masy!)

sin θ = μ_{s} (cos θ) (przekształcamy, by uzyskać wzór na sin θ)

\frac{sin θ}{cos θ} = μ_{s} (dzielimy obustronnie przez cos θ)

tan θ = μ_{s} (zapisujemy \frac{sin θ}{cos θ} jako tan θ)

θ = t a n^{- 1} (μ_{s}) (stosujemy obustronnie funkcję odwrotną do tangensa)

θ = t a n^{- 1} (0, 75) (podstawiamy numeryczne wartości)

θ = 37^{o} (i oto wynik!)

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Fizyka