Główna zawartość

Kurs: Fizyka > Rozdział 2

Lekcja 1: Ruch pocisku w dwóch wymiarach

Ruch pocisku w dwóch wymiarach

Co się stanie z przedmiotem, który wyrzucisz w powietrze? Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Czym jest ruch pocisku w dwóch wymiarach?

Nadmiar fruktozy na diecie owocowej powoduje zdenerwowanie. Ze złości, decydujesz się rzucić cytryną w powietrze pod pewnym kątem. Zakreśla ona tor w przestrzeni, tak jak pokazano za pomocą zakrzywionej, przerywanej linii na wykresie poniżej. W tym przypadku, traktujemy cytrynę jako pocisk, którego ruch odbywa się w dwóch wymiarach, ponieważ leci w powietrzu jednocześnie w pionie i poziomie oraz znajduje się tylko pod wpływem grawitacji.

Tak. Wszystkie obiekty poruszające się w powietrzu, doświadczają pewnej ilości oporu powietrza. Jednakże, poradzenie sobie z oporem powietrza może być kłopotliwe, dlatego zazwyczaj zakładamy że opór powietrza jest nieistotny (tj. na tyle mały, że może być pominięty). Nie zawsze jest to dobre przybliżenie, ale sprawdza się naprawdę dobrze dla obiektów których ciężar jest dużo większy w porównaniu do oporu powietrza.

Pamiętaj o tym, że siła oporu powietrza działająca na obiekt, staje się coraz większa wraz ze wzrostem prędkości. Dlatego będziemy zwykle rozważać przypadki, w których szybkość obiektu jest na tyle mała, że opór powietrza jest nadal znikomy.

Ponieważ siła grawitacji przyciąga pionowo w dół, grawitacja wpływa jedynie na pionową składową prędkości cytryny

v_{y}

. Pozioma składowa prędkości

v_{x}

, nie zmieni się pod wpływem grawitacji i pozostanie stała podczas gdy cytryna porusza się wzdłuż swojego toru.

Spróbuj przesuwać kropkę na poniższym wykresie, by przekonać się że prędkość pionowa

v_{y}

zmienia się, natomiast prędkość pozioma

v_{x}

pozostaje taka sama.

Pytanie kontrolne: Jaka jest wartość pionowej składowej prędkości, w momencie gdy cytryna osiąga maksymalną wysokość?

Jak poradzić sobie z dwuwymiarowych ruchem pocisku analitycznie?

Jednym z najłatwiejszych sposobów radzenia sobie z dwuwymiarowym ruchem pocisku jest analizowanie ruchu w każdym kierunku z osobna. Innymi słowy, będziemy używać jeden zestaw równań do opisu ruchu cytryny w poziomie i inny zestaw równań, do opisania pionowego ruchu cytryny. Zmienia to jeden trudny problem dwuwymiarowy na dwa prostsze problemy jednowymiarowe. Jesteśmy w stanie to zrobić, ponieważ zmiana pionowej prędkości cytryny nie ma wpływu na poziomą prędkość cytryny. Podobnie, rzucenie cytryny z duża prędkością poziomą, nie wpływa na pionowe przyśpieszenie cytryny. Innymi słowy, jeśli w tym samym czasie wystrzelisz pocisk poziomo a drugi pocisk upuścisz, spadną na ziemię również w tym samym czasie.

Tak. Dla wielu ludzi, to pojęcie jest wprawdzie bardzo sprzeczne z intuicją, ale jeśli opór powietrza jest znikomy a pocisk jest wystrzelony idealnie poziomo, to wystrzelony pocisk uderzy w ziemię w tym samym czasie co upuszczony pocisk.

Powodem jest to, że prędkość pozioma nie wpływa na pionowe przyśpieszenie pocisku, więc oba pociski zmieniają swoje prędkości pionowe o taką samą wartość, w takiej samej jednostce czasu (tj. fakt że pocisk ma prędkość poziomą, nie zmienia wartości z jaką porusza się w dół).

Kierunek poziomy:

W kierunku poziomym nie ma przyśpieszenia, ponieważ grawitacja nie przyciąga pocisku ukośnie, tylko pionowo w dół. Opór powietrza mógłby powodować przyśpieszenie w poziomie, spowalniając ruch poziomy, ale skoro będziemy rozważać jedynie przypadki w których opór powietrza jest znikomy, możemy zakładać że prędkość pozioma dla pocisku jest stała.

Dlatego w kierunku poziomym, możemy skorzystać z następującego równania,

Δ x = v_{x} t

Za każdym razem, gdy prędkość w pewnym kierunku jest stała, możemy wykorzystać wzór

Δ x = v t

, żeby dowiedzieć się jak daleko obiekt przesunie się w tym kierunku.

Możemy to rozumieć na inny sposób, tak że stała prędkość w kierunku poziomym jest oznaczona jako

a_{x} = 0

. Dlatego jeśli podstawimy

a_{x} = 0

do równania kinematyki

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

, otrzymamy po prostu

Δ x = v_{0 x} t

. I tak naprawdę, nie musimy nazywać tego początkową prędkością poziomą, ponieważ prędkości pozioma jest stała. Zastępując

v_{0 x}

przez po prostu

v_{x}

, ponownie dostaniemy po prostu

Δ x = v_{x} t

Uwaga: Pamiętaj, aby podstawiać do tego równania tylko zmienne poziome. Jeżeli znamy w tym równaniu dwie zmienne, możemy wyznaczyć pozostałą niewiadomą.

Kierunek pionowy:

W dwuwymiarowym ruchu pocisku, występuje stałe przyśpieszenie grawitacyjne skierowane pionowo w dół równe

a_{y} = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

. Ponieważ przyśpieszenie pionowe jest stałe, możemy wyznaczyć niewiadomą w kierunku pionowym za pomocą jednego z czterech równań kinematyki, które są przedstawione poniżej.

1. v_{y} = v_{0 y} + a_{y} t

2. Δ y = (\frac{v_{y} + v_{0 y}}{2}) t

3. Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

4. v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y

Pamiętaj, aby podstawiać do tych równań tylko zmienne w kierunku pionowym. Jeżeli znamy w tych równaniach trzy zmienne, możemy wyznaczyć dowolną z pozostałych niewiadomych.

Uwaga: W podanej metodzie, przedział czasu

t

ma taką samą wartość dla równań w kierunku pionowym i poziomym. Oznacza to, że kiedy wyznaczamy z jednego z równań czas

t

, możemy podstawić czas

t

do równania w kierunku pionowym albo równania w kierunku poziomym. Ten sposób jest używany w wielu przypadkach. Często jest tak, że z pierwszego równania w kierunku pionowym wyznaczamy czas

t

, następnie podstawiamy ten czas do drugiego równania w kierunku osi poziomej (lub odwrotnie).

Co jest mylące w dwuwymiarowym ruchu pocisku?

Wielokrotnie, ludzie próbują podstawiać składowe pionowe do równań w kierunku poziomym, lub odwrotnie. Analizowanie każdego kierunku (poziomego i pionowego) ruchu pocisku osobno, sprawdza się tylko wtedy, gdy utrzymujesz różne kierunki (

x

lub

y

) w ich własnych, osobnych równaniach.

Prędkości początkowe które są skierowane ukośnie, będą musiały być rozłożone na składową pionową i poziomą. Ludzie maja czasami problem z rozpisaniem wektora prędkości na składową pionową i poziomą. Ten artykuł, pomoże Ci zrozumieć funkcje trygonometryczne, których używasz do rozbijania wektora na składowe.

Kiedy pocisk jest wystrzelony poziomo, początkowa prędkość pionowa jest równa zeru

v_{0 y} = 0

(patrz przykład 1 poniżej). Wielu uczniów ma trudności w zrozumieniu, że obiekt może rozpoczynać ruch z poziomą składową prędkości, ale pionowa składowa prędkości jest równa zeru.

Jak wyglądają rozwiązane przykłady z dwuwymiarowym ruchem pocisku?

Przykład 1: Rzucony poziomo balonik z wodą

Balonik z wodą jest wyrzucony poziomo z szybkością

v_{0} = 8, 31 \frac{m}{s}

z dachu budynku, na wysokości

H = 23, 0 m

Jaką drogę w kierunku poziomym przebędzie balonik, zanim uderzy w ziemię?

Możemy zacząć od narysowania wykresu, który uwzględnia podane zmienne.

Obliczając czas lotu

t

, będziemy w stanie wyznaczyć przemieszczenie w kierunku poziomym za pomocą wzoru

Δ x = v_{x} t

. Do obliczenia czasu, uwzględnij fakt że znamy trzy zmienne w kierunku poziomym (

Δ y = - 23, 0 m

v_{0 y} = 0

a = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

Składowa pionowa prędkości początkowej jest równa zeru (

v_{0 y} = 0

), ponieważ balonik został rzucony poziomo. Żeby mieć pionową składową prędkości początkowej, balonik musiałby na początku zostać rzucony ukośnie pod kątem do góry lub na dół.

Przemieszczenie w kierunku pionowym jest równe

- 23 m

, ponieważ balonik opada w dół wzdłuż całej wysokości budynku.

Przyśpieszenie pocisku w kierunku pionowym, zawsze jest równe przyśpieszeniu grawitacyjnemu

a_{y} = - g = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

Teraz wykorzystamy równanie kinematyki w kierunku pionowym, żeby wyznaczyć czas

t

. Nie znamy prędkości końcowej

v_{y}

ale nie jesteśmy też pytani o prędkość końcową

v_{y}

, dlatego skorzystamy z równania kinematyki które nie zawiera prędkości końcowej.

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (użyj równania kinematyki w osi pionowej, które nie zawiera prędkości końcowej)

- H = (0) t + \frac{1}{2} (- g) t^{2} (podstaw znane wartości)

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}} (wyznacz czas t)

t = \sqrt{\frac{2 (- 23, 0 m)}{- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}}} = 2, 17 s (podstaw wartości liczbowe i oblicz czas lotu)

Teraz musimy podstawić wyznaczony czas

t

do równania w kierunku poziomym, żeby obliczyć przemieszczenie w poziomie

Δ x

Δ x = v_{x} t (użyj wzoru dla przmieszczenia w poziomie)

Δ x = (8, 31 \frac{m}{s}) (2, 17 s) (podstaw czas lotu i prędkość v_{x})

Wyznaczyliśmy czas lotu

t = 2, 17 s

w powyższych obliczeniach za pomocą równań w kierunku pionowym.

The magnitude of the horizontal component of the initial velocity is equal to the entire initial speed

8.31 \frac{m}{s}

since the water balloon was thrown horizontally to start. If the water balloon were thrown at an angle upward or downward we'd have to use trigonometry to find the horizontal component of the initial velocity.

Δ x = 18, 0 m (obliczasz i gotowe)

Tak więc balonik z wodą, uderzył w ziemię w odległości

18, 0 m

poziomo od krawędzi budynku.

Tak. Rozwiązywanie zadań na symbolach jest świetne, ponieważ robiąc to w ten sposób, w zasadzie możesz rozwiązać każde zadanie tego typu.

For instance, if we plug the symbolic expression for the time

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}}

and initial velocity

v_{0}

into the formula for the horizontal displacement

Δ x = v_{x} t

, we'll get the formula below,

Δ x = v_{0} \sqrt{\frac{2 H}{g}}

This formula will work for any projectile thrown horizontally at any velocity

v_{0}

from the edge of a building of any height

H

. We just need to plug in the height and initial velocity for our particular problem and this formula will give us the answer for how far the projectile travels horizontally before striking the ground.

Przykład 2: Dynia wystrzelona pod kątem

Armatę powietrzną wykorzystano do wystrzelenia dyni z klifu na wysokości

H = 18, 0 m

z szybkością początkową

v_{0} = 11, 4 \frac{m}{s}

pod kątem

θ = 52, 1^{\circ}

, tak jak pokazano na poniższym rysunku.

Jaka jest szybkość dyni tuż przed uderzeniem w ziemię?

Jeżeli potrafimy określić składowe prędkości końcowej (

v_{x}

v_{y}

), będziemy w stanie określić szybkość końcową dyni.

Szukamy szybkości dyni tuż przed uderzeniem w ziemię, dlatego nie będziemy zakładać że prędkość końcowa jest równa zeru.

Poza tym, kiedy dynia uderza w ziemię, przyśpieszenie nie będzie już równe

a_{y} = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

, ponieważ zderzenie spowoduje ogromne, nieznane przyśpieszenie. Równania kinematyki, są prawdziwe jedynie dla przedziałów czasu w których przyśpieszenie jest stałe. Oznacza to, że zazwyczaj nie uwzględniamy chwili kiedy pocisk uderza w ziemię, ponieważ zazwyczaj nie mamy podanej informacji o przyśpieszeniu w tej chwili.

Zanim będziemy mogli to zrobić, będziemy musieli wyznaczyć składowe prędkości początkowej (

v_{0 x}

v_{0 y}

), korzystając z definicji sinusa i cosinusa.

cos θ = \frac{przyprostokątna przyległa}{przeciwprostokątna} = \frac{v_{0 x}}{v_{0}} (użyj definicji cosinusa)

v_{0 x} = v_{0} cos θ (wyznacz v_{0 x})

v_{0 x} = (11, 4 \frac{m}{s}) cos (52, 1^{\circ}) (podstaw wartości liczbowe)

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s} (oblicz v_{0 x})

(Uwaga: Jeśli była to dla Ciebie czarna magia, sprawdź ten artykuł, pomoże Ci zrozumieć rozbijanie wektorów na składowe.)

Wartość poziomej składowej prędkości początkowej którą wyznaczyliśmy

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s}

będzie również składową poziomą prędkości końcowej

v_{x} = 7, 00 \frac{m}{s}

, ponieważ pozioma składowa prędkości pozostaje taka sama podczas całego lotu (zakładając że nie ma tam oporu powietrza).

Do wyznaczenia pionowej składowej prędkości początkowej, użyjemy tej samej metody, tak jak powyżej, ale z sinusem zamiast cosinusa.

sin θ = \frac{przyprostokątna przeciwległa}{przeciwprostokątna} = \frac{v_{0 y}}{v_{0}} (użyj definicji sinusa)

v_{0 y} = v_{0} sin θ (wyznacz v_{0 y})

v_{0 y} = (11, 4 \frac{m}{s}) sin (52, 1^{\circ}) (podstaw wartości liczbowe)

v_{0 y} = 9, 00 \frac{m}{s} (oblicz v_{0 y})

Ponieważ pionowa składowa prędkości pocisku

v_{y}

zmienia się w trakcie ruchu, będziemy musieli wyznaczyć składową pionową prędkości końcowej

v_{y}

za pomocą równania kinematyki dla kierunku pionowego. Ponieważ nie znamy czasu lotu

t

i nie jesteśmy pytani o czas

t

, skorzystamy z równania kinematyki dla osi pionowej, które nie zawiera czasu

t

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y (użyj równania kinematyki które nie zawiera czasu)

v_{y}^{2} = (9, 00 \frac{m}{s})^{2} + 2 (- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}) (- 18 m) (podstaw znane wartości)

v_{y}^{2} = 434 \frac{m^{2}}{s^{2}} (oblicz)

v_{y} = \pm \sqrt{434 \frac{m^{2}}{s^{2}}} = \pm 20, 8 \frac{m}{s} (oblicz pierwiastek kwadratowy)

v_{y} = - 20, 8 \frac{m}{s} (wybierz pierwiastek ze znakiem minus, ponieważ dynia będzie leciała w dół)

Kiedy znamy już składową poziomą i pionową prędkości końcowej, możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, żeby wyznaczyć szybkość końcową (tj. moduł prędkości końcowej).

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa)

v^{2} = (7, 00 \frac{m}{s})^{2} + (- 20, 8 \frac{m}{s})^{2} (podstaw składową poziomą i pionową prędkości końcowej)

v^{2} = 482 \frac{m^{2}}{s^{2}} (oblicz)

v = 21, 9 \frac{m}{s} (oblicz pierwiastek kwadratowy)

Szybkość

v = 21, 9 \frac{m}{s}

jest równa modułowi prędkości końcowej dyni, tuż przed uderzeniem o ziemię. Związek pomiędzy prędkością końcową i jej składowymi, jest przedstawiony na poniższym rysunku.

Moglibyśmy także wyznaczyć kąt

ϕ

prędkości końcowej, korzystając z definicji tangensa.

tg ϕ = \frac{przyprostokątna przeciwległa}{przyprostokątna przyległa} = \frac{v_{y}}{v_{x}}

tg ϕ = \frac{20, 8 \frac{m}{s}}{7, 00 \frac{m}{s}}

Będziemy tylko wyznaczać wartość kąta pomiędzy prędkością poziomą i prędkością końcową, dlatego będziemy podstawiać tylko wartości prędkości poziomej i pionowej.

Robimy tak dlatego, ponieważ kalkulator nie wie, czy znak minus pochodzi od licznika czy mianownika funkcji tangens, co sprawia że jest mało wiarygodny w podawaniu informacji w której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się rozpatrywany kąt. Żeby uniknąć problemu ze znakiem minus, możemy po prostu narysować który kierunek wskazuje prędkość końcowa, traktując boki trójkąta/składowych prędkości jako wartości dodatnie, następnie wyznaczyć wartość szukanego kąta.

Teraz bieżemy z obu stron funkcję odwrotną do funkcji tangens,

t a n^{- 1} (tan ϕ) = t a n^{- 1} (\frac{20, 8 \frac{m}{s}}{7, 00 \frac{m}{s}})

Po lewej stronie równania pozostaje tylko kąt

ϕ

, wartość po prawej stronie równania obliczamy za pomocą kalkulatora, co daje nam

ϕ = 71, 4^{\circ}

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.