Główna zawartość

Co mówi druga zasada dynamiki Newtona?

Z tego artykułu dowiesz się jak działanie siły powoduje, że ciało przyspiesza. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Czym jest druga zasada dynamiki Newtona?

Spośród wszystkich praw fizyki, jakich się nauczysz, druga zasada dynamiki Newtona jest prawdopodobnie najważniejsza i najbardziej uniwersalna. Pojawia się ona w bardzo wielu działach fizyki, dlatego jest niezwykle istotne, by doskonale są opanować.

Wiemy, że obiekty mogą przyśpieszać jedynie wtedy, gdy znajdują się pod wpływem sił. Druga zasada dynamiki Newtona dokładnie mówi nam, o ile przyśpieszy obiekt pod wpływem przyłożonej siły wypadkowej.

a = \frac{Σ F}{m}

Żeby było jasne,

a

jest przyśpieszeniem obiektu,

Σ F

jest wypadkową siłą działającą na obiekt,

m

jest masą obiektu.

Oczywiście masz rację. Równanie

F = m a

przedstawia dokładnie tę samą myśl, z tymże w tej drugiej wersji przez F oznaczyliśmy siłę wypadkową. W równaniu powyżej mamy w jawny sposób napisaną sumę wszystkich działających sił

Σ F

(a suma sił to właśnie siła wypadkowa). Ponadto drugie równanie zostało przemnożone stronami przez

a

, tak, że znajduje się ono po tej samej stronie co

m

a = \frac{Σ F}{m}

Zaletą zapisu jak ten a górze jest to, iż pozwala on uniknąć nieporozumień, takich jak postrzeganie wyrażenia

m a

jako siły. Oczywiście

m a

nie jest siłą, przyspieszenie jest efektem działania siły a nie siłą sama w sobie.

Analizując drugie prawo dynamiki Newtona możemy zauważyć, iż wartość przyspieszenia jest wprost proporcjonalna to sumarycznej (wypadkowej) siły

Σ F

i odwrotnie proporcjonalna do masy

m

analizowanego ciała. Innymi słowy, gdy wartości wszystkich sił wzrosły dwukrotnie, również wartość przyspieszenia uległaby podwojeniu. I analogicznie, gdyby masa ciała zwiększyła się dwa razy, przyspieszenie zmalałoby o połowę.

Co oznacza siła wypadkowa?

Kiedy na ciało działa wiele sił, skierowanych w różnych kierunkach, przez siłę wypadkową rozumiemy sumę wszystkich sił przyłożonych do danego ciała

Σ F

. Siła jest wektorem, zatem dodawanie sił przebiega trochę inaczej niż dodawanie liczb. Dodając do siebie wektory musimy uwzględniać ich kierunki i zwroty. Siła wypadkowa jest sumą wektorów wszystkich pojedynczych sił.

Możemy łatwo dodawać do siebie wektory wykorzystując pewną graficzną metodę. Pierwszy wektor rysujemy normalnie jako strzałkę zaczepioną w początku układu współrzędnych. Każdy kolejny zaczepiamy tam, gdzie wskazywała ostatnia strzałka. Kiedy w ten sposób dodamy już wszystkie wektory (kolejność nie ma znaczenia), wystarczy narysować strzałkę zaczepioną w początku układu współrzędnych i zakończoną tam, gdzie ostatni dodany wektor - to właśnie będzie suma wszystkich sił.

Rozważmy np. dwie siły o wartościach 30N i 20N, które działają na owieczkę i skierowane są w przeciwnych kierunkach. Musimy przyjąć jakąś konwencję oznaczeń, jaki zwrot uznamy za dodatni - niech zatem dodatnią wartość mają siły skierowane w prawo. Wówczas:

Σ F = 30 N - 20 N

Σ F = 10 N, w kierunku w prawo

Gdyby w zadaniu pojawiło się więcej poziomych sił, nie byłoby ono wiele trudniejsze - należałoby dodać wszystkie siły skierowane w prawo i odjąć wszystkie skierowane w lewo.

Ponieważ zarówna siły, jak i przyspieszenie są wartościami wektorowymi, drugą zasadę dynamiki Newtona należałoby przedstawiać w formie

\vec{a} = \frac{Σ \vec{F}}{m}

. Z takiego zapisu jasno widać, iż przyspieszenie ciała zawsze skierowane jest w tę samą stronę, co wypadkowa siła. Innymi słowy, jeśli wypadkowa siła

Σ F

skierowana jest w prawo, również przyspieszenie

a

skierowane jest w tamtą stronę.

Jak korzystamy z drugiej zasady dynamiki Newtona?

Jeśli mamy do czynienia ze skomplikowanym problemem, w którym występuje wiele sił działających, warto rozpatrzeć oddzielnie ruch w różnych kierunkach (w ogólności trzech, a gdy wiemy, że ciało pozostaje w jednej płaszczyźnie, wystarczą dwa).

Innymi słowy, możemy zapisać równanie dla ruchu w poziomie:

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m}

Mówi nam ono, iż pozioma składowa przyspieszenia

a_{x}

równa jest poziomej składowej wypadkowej siły

Σ F_{x}

(czy też sumie poziomych składowych wszystkich sił - kolejność nie ma tu znaczenia) podzielonej przez masę.

Podobnie dla kierunku pionowego mamy:

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m}

Pionowa składowa przyspieszenia

a_{y}

równa jest pionowej składowej siły wypadkowej

Σ F_{y}

podzielonej przez masę.

Chcąc stosować to podejście, musimy uważać, aby poziome przyspieszenie porównywać tylko z poziomymi składowymi sił i w drugą stronę - pionowe przyspieszenie z pionowymi siłami. Takie rozdzielenie jest poprawne, gdyż siły działające w poziomie nie mają żadnego wpływu na pionowe przyspieszenie i vice versa. Dla przykładu rozważmy kurę o masie

m

do której przyłożono cztery siły:

F_{1}

F_{2}

F_{3}

F_{4}

o kierunkach i zwrotach jak na rysunku poniżej.

Siły

F_{1}

F_{3}

działają w poziomie, zatem mają wpływ na poziomie przyspieszenie. Zapisując drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu w poziomie, przyjmując konwencję, że dodatni znak maja przyspieszenia skierowane w prawo, otrzymujemy

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} = \frac{F_{1} - F_{3}}{m}

Podobnie, siły

F_{2}

F_{4}

działają pionie więc mają wpływ na pionową składową przyspieszenia. Przyjmujemy konwencję, iż dodatni znak odpowiada siłom skierowanym do góry; wówczas

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} = \frac{F_{2} - F_{4}}{m}

Uwaga: Częstym błędem który ludzie popełniają, jest podstawienie siły pionowej do równania w osi poziomej, lub na odwrót.

Co robimy, kiedy siła jest skierowana pod kątem?

Kiedy siła skierowana jest po kątem, wciąż możemy analizować niezależnie ruch w pionie i w poziomie. Pojawia się jednak problem - nasza nowa siła wpływa na każdy z tych ruchów.

Na przykład, powiedzmy że siła

F_{3}

działająca na kurczaka, jest teraz skierowana pod kątem

θ

, tak jak widzimy na rysunku poniżej.

Siła

F_{3}

jako całość ma wpływ zarówna na pionowe jak i poziome przyspieszenie, jednak możemy rozłożyć ją na składowe - tylko pozioma składowa

F_{3}

ma wkład do poziomego przyspieszenia; analogicznie tylko pionowa składowa

F_{3}

może mieć wpływ na przyspieszenie w pionie. A zatem rozbijmy siłą

F_{3}

na składowe poziomą i pionową, jak na rysunku poniżej

Widzimy teraz, iż siła

F_{3}

jest po prostu sumą poziomej siły

F_{3 x}

i pionowej

F_{3 y}

Stosując funkcje trygonometryczne, możemy wyznaczyć wartości tyc składowych - dla poziomej

F_{3 x} = F_{3} cos θ

a dla pionowej

F_{3 y} = F_{3} sin θ

Ponieważ

sin θ = \frac{przeciwna przyprostokątna}{przeciwprostokątna}

, możemy wyrazić zależność między wartością siły

F_{3}

a wartością jej pionowej składowej

F_{3 y}

jako

sin θ = \frac{F_{3 y}}{F_{3}}

Co daje nam wzór na

F_{3 y}

F_{3 y} = F_{3} sin θ

Analogicznie, wiedząc, że

cos θ = \frac{przyległa przyprostokątna}{przeciwprostokątna}

, możemy powiązać wartość siły

F_{3}

z wartością jej poziomej składowej

F_{3 x}

wzorem

cos θ = \frac{F_{3 x}}{F_{3}}

Więc

F_{3 x}

równa jest

F_{3 x} = F_{3} cos θ

Teraz możemy napisać drugie prawo Newtona dla składowych poziomych

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} = \frac{F_{1} - F_{3 x}}{m} = \frac{F_{1} - F_{3} cos θ}{m}

I analogicznie dla pionowych

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} = \frac{F_{2} - F_{4} + F_{3 y}}{m} = \frac{F_{2} - F_{4} + F_{3} sin θ}{m}

Jak rozwiązywać zadania dotyczące drugiej zasady dynamiki Newtona?

Przykład 1: Żółw Newton

Na 1,2-kilogramowego żółwia o imieniu Newton działają cztery siły, jak na rysunku poniżej.

Ile wynosi pozioma składowa przyspieszenia żółwia Newtona?
A pionowa?

Aby wyznaczyć wartość poziomego przyspieszenia zapiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona dla kierunku poziomego.

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} (druga zasada dynamiki Newtona dla kierunku poziomego)

a_{x} = \frac{(30 N) cos 30^{\circ} - 22 N}{1, 2 kg} (podstawiamy wartości sił, pamiętając odpowiednich znakach)

a_{x} = \frac{26 N - 22 N}{1, 2 kg} (jeśli używasz kalkulatora, upewnij się, że jest on w trybie odczytywania kątów w stopniach, a nie w radianach!)

a_{x} = 3, 3 \frac{m}{s^{2}} (i oto mamy wynik!)

Analogicznie znajdujemy pionową składową przyspieszenia.

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} (druga zasada dynamiki dla ruchu w pionie)

a_{y} = \frac{16 N - 12 N - (30 N) sin 30^{\circ}}{1, 2 kg} (podstawiamy wartości sił, pamiętając o odpowiednich znakach)

a_{y} = \frac{16 N - 12 N - 15 N}{1, 2 kg} (upewniamy się, że kalkulator jest w dobrym trybie)

a_{y} = - 9, 2 \frac{m}{s^{2}} (i już policzone!)

Można to łatwo wyliczyć korzystając z tego, do czego już doszliśmy. Używając twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie wyliczyć wartość całkowitego przyspieszenia, wychodząc z wartości jego składowych.

a_{c a ł k o w i t e}^{2} = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}

a_{c a ł k o w i t e}^{2} = (3, 3 \frac{m}{s^{2}})^{2} + (- 9, 2 \frac{m}{s^{2}})^{2}

a_{c a ł k o w i t e}^{2} = 96 \frac{m^{2}}{s^{4}}

a_{c a ł k o w i t e} = 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

Chcąc poznać jego kąt nachylenia, posłużmy się wzorem na tangens

tan θ = \frac{| a_{y} |}{| a_{x} |}

tan θ = \frac{| - 9, 2 \frac{m}{s^{2}} |}{| 3, 3 \frac{m}{s^{2}} |} = 2, 8

θ = arctan (2, 8)

θ = 70^{\circ}

Wypadkowe przyspieszenie skierowane jest na skos w prawo i w dół, gdyż wartość

a_{x}

była dodatnia, a

a_{y}

ujemna. Zależności między całkowitym przyspieszeniem a jego składowymi przedstawione są poniżej.

Przykład 2: Ser na nitkach

Kawałek sera powieszony jest za pomocą dwóch nitek, które działają na niego siłami

F_{1}

F_{2}

, jak na rysunku poniżej. Ponadto jest on przyciągany grawitacyjnie przez Ziemię z siłą

20 N

Jaka jest wartość siły $F_{1}$ ‍?
Jaka jest wartość siły $F_{2}$ ‍?

Zacznijmy od zapisania drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu w pionie. Nie znamy żadnej siły poziomej, dana jest jednak jedna z pionowych - ciężar sera

20 N

. Zawsze warto zacząć od tego równaniu, które zawiera mniej niewiadomych.

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} (druga zasada dynamiki dla ruchu w pionie)

a_{y} = \frac{F_{1} sin 60^{\circ} - 20 N}{m} (podstawiamy wartości sił z odpowiednim znakiem)

0 = \frac{F_{1} sin 60^{\circ} - 20 N}{m} (ser spoczywa, więc składowa pionowa przyspieszenia równa jest zero)

0 = F_{1} sin 60^{\circ} - 20 N (mnożymy obie strony przez masę m .)

F_{1} = \frac{20 N}{sin 60^{\circ}} (wyznaczamy F_{1})

F_{1} = 23 N (i oto wynik!)

Szukając wartości

F_{2}

postępujemy analogicznie (teraz, gdu znamy

F_{1}

, w równaniu na składowe poziome pojawi się również tylko jedna niewiadoma).

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} (druga zasada dynamiki Newtona dla składowych poziomych)

a_{x} = \frac{F_{1} cos 60^{\circ} - F_{2}}{m} (podstawiamy siły z odpowiednim znakiem)

a_{x} = \frac{(23 N) cos 60^{\circ} - F_{2}}{m} (podstawiamy wartość F_{1} = 23 N wyliczoną powyżej)

0 = \frac{(23 N) cos 60^{\circ} - F_{2}}{m} (ser spoczywa, więc pozioma składowa przyspieszenia równa jest zero)

0 = (23 N) cos 60^{\circ} - F_{2} (mnożymy obie strony przez masę m .)

F_{2} = (23 N) cos 60^{\circ} (wyznaczamy F_{2})

F_{2} = 11, 5 N (liczymy i mamy wolne!)

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Fizyka

Kurs: Fizyka > Rozdział 3