If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Ruch pocisku w dwóch wymiarach

Co się stanie z przedmiotem, który wyrzucisz w powietrze? Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Czym jest ruch pocisku w dwóch wymiarach?

Nadmiar fruktozy na diecie owocowej powoduje zdenerwowanie. Ze złości, decydujesz się rzucić cytryną w powietrze pod pewnym kątem. Zakreśla ona tor w przestrzeni, tak jak pokazano za pomocą zakrzywionej, przerywanej linii na wykresie poniżej. W tym przypadku, traktujemy cytrynę jako pocisk, którego ruch odbywa się w dwóch wymiarach, ponieważ leci w powietrzu jednocześnie w pionie i poziomie oraz znajduje się tylko pod wpływem grawitacji.
Ponieważ siła grawitacji przyciąga pionowo w dół, grawitacja wpływa jedynie na pionową składową prędkości cytryny vy. Pozioma składowa prędkości vx, nie zmieni się pod wpływem grawitacji i pozostanie stała podczas gdy cytryna porusza się wzdłuż swojego toru.
Spróbuj przesuwać kropkę na poniższym wykresie, by przekonać się że prędkość pionowa vy zmienia się, natomiast prędkość pozioma vx pozostaje taka sama.
Pytanie kontrolne: Jaka jest wartość pionowej składowej prędkości, w momencie gdy cytryna osiąga maksymalną wysokość?

Jak poradzić sobie z dwuwymiarowych ruchem pocisku analitycznie?

Jednym z najłatwiejszych sposobów radzenia sobie z dwuwymiarowym ruchem pocisku jest analizowanie ruchu w każdym kierunku z osobna. Innymi słowy, będziemy używać jeden zestaw równań do opisu ruchu cytryny w poziomie i inny zestaw równań, do opisania pionowego ruchu cytryny. Zmienia to jeden trudny problem dwuwymiarowy na dwa prostsze problemy jednowymiarowe. Jesteśmy w stanie to zrobić, ponieważ zmiana pionowej prędkości cytryny nie ma wpływu na poziomą prędkość cytryny. Podobnie, rzucenie cytryny z duża prędkością poziomą, nie wpływa na pionowe przyśpieszenie cytryny. Innymi słowy, jeśli w tym samym czasie wystrzelisz pocisk poziomo a drugi pocisk upuścisz, spadną na ziemię również w tym samym czasie.

Kierunek poziomy:

W kierunku poziomym nie ma przyśpieszenia, ponieważ grawitacja nie przyciąga pocisku ukośnie, tylko pionowo w dół. Opór powietrza mógłby powodować przyśpieszenie w poziomie, spowalniając ruch poziomy, ale skoro będziemy rozważać jedynie przypadki w których opór powietrza jest znikomy, możemy zakładać że prędkość pozioma dla pocisku jest stała.
Dlatego w kierunku poziomym, możemy skorzystać z następującego równania,
Uwaga: Pamiętaj, aby podstawiać do tego równania tylko zmienne poziome. Jeżeli znamy w tym równaniu dwie zmienne, możemy wyznaczyć pozostałą niewiadomą.

Kierunek pionowy:

W dwuwymiarowym ruchu pocisku, występuje stałe przyśpieszenie grawitacyjne skierowane pionowo w dół równe ay=9,8ms2. Ponieważ przyśpieszenie pionowe jest stałe, możemy wyznaczyć niewiadomą w kierunku pionowym za pomocą jednego z czterech równań kinematyki, które są przedstawione poniżej.
1.vy=v0y+ayt
2.Δy=(vy+v0y2)t
3.Δy=v0yt+12ayt2
4.vy2=v0y2+2ayΔy
Pamiętaj, aby podstawiać do tych równań tylko zmienne w kierunku pionowym. Jeżeli znamy w tych równaniach trzy zmienne, możemy wyznaczyć dowolną z pozostałych niewiadomych.
Uwaga: W podanej metodzie, przedział czasu t ma taką samą wartość dla równań w kierunku pionowym i poziomym. Oznacza to, że kiedy wyznaczamy z jednego z równań czas t, możemy podstawić czas t do równania w kierunku pionowym albo równania w kierunku poziomym. Ten sposób jest używany w wielu przypadkach. Często jest tak, że z pierwszego równania w kierunku pionowym wyznaczamy czas t, następnie podstawiamy ten czas do drugiego równania w kierunku osi poziomej (lub odwrotnie).

Co jest mylące w dwuwymiarowym ruchu pocisku?

Wielokrotnie, ludzie próbują podstawiać składowe pionowe do równań w kierunku poziomym, lub odwrotnie. Analizowanie każdego kierunku (poziomego i pionowego) ruchu pocisku osobno, sprawdza się tylko wtedy, gdy utrzymujesz różne kierunki (x lub y) w ich własnych, osobnych równaniach.
Prędkości początkowe które są skierowane ukośnie, będą musiały być rozłożone na składową pionową i poziomą. Ludzie maja czasami problem z rozpisaniem wektora prędkości na składową pionową i poziomą. Ten artykuł, pomoże Ci zrozumieć funkcje trygonometryczne, których używasz do rozbijania wektora na składowe.
Kiedy pocisk jest wystrzelony poziomo, początkowa prędkość pionowa jest równa zeru v0y=0 (patrz przykład 1 poniżej). Wielu uczniów ma trudności w zrozumieniu, że obiekt może rozpoczynać ruch z poziomą składową prędkości, ale pionowa składowa prędkości jest równa zeru.

Jak wyglądają rozwiązane przykłady z dwuwymiarowym ruchem pocisku?

Przykład 1: Rzucony poziomo balonik z wodą

Balonik z wodą jest wyrzucony poziomo z szybkością v0=8,31ms z dachu budynku, na wysokości H=23,0 m.
Jaką drogę w kierunku poziomym przebędzie balonik, zanim uderzy w ziemię?
Możemy zacząć od narysowania wykresu, który uwzględnia podane zmienne.
Obliczając czas lotu t, będziemy w stanie wyznaczyć przemieszczenie w kierunku poziomym za pomocą wzoru Δx=vxt. Do obliczenia czasu, uwzględnij fakt że znamy trzy zmienne w kierunku poziomym (Δy=23,0 m, v0y=0, a=9,8ms2).
Teraz wykorzystamy równanie kinematyki w kierunku pionowym, żeby wyznaczyć czas t. Nie znamy prędkości końcowej vy ale nie jesteśmy też pytani o prędkość końcową vy, dlatego skorzystamy z równania kinematyki które nie zawiera prędkości końcowej.
Δy=v0yt+12ayt2(użyj równania kinematyki w osi pionowej, które nie zawiera prędkości końcowej)
H=(0)t+12(g)t2(podstaw znane wartości)
t=2Hg(wyznacz czas t)
t=2(23,0 m)9,8ms2=2,17 s(podstaw wartości liczbowe i oblicz czas lotu)
Teraz musimy podstawić wyznaczony czas t do równania w kierunku poziomym, żeby obliczyć przemieszczenie w poziomie Δx.
Δx=vxt(użyj wzoru dla przmieszczenia w poziomie)
Δx=(8,31ms)(2,17 s)(podstaw czas lotu i prędkość vx)
Δx=18,0 m(obliczasz i gotowe)
Tak więc balonik z wodą, uderzył w ziemię w odległości 18,0 m poziomo od krawędzi budynku.

Przykład 2: Dynia wystrzelona pod kątem

Armatę powietrzną wykorzystano do wystrzelenia dyni z klifu na wysokości H=18,0 m z szybkością początkową v0=11,4ms pod kątem θ=52,1, tak jak pokazano na poniższym rysunku.
Jaka jest szybkość dyni tuż przed uderzeniem w ziemię?
Jeżeli potrafimy określić składowe prędkości końcowej (vx i vy), będziemy w stanie określić szybkość końcową dyni.
Zanim będziemy mogli to zrobić, będziemy musieli wyznaczyć składowe prędkości początkowej (v0x i v0y), korzystając z definicji sinusa i cosinusa.
cosθ=przyprostokątna przyległaprzeciwprostokątna=v0xv0(użyj definicji cosinusa)
v0x=v0cosθ(wyznacz v0x)
v0x=(11,4ms)cos(52,1)(podstaw wartości liczbowe)
v0x=7,00ms(oblicz v0x)
(Uwaga: Jeśli była to dla Ciebie czarna magia, sprawdź ten artykuł, pomoże Ci zrozumieć rozbijanie wektorów na składowe.)
Wartość poziomej składowej prędkości początkowej którą wyznaczyliśmy v0x=7,00ms będzie również składową poziomą prędkości końcowej vx=7,00ms, ponieważ pozioma składowa prędkości pozostaje taka sama podczas całego lotu (zakładając że nie ma tam oporu powietrza).
Do wyznaczenia pionowej składowej prędkości początkowej, użyjemy tej samej metody, tak jak powyżej, ale z sinusem zamiast cosinusa.
sinθ=przyprostokątna przeciwległaprzeciwprostokątna=v0yv0(użyj definicji sinusa)
v0y=v0sinθ(wyznacz v0y)
v0y=(11,4ms)sin(52,1)(podstaw wartości liczbowe)
v0y=9,00ms(oblicz v0y)
Ponieważ pionowa składowa prędkości pocisku vy zmienia się w trakcie ruchu, będziemy musieli wyznaczyć składową pionową prędkości końcowej vy za pomocą równania kinematyki dla kierunku pionowego. Ponieważ nie znamy czasu lotu t i nie jesteśmy pytani o czas t, skorzystamy z równania kinematyki dla osi pionowej, które nie zawiera czasu t.
vy2=v0y2+2ayΔy(użyj równania kinematyki które nie zawiera czasu)
vy2=(9,00ms)2+2(9,8ms2)(18 m)(podstaw znane wartości)
vy2=434m2s2(oblicz)
vy=±434m2s2=±20,8ms(oblicz pierwiastek kwadratowy)
vy=20,8ms(wybierz pierwiastek ze znakiem minus, ponieważ dynia będzie leciała w dół)
Kiedy znamy już składową poziomą i pionową prędkości końcowej, możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, żeby wyznaczyć szybkość końcową (tj. moduł prędkości końcowej).
v2=vx2+vy2(skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa)
v2=(7,00ms)2+(20,8ms)2(podstaw składową poziomą i pionową prędkości końcowej)
v2=482m2s2(oblicz)
v=21,9ms(oblicz pierwiastek kwadratowy)
Szybkość v=21,9ms jest równa modułowi prędkości końcowej dyni, tuż przed uderzeniem o ziemię. Związek pomiędzy prędkością końcową i jej składowymi, jest przedstawiony na poniższym rysunku.
Moglibyśmy także wyznaczyć kąt ϕ prędkości końcowej, korzystając z definicji tangensa.
tgϕ=przyprostokątna przeciwległaprzyprostokątna przyległa=vyvx
Teraz bieżemy z obu stron funkcję odwrotną do funkcji tangens,
tan1(tanϕ)=tan1(20,8ms7,00ms)
Po lewej stronie równania pozostaje tylko kąt ϕ, wartość po prawej stronie równania obliczamy za pomocą kalkulatora, co daje nam
ϕ=71,4

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.