Główna zawartość

Kurs: Fizyka > Rozdział 10

Lekcja 1: Temperatura, kinetyczno-molekularna teoria gazów i równanie stanu gazu doskonałego

Czym jest równanie stanu gazu doskonałego?

Dowiedz się jak ciśnienie, objętość, temperatura i ilość gazu są ze sobą powiązane.

Co to jest gaz doskonały?

Gazy to bardzo złożone struktury. Składają się z ogromnej liczby szybko poruszających się cząsteczek, które mogą zderzać się ze sobą i wzajemnie oddziaływać. Ponieważ dokładny opis prawdziwego gazu byłby niezwykle trudny, wprowadzono pojęcie gazu doskonałego - jest to przybliżenie, którym modelujemy gaz rzeczywisty, co pozwala nam przewidzieć pewne jego zachowania. Przez gaz doskonały rozumiemy hipotetyczny gaz, którego cząsteczki spełniają następujące reguły:

Cząsteczki gazu doskonałego nie przyciągają ani nie odpychają się wzajemnie. Jedynie interakcje, jakie zachodzą, to doskonale sprężyste zderzenia między dwoma cząsteczkami lub odbicie się cząstki od ściany pojemnika, w którym znajduje się gaz.
Wyrażenie zderzenie doskonale sprężyste oznacza, że podczas zderzenia żadna część energii kinetycznej nie jest tracona (np. w postaci ciepła). Innymi słowy: energie kinetyczne poszczególnych obiektów mogą się zmieniać (obiekty mogą przekazywać energię między sobą), jednak całkowita energia kinetyczna układu (czyli suma energii kinetycznych poszczególnych elementów) sprzed zderzenia musi być równa całkowitej energii kinetycznej po zderzeniu.
Na przykład, zderzenie dwóch samochodów, w którym energia jest tracona na wydzielenie ciepła, a także głośny huk, który towarzyszy kolizji, nie jest zderzeniem elastycznym.
Cząsteczki gazu doskonałego mają zerową objętość. Gaz zajmuje pewną objętość jedynie w tym sensie, że jego cząsteczki są rozrzucone w dużym obszarze przestrzeni, ale pojedyncze cząstki rozumiemy tutaj jako punkty, które same przez się nie mają objętości.

Zapewne te założenia wydaja Ci się mocno przesadne - oczywiście masz racje. Żaden gaz nie jest w tym sensie doskonały, jednak w bardzo wielu przypadkach takie przybliżenie jest wystarczające. W codziennych warunkach, a więc w temperaturze pokojowej i pod ciśnieniem atmosferycznym, wiele gazów zachowuje się, jakby istotnie były "doskonałe".

Gdy ciśnienie gazu jest zbyt wysokie (np. sto razy większe niż ciśnienie atmosferyczne) lub gdy temperatura jest bardzo niska (np.

- 200^{o} C

), traktowanie go jako gaz doskonały przestaje być zasadne. Aby dowiedzieć się czegoś więcej o gazach nie-doskonałych, przeczytaj ten artykuł.

Równanie gazu doskonałego (dla ilości materii wyrażonej w molach)

Ciśnienie

p

, objętość

V

oraz temperatura

T

są ze sobą powiązane równaniem gazu doskonałego. Związek ten jest niezwykle prosty i właśnie dlatego, w większości przypadków, przybliżamy rzeczywisty gaz jako doskonały (oczywiście czasem to przybliżenie nie jest wystarczające).

p V = n R T

Gdzie

p

to ciśnienie gazu,

V

to objętość zajmowana przez gaz,

T

to temperatura gazu,

R

to pewna stała, a

n

to liczba moli cząstek w gazie.

Liczba

moli n

pozwala określić, jak wiele cząsteczek znajduje się w gazie.

1 mol

6, 02 \cdot 10^{23} cząsteczek

. Liczba ta jest nazywana stałą Avogarda

N_{A}

. Znając ją, jesteśmy w stanie wyznaczyć liczbę

cząsteczek

na podstawie liczby

moli

i na odwrót.

N_{A} = 6, 02 \cdot 10^{23} \frac{cząsteczek}{mol}

W przeciętnym pokoju znajduje się około

1000 moli

cząsteczek gazu. Oznacza to, że liczba pojedynczych cząsteczek jest niewyobrażalnie duża, gdyż

1000 \cdot 6, 02 \cdot 10^{23} cząsteczek = 6, 02 \cdot 10^{27} = sześć miliardów miliardów miliardów cząsteczek gazu

To o wiele więcej niż liczba wszystkich gwiazd Drogi Mlecznej, a nawet więcej niż przewidywana liczba gwiazd w całym obserwowalnym wszechświecie!

Używając równania gazu doskonałego łatwo popełnić błąd, myląc się w jednostkach przy podstawianiu wartości liczbowych. Jeżeli stała gazowa wyrażona jest jako

R = 8, 31 \frac{J}{K \cdot m o l}

, należy podstawić ciśnienie

p

paskalach P a

, objętość

V

m^{3}

, a temperaturę

T

kelwinach K

W momencie, gdy stała gazowa dana jest jako

R = 0,082 \frac{L \cdot a t m}{K \cdot m o l}

, wartość ciśnienia

P

należy podać w

atmosferach a t m

, objętość

V

litrach l

, a temperaturę

T

kelwinach K

Dla lepszej przejrzystości, poniżej umieszczamy te zasady w formie tabeli.

**Miana wielkości we wzorze $P V = n R T$ ‍**
$R = 8, 31 \frac{J}{K \cdot m o l}$ ‍	$R = 0,082 \frac{L \cdot a t m}{K \cdot m o l}$ ‍
Ciśnienie w $paskalach P a$ ‍	Ciśnienie w $atmosferach a t m$ ‍
Objętość w $m^{3}$ ‍	Objętość w $litrach L$ ‍
Temperatura w $kelwinach K$ ‍	Temperatura in $kelwinach K$ ‍

Poniżej znajduje się kilka informacji, jak wzajemnie zależą od siebie różne typy jednostek.

1 atmosfera = 1,013 \cdot 10^{5} Pa

1 litr = 0,001 m^{3} = 1000 {cm}^{3}

0^{o} C = 273 K = 32^{o} F

Chcąc wyliczyć wartość temperatury w

kelwinach

, mając ją daną w

stopniach Celsjusza

, możemy posłużyć się następującym wzorem:

T_{K} = T_{C} + 273 K

Czasem możesz się spotkać z określeniem, iż dany jest gaz w warunkach standardowych (STP, od angielskiego "standard temperature and pressure"). Oznacza to, że jego ciśnienie wynosi

P = 1,013 \cdot 10^{5} Pa = 1 atm

, a temperatura

T = 273 K = 0^{o} C

Równanie gazu doskonałego (dla ilości materii wyrażonej liczbą cząsteczek)

Jeżeli chcesz użyć

N liczby cząsteczek

zamiast

n moli

, możesz napisać równanie gazu doskonałego następująco:

p V = N k_{B} T

Gdzie

P

to ciśnienie gazu,

V

to objętość zajmowana przez gaz,

T

to temperatura gazu,

N

to liczba cząsteczek w gazie, a

k_{B}

to stała Boltzmanna:

k_{B} = 1, 38 \cdot 10^{- 23} \frac{J}{K}

Chcąć użyć równania gazu doskonałego w tej formie (ze stałą Boltzmanna wyrażoną j.w.), musisz wyrazić ciśnienie

p

paskalach Pa

, objętość

V

m^{3}

, a temperaturę

T

kelwinach K

**Jednostki w $p V = N k_{B} T$ ‍**
$k_{B} = 1, 38 \cdot 10^{- 23} \frac{J}{K}$ ‍
Ciśnienie w $paskalach P a$ ‍
Objętość w $m^{3}$ ‍
Temperatura w $kelwinach K$ ‍

Równanie gazu doskonałego (bez ilości materii)

Równanie gazu doskonałego można zapisać jeszcze na inny sposób. Jeżeli liczba moli

n

(a więc i również liczba pojedynczych cząstek

N

) nie zmienia się w czasie, również wyrażenia

n R

N k_{B}

pozostają stałe. Z taką sytuacją mamy do czynienia wtedy, gdy gaz znajduje się w zamkniętym, szczelnym pojemniku. W równaniu możemy przerzucić ciśnienie, objętość i temperaturę na jedną stronę, otrzymując:

n R = N k_{B} = \frac{p V}{T} = constant

Widzimy, że tak długo, jak liczba moli (a więc i cząsteczek) nie zmienia się, również wartość

\frac{p V}{T}

pozostaje stała, bez względu na to, jakim przemianom podlega gaz. Innymi słowy, jeśli początkowo gaz znajduje się w pewnym określonym stanie

1

(z ciśnieniem

p_{1}

, objętościom

V_{1}

i temperaturą

T_{1}

), a następnie przejdzie do stanu

2

(z ciśnieniem

p_{2}

, objętością

V_{2}

i temperaturą

T_{2}

), to niezależnie od tego, jak będzie przebiegało przejście między stanami, poniższa równość pozostanie prawdziwa:

\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}}

Forma ta jest bardzo przydatna, kiedy chcemy porównać dwa stany tego samego gazu. Nie zawiera ona żadnych stałych, wobec czego możemy podstawiać wartości liczbowe w dowolnych jednostkach, pod warunkiem, że będą to te same jednostki dla obu stron równania (np. jeżeli wyrazimy

V_{1}

m^{3}

, również

V_{2}

musi być podane w

m^{3}

). Temperatura musi być zawsze podana w stopniach Kelvina.

Jak rozwiązywać zadania z użyciem równania stanu gazu doskonałego?

Przykład 1: Jak wiele moli powietrza znajduje się w piłce do koszykówki NBA?

Według wymogów NBA, ciśnienie powietrza w piłce musi wynosić

1, 54 atm

, a jej promień

0,119 m

. Przyjmijmy, że temperatura powietrza wewnątrz piłki wynosi około

25^{o} C

(czyli temperatura pokojowa).

a. Wyznacz liczbę moli powietrza w piłce.

b. Wyznacz liczbę cząsteczek powietrza w piłce.

Oby rozwiązać problem, użyjemy równania stanu gazu doskonałego. Szukając liczby moli, posłużymy się następującą wersją:

p V = n R T (użyj równania stanu w formie, w którym ilość materii wyrażona jest w molach))

n = \frac{p V}{R T} (wyraź liczbę moli przez pozostałe wartości)

n = \frac{P V}{(8, 31 \frac{J}{K \cdot m o l}) T} (wybierz, w jakich jednostkach wyrazisz stałą gazową)

Wyraziwszy stałą gazową, musimy teraz podać w odpowiednich jednostkach wartości ciśnienia (

paskale

), objętości (

m^{3}

) i temperatury (

kelwiny

Przeliczamy wartośc ciśnienia:

1, 54 atm \cdot (\frac{1,013 \cdot 10^{5} Pa}{1 atm}) = 156000 Pa

Znając wzór na objętość kuli

\frac{4}{3} π r^{3}

, możemy wyznaczyć objętość gazu wewnątrz piłki.

V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π (0,119 m)^{3} = 0,007 06 m^{3}

Temperatura

25^{o} C

wyrażona w kelwinach będzie miała wartość:

T_{K} = T_{C} + 273 K

T = 25^{o} C + 273 K = 298 K

Teraz podstawmy te zmienne to naszego równania:

n = \frac{(156000 Pa) (0,007 06 m^{3})}{(8, 31 \frac{J}{K \cdot m o l}) (298 K)} (wszystkie wartości wyrażone są w kompatybilnych jednostkach)

n = 0,445 moli

Dalej, chcąc wyznaczyć liczbę cząsteczek powietrza

N

w piłce, korzystamy z faktu, iż wiemy ile

cząsteczek

przypada na jeden

mol

N = 0,445 moli \cdot (\frac{6, 02 \cdot 10^{23} cząsteczek}{1 mol}) = 2, 68 \cdot 10^{23} cząsteczek

Mogliśmy również rozwiązać całe zadanie inaczej: na początku użyć wersji równania stanu gazu doskonałego ze stałą Boltzmanna do wyznaczenia liczby cząsteczek, a następnie na tej podstawie wyliczyć liczbę moli.

Przykład 2: Gaz w lodowej kąpieli

Gaz znajduje się w szczelnie zamkniętym pudełku; początkowo jego temperatura wynosi

T = 293 K

, a ciśnienie jest równe ciśnieniu atmosferycznemu. W pewnym momencie pudełko zostaje umieszczone w lodowej kąpieli, a jego temperatura stopniowo obniża się aż do

T = 255 K

Wyznacz wartość ciśnienia gazu po osiągnięci temperatury $255 K .$ ‍

Ponieważ znamy początkową temperaturę i ciśnienie gazu, a pytanie jest o ciśnienie końcowe (dla którego znamy odpowiadającą mu temperaturę), użyjemy wersji równania stanu gazu doskonałego, w którym nie występuje ilość materii. Możemy to zrobić, gdyż liczba cząsteczek gazu w pudełku przez cały czas pozostaje stała.

\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}} (zapisujemy równanie w odpowiedniej formie)

\frac{p_{1} V}{T_{1}} = \frac{p_{2} V}{T_{2}} (objętość gazu na końcu jest taka sama, jak na początku, gdyż ścianki pudełka są sztywne)

\frac{p_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2}}{T_{2}} (dzielimy obustronnie przez V)

p_{2} = T_{2} \frac{p_{1}}{T_{1}} (wyrażamy przez znane wartości ciśnienie końcowe p_{2})

p_{2} = (255 K) \frac{1 atm}{293 K} (podstawiamy wartości liczbowe)

P_{2} = 0, 87 atm (obliczamy wartość końcową)

Zwróćmy uwagę, że początkowe ciśnienie było wyrażone w

atmosferach

wobec czego końcowe również jest podane w

atmosferach

. Gdybyśmy chcieli otrzymać wynik w

paskalach

, moglibyśmy wyrazić początkowe ciśnienie w

paskalach

i dalej przeprowadzic obliczenia j.w., albo po prostu zmienić jednostki w końcowym wyniku na

paskale

p_{2} = 0, 87 atm \cdot (\frac{1,013 \cdot 10^{5} Pa}{1 atm}) = 88200 Pa (zmiana jednostek z atmosfer na paskale)

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.