Ładowanie

Optymalny kąt dla pocisku część 4: Obliczanie kąta optymalnego i przemieszczenia z drobną pomocą rachunku różniczkowego — film z polskimi napisami

Transkrypcja filmu video

Sal używa oznaczeń s - jak speed (ang. prędkość), dla oznaczenia prędkości i d - jak distance (ang. odległość) dla oznaczenia odległości. Teraz, kiedy umiemy obliczyć odległość jako funkcję kąta, pod jakim strzelamy, możemy wykorzystać znajomość analizy aby obliczyć jaki jest optymalny kąt, kąt dla którego odległość będzie największa. I ponieważ interesują nas tylko kąty pomiędzy 0 a 90 stopni, ograniczymy się do kątów leżących w tym przedziale. A więc mamy znaleźć optymalny kąt, dla kątów leżących pomiędzy 0 a 90 stopni. A więc theta będzie większa lub równa 0 i mniejsza lub równa 90. Zobaczmy, jak ten problem można rozwiązać. Żeby zrozumieć, na czym polega rozwiązanie oparte na analizie matematycznej, przypomnijcie sobie, że pochodna funkcji to nic innego jak nachylenie, współczynnik kierunkowy prostej styczne, do wykresu funkcji w danym punkcie. Gdybyście to mieli narysować - zachęcam Was do narysowania wykresu samemu, na przykład na kalkulatorze - będzie to wyglądać na tym odcinku mniej więcej tak. Będzie to wyglądało mniej więcej tak, to będzie odległość jako funkcja kąta theta, a to będzie nasza oś kata theta. Interesują nas kąty pomiędzy zero a 90 stopni. Jeśli mielibyśmy to naszkicować, tu jest 0 stopni, a 90 stopni będzie mniej więcej tutaj. Wykres tej funkcji będzie wyglądał mniej więcej tak. Będzie wyglądał mniej więcej tak. Mniej więcej tak. A my mamy znaleźć kąt, pewien kąt, który daje największą odległość strzału. O, tu jest ten najlepszy, optymalny kąt. I ten kąt chcemy właśnie wyliczyć. Jeśli popatrzycie na wykres, na przykład na kalkulatorze, co się dzieje z nachyleniem prostej stycznej w punkcie, gdzie odległość jest największa? Jest płaskie. Nachylenie, współczynnik kierunkowy wynosi 0. A więc powinniśmy obliczyć pochodną tej funkcji i wyznaczyć kąt, w którym pochodna, albo chwilowe nachylenie wykresu tej funkcji, równa się 0. Jeśli to zrobimy, obliczymy tajemniczy kąt, najlepszy kąt, pod którym można wystrzelić pocisk. A więc obliczmy pochodną. Pochodna, trzeba przypomnieć sobie, jak się oblicza pochodną. Pochodna tego - oznaczą ją takim przecinkiem u góry, nazywa się "prim", lub możemy powiedzieć, że to pochodna odległości po kącie theta równa się - zakładając, że s i g są stałe - a więc nie musimy brać ich pod uwagę przy liczeniu pochodnej. Możemy je od razu zapisać je z przodu, ponieważ zakładamy że są stałe. A następnie możemy skorzystać ze wzoru na pochodną iloczynu aby obliczyć pochodną tej części po kącie theta. Wzór na pochodną iloczynu mówi, że najpierw trzeba wziąć pochodna pierwszej funkcji i pomnożyć przez drugą funkcję. Pochodna funkcji cosinus theta wynosi minus sinus theta. A pomnożymy to teraz przez drugą funkcję. Czyli razy sinus theta. A do tego mamy dodać pierwszą funkcję, czyli cosinus theta, razy pochodna drugiej funkcji. Pochodna funkcji sinus theta wynosi cosinus theta. Zdaje sobie sprawę z tego, że to może Was wprawić w zakłopotanie. To, co się stało, to wzięliśmy pochodną pierwszego wyrazu razy drugi wyraz. A potem wzięliśmy pochodną drugiego wyrazu razy pierwszy wyraz. Objaśnię to jeszcze dokładniej. Wzięliśmy pochodną o, tego wyrazu tutaj, to jest właśnie pochodna po theta. I wzięliśmy także pochodną tego wyrazu tutaj, też po theta. Tam obliczyliśmy pochodną cosinusa i pomnożyliśmy przez sinus. A potem obliczyliśmy pochodną tego sinusa i pomnożyliśmy przez cosinus. Po prostu wzór na pochodną iloczynu. I co nam wyszło? Można to nieco uprościć. Możemy napisać, że pochodna d prim równa się - tą stała zapiszemy na zewnątrz - 2s kwadrat podzielić przez g - razy - minus sinus theta razy sinus theta, czyli to będzie minus sinus kwadrat theta. I jeszcze, cosinus theta razy cosinus theta, czyli po prostu dodać cosinus kwadrat theta. Pamiętacie, ze chcemy wyznaczyć punkt, kąt, przy którym pochodna albo chwilowe nachylenie jest równe 0. A więc przyrównajmy to wyrażenie do zera. Mamy wyznaczyć kąt theta. Pierwszą rzeczą, którą zrobimy, to podzielimy obie strony przez 2s do kwadratu przez g. Jeśli podzielimy lewą stronę przez to, to się uprości przez 2s do kwadratu przez g. A jeśli podzielić 0 przez to, to zakładając że to nie jest równe zero, a nie powinno, otrzymamy nadal 0. W ten sposób to równanie upraszcza się do - zapiszę to na niebiesko - minus sinus kwadrat theta plus cosinus kwadrat thera równa się 0. A teraz, jeśli dodamy sinus kwadrat theta do obu stron tego równania, dodajmy sinus kwadrat theta do obu stron. Otrzymamy - to tutaj się uprości. Cosinus kwadrat theta równa się sinus kwadrat theta. Obie funkcje trygonometryczne, sinus i cosinus, są dodatnie w tym przedziale kątów, więc możemy po prostu wziąć dodatni pierwiastek kwadratowy z obu stron, albo wartość główną pierwiastka z obu stron. Zróbmy tak. Obliczamy dodatni pierwiastek kwadratowy z obu stron tego równania. Można to zrobić w ten sposób. Ale jeszcze ciekawsza metoda polega na tym, żeby podzielić obie strony równania przez cosinus kwadrat theta, zakładając że nie jest równy zeru w tym przedziale. Cosinus kwadrat theta. To samo otrzymamy biorąc tu dodatni pierwiastek, wartość główną pierwiastka, obie metody dają ten sam wynik. Popatrzcie jak ciekawie wyszło, lewa strona upraszcza się do 1, i ta 1 ma być równa - co to jest sinus kwadrat podzielić przez cosinus kwadrat theta? To jest to samo, co sinus theta podzielić przez cosinus theta do kwadratu. Jeden kwadrat podzielić przez drugi kwadrat. To jest to samo, co licznik podzieli c przez mianownik. I to wszystko do kwadratu. A co to jest sinus theta podzielić przez cosinus theta?` To jest tangens theta. Czyli mamy że 1 równa się tangens theta do kwadratu. Możemy także wziąć dodatni pierwiastek z obu stron tego równania. Tangens jest dodatni w przedziale od 0 do 90 stopni. Czyli tak można postąpić. A jeśli obliczymy dodatni pierwiastek z obu stron, pierwiastek z 1 równa się 1. Czyli 1 równa się tangens theta. Biorąc funkcję odwrotną do tangensa z obu stron, albo arcus tangens z obu stron, dostaniemy tutaj arcus tangens z 1 równa się theta. To jest skomplikowany sposób, żeby powiedzieć że theta to taki kąt, że jeśli obliczymy jego tangens, to dostaniemy 1. Możecie teraz użyć kalkulatora aby znaleźć rozwiązanie, a może wiecie z pamięci, jakie jest rozwiązanie? Kąt theta, arcus tangens z 1 równa się 45 stopni. A jeśli liczymy w radianach,to jest pi przez 4 radianów. Obie te odpowiedzi są prawdziwe. A więc optymalny kąt, pod którym należy wystrzelić pocisk, jest równy 45 stopni. I jaki dystans pokona pocisk, jeśli wystrzelimy go pod kątem 45 stopni? Musimy powrócić do naszego podstawowego wzoru. Do tego wzoru, który sami wyznaczyliśmy. Jeśli strzelamy pod kątem 45 stopni, ile wynosi sinus 45 stopni? Sinus 45 stopni równa się pierwiastek kwadratowy z 2 podzielić przez 2. Możecie zajrzeć do kalkulatora, albo może potraficie to sami obliczyć, na przykład na kole jednostkowym. Cosinus 45 stopni jest także równy pierwiastkowi z 2 przez 2. I gdybyście wzięli pierwiastek kwadratowy z tego równania, to otrzymalibyście że cosinus theta musi być równy sinus theta wewnątrz tego przedziału, a to jest prawdą tylko dla 45 stopni. Mając już to. Możemy wstawić to do oryginalnego wyrażenia na górze po prawej, tutaj, to nasza funkcja. Odległość, jaką pokona pocisk wystrzelony pod optymalnym kątem 45 stopni będzie równa 2 (razy) s kwadrat podzielić przez g razy cosinus theta, który wynosi pierwiastek z 2 przez 2. Cosinus 45 stopni jest równy pierwiastek z 2 przez 2 i jeszcze razy sinus theta, który jest także równy pierwiastek z 2 przez 2. A ile to jest pierwiastek kwadratowy z 2 razy pierwiastek kwadratowy z 2? To po prostu równa się 2. Uprośćmy to jeszcze, Pierwiastek kwadratowy z 2 razy pierwiastek kwadratorwy 2 równa sie 2. To 2 uprości się z tą dwójką. A to 2 i tamto 2 się skasują. Po tych wszystkich przekształceniach, optymalna odległość wynosi s kwadrat podzielić przez g. Zakładając że nie ma oporu powietrza, taki wyidealizowany przypadek. Nieważne, na jakiej planecie jesteście, z jaką szybkością wystrzeliwujecie swoje pociski, najlepszy kąt strzału to 45 stopni, jeśli założyć że nie ma oporu powietrza. I pocisk wystrzelony pod tym najlepszym kątem pokona odległość równą s kwadrat przez g. Wracając do naszego problemu, jeśli s równa się 10 metrów na sekundę. Niech będzie, s równa się 10 metrów na sekundę. I powiedzmy że żyjemy w świecie, w którym przyspieszenie ziemnskie wynosi równo 10 metrów na sekundę, wtedy według wzoru który właśnie wyznaczyliśmy, optymalna odlęgłość będzie się równać s kwadrat - to będzie 100 - podzielić prze przyciąganie ziemskie. To będzie 10. Jeśli podniesiemy do kwadratu metry na sekundę, dostaniemy metry kwadratowe podzielić przez sekundy kwadratowe, podzielić przez przyspieszenie Ziemskie, w metrach na sekundę do kwadratu. Sekunda do kwadratu się uprości. Zostają metry kwadratowe podzielić przez metry. Optymalny dystans wyszedł nam równy 10 metrów. Fajne, co?