Co mówi druga zasada dynamiki Newtona?

Spośród wszystkich praw fizyki, jakich się nauczysz, druga zasada dynamiki Newtona jest prawdopodobnie najważniejsza i najbardziej uniwersalna. Pojawia się ona w bardzo wielu działach fizyki, dlatego jest niezwykle istotne, by doskonale są opanować.

Wiemy, że obiekty mogą przyśpieszać jedynie wtedy, gdy znajdują się pod wpływem sił. Druga zasada dynamiki Newtona dokładnie mówi nam, o ile przyśpieszy obiekt pod wpływem przyłożonej siły wypadkowej.

Żeby było jasne, $a$a jest przyśpieszeniem obiektu, $\Sigma F$\Sigma, F jest wypadkową siłą działającą na obiekt, $m$m jest masą obiektu.

Analizując drugie prawo dynamiki Newtona możemy zauważyć, iż wartość przyspieszenia jest wprost proporcjonalna to sumarycznej (wypadkowej) siły $\Sigma F$\Sigma, F i odwrotnie proporcjonalna do masy $m$m analizowanego ciała. Innymi słowy, gdy wartości wszystkich sił wzrosły dwukrotnie, również wartość przyspieszenia uległaby podwojeniu. I analogicznie, gdyby masa ciała zwiększyła się dwa razy, przyspieszenie zmalałoby o połowę.

Kiedy na ciało działa wiele sił, skierowanych w różnych kierunkach, przez siłę wypadkową rozumiemy sumę wszystkich sił przyłożonych do danego ciała $\Sigma F$\Sigma, F. Siła jest wektorem, zatem dodawanie sił przebiega trochę inaczej niż dodawanie liczb. Dodając do siebie wektory musimy uwzględniać ich kierunki i zwroty. Siła wypadkowa jest sumą wektorów wszystkich pojedynczych sił.

Rozważmy np. dwie siły o wartościach 30N i 20N, które działają na owieczkę i skierowane są w przeciwnych kierunkach. Musimy przyjąć jakąś konwencję oznaczeń, jaki zwrot uznamy za dodatni - niech zatem dodatnią wartość mają siły skierowane w prawo. Wówczas:

Gdyby w zadaniu pojawiło się więcej poziomych sił, nie byłoby ono wiele trudniejsze - należałoby dodać wszystkie siły skierowane w prawo i odjąć wszystkie skierowane w lewo.

Ponieważ zarówna siły, jak i przyspieszenie są wartościami wektorowymi, drugą zasadę dynamiki Newtona należałoby przedstawiać w formie $\vec a=\dfrac{\Sigma \vec F}{m}$a, with, vector, on top, equals, start fraction, \Sigma, F, with, vector, on top, divided by, m, end fraction. Z takiego zapisu jasno widać, iż przyspieszenie ciała zawsze skierowane jest w tę samą stronę, co wypadkowa siła. Innymi słowy, jeśli wypadkowa siła $\Sigma F$\Sigma, F skierowana jest w prawo, również przyspieszenie $a$a skierowane jest w tamtą stronę.

Jeśli mamy do czynienia ze skomplikowanym problemem, w którym występuje wiele sił działających, warto rozpatrzeć oddzielnie ruch w różnych kierunkach (w ogólności trzech, a gdy wiemy, że ciało pozostaje w jednej płaszczyźnie, wystarczą dwa).

Innymi słowy, możemy zapisać równanie dla ruchu w poziomie:

Mówi nam ono, iż pozioma składowa przyspieszenia $a_x$a, start subscript, x, end subscript równa jest poziomej składowej wypadkowej siły $\Sigma F_x$\Sigma, F, start subscript, x, end subscript (czy też sumie poziomych składowych wszystkich sił - kolejność nie ma tu znaczenia) podzielonej przez masę.

Podobnie dla kierunku pionowego mamy:

Pionowa składowa przyspieszenia $a_y$a, start subscript, y, end subscript równa jest pionowej składowej siły wypadkowej $\Sigma F_y$\Sigma, F, start subscript, y, end subscript podzielonej przez masę.

Chcąc stosować to podejście, musimy uważać, aby poziome przyspieszenie porównywać tylko z poziomymi składowymi sił i w drugą stronę - pionowe przyspieszenie z pionowymi siłami. Takie rozdzielenie jest poprawne, gdyż siły działające w poziomie nie mają żadnego wpływu na pionowe przyspieszenie i vice versa. Dla przykładu rozważmy kurę o masie $m$m do której przyłożono cztery siły: $\redD{F_1}$start color #e84d39, F, start subscript, 1, end subscript, end color #e84d39, $\blueD{F_2}$start color #11accd, F, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd, $\greenD {F_3}$start color #1fab54, F, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54 i $F_4$F, start subscript, 4, end subscript o kierunkach i zwrotach jak na rysunku poniżej.

Siły $\redD{F_1}$start color #e84d39, F, start subscript, 1, end subscript, end color #e84d39 i $\greenD {F_3}$start color #1fab54, F, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54 działają w poziomie, zatem mają wpływ na poziomie przyspieszenie. Zapisując drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu w poziomie, przyjmując konwencję, że dodatni znak maja przyspieszenia skierowane w prawo, otrzymujemy

Podobnie, siły $\blueD{F_2}$start color #11accd, F, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd i $F_4$F, start subscript, 4, end subscript działają pionie więc mają wpływ na pionową składową przyspieszenia. Przyjmujemy konwencję, iż dodatni znak odpowiada siłom skierowanym do góry; wówczas

Uwaga: Częstym błędem który ludzie popełniają, jest podstawienie siły pionowej do równania w osi poziomej, lub na odwrót.

Kiedy siła skierowana jest po kątem, wciąż możemy analizować niezależnie ruch w pionie i w poziomie. Pojawia się jednak problem - nasza nowa siła wpływa na każdy z tych ruchów.

Na przykład, powiedzmy że siła $\greenD {F_3}$start color #1fab54, F, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54 działająca na kurczaka, jest teraz skierowana pod kątem $\theta$theta, tak jak widzimy na rysunku poniżej.

Siła $\greenD {F_3}$start color #1fab54, F, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54 jako całość ma wpływ zarówna na pionowe jak i poziome przyspieszenie, jednak możemy rozłożyć ją na składowe - tylko pozioma składowa $\greenD {F_3}$start color #1fab54, F, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54 ma wkład do poziomego przyspieszenia; analogicznie tylko pionowa składowa $\greenD {F_3}$start color #1fab54, F, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54 może mieć wpływ na przyspieszenie w pionie. A zatem rozbijmy siłą $\greenD {F_3}$start color #1fab54, F, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54 na składowe poziomą i pionową, jak na rysunku poniżej

Widzimy teraz, iż siła $\greenD{F_3}$start color #1fab54, F, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54 jest po prostu sumą poziomej siły $\greenD{F_{3x}}$start color #1fab54, F, start subscript, 3, x, end subscript, end color #1fab54 i pionowej $\greenD{F_{3y}}$start color #1fab54, F, start subscript, 3, y, end subscript, end color #1fab54.

Stosując funkcje trygonometryczne, możemy wyznaczyć wartości tyc składowych - dla poziomej $\greenD {F_{3x}}=\greenD {F_{3}}\text{cos}\theta$start color #1fab54, F, start subscript, 3, x, end subscript, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, F, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54, start text, c, o, s, end text, theta a dla pionowej $\greenD {F_{3y}}=\greenD {F_{3}}\text{sin}\theta$start color #1fab54, F, start subscript, 3, y, end subscript, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, F, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54, start text, s, i, n, end text, theta.

Teraz możemy napisać drugie prawo Newtona dla składowych poziomych

I analogicznie dla pionowych

Na 1,2-kilogramowego żółwia o imieniu Newton działają cztery siły, jak na rysunku poniżej.

Aby wyznaczyć wartość poziomego przyspieszenia zapiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona dla kierunku poziomego.

$a_x=\dfrac{(30\text{ N})\text{cos}30^\circ-22\text{ N}}{1{,}2\text{ kg}} \quad \text{(podstawiamy wartości sił, pamiętając odpowiednich znakach)}$a, start subscript, x, end subscript, equals, start fraction, left parenthesis, 30, start text, space, N, end text, right parenthesis, start text, c, o, s, end text, 30, degrees, minus, 22, start text, space, N, end text, divided by, 1, comma, 2, start text, space, k, g, end text, end fraction, start text, left parenthesis, p, o, d, s, t, a, w, i, a, m, y, space, w, a, r, t, o, s, with, \', on top, c, i, space, s, i, ł, comma, space, p, a, m, i, ę, t, a, j, ą, c, space, o, d, p, o, w, i, e, d, n, i, c, h, space, z, n, a, k, a, c, h, right parenthesis, end text.

Analogicznie znajdujemy pionową składową przyspieszenia.

$a_y=\dfrac{16\text{ N}-12\text{ N}-(30\text{ N})\text{sin}30^\circ}{1{,}2\text{ kg}} \quad \text{(podstawiamy wartości sił, pamiętając o odpowiednich znakach)}$a, start subscript, y, end subscript, equals, start fraction, 16, start text, space, N, end text, minus, 12, start text, space, N, end text, minus, left parenthesis, 30, start text, space, N, end text, right parenthesis, start text, s, i, n, end text, 30, degrees, divided by, 1, comma, 2, start text, space, k, g, end text, end fraction, start text, left parenthesis, p, o, d, s, t, a, w, i, a, m, y, space, w, a, r, t, o, s, with, \', on top, c, i, space, s, i, ł, comma, space, p, a, m, i, ę, t, a, j, ą, c, space, o, space, o, d, p, o, w, i, e, d, n, i, c, h, space, z, n, a, k, a, c, h, right parenthesis, end text.

Kawałek sera powieszony jest za pomocą dwóch nitek, które działają na niego siłami $F_1$F, start subscript, 1, end subscript i $\redD{F_2}$start color #e84d39, F, start subscript, 2, end subscript, end color #e84d39, jak na rysunku poniżej. Ponadto jest on przyciągany grawitacyjnie przez Ziemię z siłą $\greenD{20 \text{ N}}$start color #1fab54, 20, start text, space, N, end text, end color #1fab54.

Zacznijmy od zapisania drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu w pionie. Nie znamy żadnej siły poziomej, dana jest jednak jedna z pionowych - ciężar sera $\greenD{20\text{ N}}$start color #1fab54, 20, start text, space, N, end text, end color #1fab54. Zawsze warto zacząć od tego równaniu, które zawiera mniej niewiadomych.

Szukając wartości $\redD{F_2}$start color #e84d39, F, start subscript, 2, end subscript, end color #e84d39 postępujemy analogicznie (teraz, gdu znamy $F_1$F, start subscript, 1, end subscript, w równaniu na składowe poziome pojawi się również tylko jedna niewiadoma).

$a_x=\dfrac{F_1\text{cos}60^\circ-\redD{F_2}}{m} \quad \text{(podstawiamy siły z odpowiednim znakiem)}$a, start subscript, x, end subscript, equals, start fraction, F, start subscript, 1, end subscript, start text, c, o, s, end text, 60, degrees, minus, start color #e84d39, F, start subscript, 2, end subscript, end color #e84d39, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, p, o, d, s, t, a, w, i, a, m, y, space, s, i, ł, y, space, z, space, o, d, p, o, w, i, e, d, n, i, m, space, z, n, a, k, i, e, m, right parenthesis, end text.

$a_x=\dfrac{(23\text{ N})\text{cos}60^\circ-\redD{F_2}}{m} \quad \text{(podstawiamy wartość }F_1=23\text{ N} \text{ wyliczoną powyżej)}$a, start subscript, x, end subscript, equals, start fraction, left parenthesis, 23, start text, space, N, end text, right parenthesis, start text, c, o, s, end text, 60, degrees, minus, start color #e84d39, F, start subscript, 2, end subscript, end color #e84d39, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, p, o, d, s, t, a, w, i, a, m, y, space, w, a, r, t, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, space, end text, F, start subscript, 1, end subscript, equals, 23, start text, space, N, end text, start text, space, w, y, l, i, c, z, o, n, ą, space, p, o, w, y, z, with, \., on top, e, j, right parenthesis, end text.

$0=\dfrac{(23\text{ N})\text{cos}60^\circ-\redD{F_2}}{m} \quad \text{(ser spoczywa, więc pozioma składowa przyspieszenia równa jest zero)}$0, equals, start fraction, left parenthesis, 23, start text, space, N, end text, right parenthesis, start text, c, o, s, end text, 60, degrees, minus, start color #e84d39, F, start subscript, 2, end subscript, end color #e84d39, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, s, e, r, space, s, p, o, c, z, y, w, a, comma, space, w, i, ę, c, space, p, o, z, i, o, m, a, space, s, k, ł, a, d, o, w, a, space, p, r, z, y, s, p, i, e, s, z, e, n, i, a, space, r, o, with, \', on top, w, n, a, space, j, e, s, t, space, z, e, r, o, right parenthesis, end text.