If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Czym są składowe prędkości?

Dowiedz się, jak uprościć wektory rozbijając je na składowe. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Dlaczego rozbijamy wektory na składowe?

Ruch dwuwymiarowy jest bardziej złożony niż ruch jednowymiarowy, ponieważ prędkości mogą wskazywać kierunek ukośny, nie tylko pionowy i poziomy. Na przykład, piłka bejsbolowa mogłaby poruszać się w kierunku pionowym i poziomym w tym samym czasie, z ukośną prędkością v. Możemy "rozbić" wektor prędkości v piłki bejsbolowej, to znaczy ustalić prędkość piłki w kierunku poziomym vx i pionowym vy, tak, by uprościć nasze obliczenia.
Równania ruchu piłki bejsbolowej znacznie się upraszczają, jeśli rozpatrzyć oddzielnie ruch w kierunku poziomym i ruch w kierunku pionowym.
Rozłożenie prędkości ukośnej v, na składową poziomą vx i składową pionową vy, pozwala nam poradzić sobie z każdym kierunkiem osobno. W gruncie rzeczy, będziemy w stanie zamienić jeden trudny dwuwymiarowy problem na dwa łatwiejsze problemy jednowymiarowe. Ta sztuczka, polegająca na rozkładaniu wektorów na składowe, działa także wtedy, gdy wektor jest czymś innym niż wektorem prędkości (np. wektorem siły, momentu, pola elektrycznego itd.). Właściwie będziemy używać tej sztuczki w fizyce wielokrotnie, więc ważne jest żeby stać się naprawdę dobrym w radzeniu sobie ze składowymi wektorów, tak szybko jak to możliwe.

Jak rozkładamy wektor na składowe?

Before we talk about breaking up vectors, we should note that trigonometry already gives us the ability to relate the side lengths of a right triangle—hypotenuse, opposite, adjacent—and one of the angles, θ, as seen below.
sinθ=przyprostokątna przeciwległaprzeciwprostokątna
cosθ=przyprostokątna przyległaprzeciwprostokątna
tanθ=przyprostokątna przeciwległaprzyprostokątna przyległa
Gdy rozkładamy wektor na dwie prostopadłe składowe, wektor i jego składowe - v,vy,vx - tworzą trójkąt prostokątny. To dlatego możemy stosować trygonometrię do obliczania związków pomiędzy długością wektora a długościami jego składowych. Zauważ, że vx ma interpretację przyprostokątnej przyległej, vy interpretujemy jako przyprostokątną naprzeciwległą, a v jako przeciwprostokątną.
sinθ=vyv
cosθ=vxv
tanθ=vyvx
Zauważ, że v w tych wzorach zawsze oznacza długość wektora prędkości, szybkość, która nie może być ujemna. Składowe vx i vy są składowymi wektora, które mogą mieć dowolny znak. Na ogół przyjmujemy zasadę że dla składowej poziomej x kierunek ujemny wskazuje w lewo, a dla składowej pionowej y w dół.

Jak wyznaczyć wartość i kąt wektora wypadkowego?

W poprzednich rozdziałach zobaczyliśmy, jak można rozłożyć wektor na składową poziomą i pionową. Powiedzmy jednak, że zaczynasz od pewnych podanych składowych prędkości vy i vx. W jaki sposób możesz wykorzystać składowe, żeby znaleźć wartość v oraz kąt nachylenia θ wypadkowego wektora prędkości?
Wyznaczenie wartości wypadkowego wektora prędkości nie jest zbyt trudne, ponieważ dla dowolnego trójkąta prostokątnego długości boków i przeciwprostokątna, będzie wyrażona przez twierdzenie Pitagorasa.
v2=vx2+vy2
Pierwiastkując, dostaniemy wartość wektora wypadkowego wyrażonego przez jego składowe.
v=vx2+vy2
Jeżeli znamy obie składowe wektora wypadkowego, możemy wyznaczyć jego kąt nachylenia, korzystając z funkcji tanθ.
tanθ=vyvx
Obliczając odwrotność funkcji tangens, otrzymujemy kąt nachylenia wypadkowego wektora prędkości wyrażonego przez jego składowe.
θ=tan1(vyvx)

Co jest trudnego w składowych wektora?

Kiedy korzystamy z funkcji θ=tan1(vyvx), fakt że wstawiamy vy w liczniku jako bok przeciwległy i vx w mianowniku jako przyległy, oznacza że mierzymy kąt od osi poziomej. Czasem może być trudno zrozumieć jak narysować ten kąt. Oto sposób, żeby dowiedzieć się jak to zrobić.
Zakładając, że wybraliśmy prawo/górę jako kierunek dodatni, to jeżeli składowa pozioma vx jest dodatnia, wektor jest skierowany w prawą stronę. Jeżeli składowa pozioma vx jest ujemna, wektor jest skierowany w lewą stronę.
Zakładając, że wybraliśmy w górę jako kierunek dodatni, to jeżeli składowa pionowa vy jest dodatnia, wektor jest skierowany w górę. Jeżeli składowa pozioma vy jest ujemna, wektor jest skierowany w dół.
Na przykład, jeżeli składowe wektora są równe vx=12 m/s i vy=10 m/s, wektor musi być skierowany w lewo - ponieważ składowa vx jest ujemna - i w górę - ponieważ składowa vy jest dodatnia, tak więc narysujemy go tak jak pokazano poniżej.
Pytanie kontrolne: Jeśli składowe prędkości papierowego samolotu są równe vx=7 m/s i vy=5 m/s, w którym kierunku porusza się samolot (zakładając że wybieramy prawą stronę i górę jako kierunki dodatnie)?
Wybierz 1 odpowiedź:

Jak wyglądają rozwiązane zadania ze składowymi wektora?

Przykład 1: Podkręć jak Beckham

Piłka jest kopnięta w górę i w prawo pod kątem 30 z prędkością 24,3 m/s, tak jak pokazano poniżej.
Jaka jest pionowa składowa prędkości w danej chwili?
Jaka jest pozioma składowa prędkości w danej chwili?
Żeby wyznaczyć składową pionową, skorzystamy z funkcji sinθ=przyprostokątna naprzeciwległaprzeciwprostokątna=vyv. Przeciwprostokątna jest równa wartości prędkości 24,3 m/s, natomiast vy jest przyprostokątną naprzeciwległą do kąta 30.
sinθ=vyv(skorzystaj z definicji sinusa.)
vy=vsinθ(wyznacz składową pionową.)
vy=(24,3 m/s)sin(30)(podstaw znane wartości.)
vy=12,2 m/s(obliczasz i gotowe!)
Do wyznaczenia składowej poziomej, wykorzystamy funkcję cosθ=przyległaprzeciwprostokątna=vxv.
cosθ=vxv(skorzystaj z definicji cosinusa.)
vx=vcosθ(wyznacz składową poziomą.)
vx=(24,3 m/s)cos(30)(podstaw znane wartości.)
vx=21,0 m/s(obliczasz i gotowe!)

Przykład 2: Rozzłoszczona mewa

Mewa lata nad Seattle z poziomą składową prędkości równą vx=14,6 m/s i składową pionową prędkości równą vy=8,62 m/s.
Jaka jest wartość wypadkowej prędkości mewy?
Jaki jest kąt wypadkowej prędkości mewy?
Przyjmijmy, że kierunki w prawo/a górę oznaczają kierunki dodatnie i że wszystkie kąty będą mierzone od dodatniej osi x, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, żeby wyznaczyć wartość wypadkowego wektora prędkości.
v2=vx2+vy2(Twierdzenie Pitagorasa.)
v=vx2+vy2(oblicz pierwiastek arytmetyczny z obu stron równania)
v=(14,6 m/s)2+(8,62 m/s)2(podstaw znane wartości.)
v=17,0 m/s(obliczasz i gotowe!)
Do wyznaczenia kąta, skorzystamy z definicji tangensa. Ponieważ znamy wartość v, moglibyśmy skorzystać z definicji sinusa lub cosinusa.
tanθ=vyvx(skorzystaj z definicji tangensa.)
θ=tan1(vyvx)(oblicz kąt korystając z funkcji arctangens)
θ=tan1(8,62 m/s14,6 m/s)(podstaw długości składowych)
θ=30,6(obliczasz i gotowe!)
Ponieważ składowa pionowa jest równa vy=8,62 m/s, wiemy że wektor jest skierowany w dół. Ponieważ składowa pozioma jest równa vx=14,6 m/s, wiemy że wektor jest skierowany w prawo. Dlatego narysujemy wektor w czwartej ćwiartce układu współrzędnych.
Tak więc, mewa porusza się z szybkością 17,0 m/s pod kątem 30,6 poniżej osi poziomej, tak jak pokazano poniżej.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.