Główna zawartość

Kurs: Fizyka > Rozdział 5

Lekcja 2: Sprężyny i prawo Hooke'a

Co nam mówi prawo Hooke'a?

Dowiedz się więcej o elastyczności i o tym jak obliczyć siłę wywieraną przez sprężynę.

Co to jest sprężystość?

Kiedy mówimy o sprężystości, mamy na myśli własność przedmiotu polegającą na tym, że można go zdeformować, działając odpowiednią siłą, a po ustaniu działania siły, przedmiot powraca do wyjściowego kształtu.

Przykładem sprężystości jest działanie sprężyny, czyli zwoju utworzonego z metalowego pręta. Sprężyny są istotną częścią wielu złożonych urządzeń mechanicznych; od kulkowego długopisu do silnika samochodu rajdowego.

Nie ma nic szczególnego w kształcie sprężyny co nadaje jej własność. Sprężystość, albo elastyczność, jest właściwością materiału, z którego sprężyna jest zrobiona. Długi metalowy drut również może sprężynować przy rozciąganiu lub skręcaniu. Zwinięcie drutu w sprężynę pozwala wykorzystać właściwości długiego kawałka drutu w małej przestrzeni, co ma praktyczne znaczenie w przypadku budowania urządzeń mechanicznych.

Odpowiedź metalowego drutu na rozciąganie (obciążenie osiowe) i skręcanie (obciążenie skrętne) opisywane są przez różne prawa fizyki, a odpowiednie zaprojektowanie konkretnej sprężyny pozwala zrobić użytek z konkretnego rodzaju deformacji. Poza tym, właściwości elastyczne metalu silnie zależą od jego struktury ziarnistej, która może być zmieniana przez proces naprężenia i kontrolowanego ogrzewania/ochładzania zwany wyżarzaniem.

Co się dzieje gdy materiał jest deformowany?

Materiał można ścisnąć lub rozciągnąć, przykładając odpowiednio siłę. Wszyscy znamy przykłady różnego rodzaju gum, które bardzo łatwo ścisnąć lub rozciągnąć.

W mechanice siła przyłożona na jednostkę powierzchni nazywana jest naprężeniem (symbol

σ

). Względna zmiana rozmiaru spowodowana przez rozciągnięcie/ściśnięcie jest nazywana odkształceniem (symbol

ϵ

). Odkształcenie określamy jako stosunek różnicy długości

Δ L

do początkowej (nominalnej, mierzonej bez sił zmieniających wymiary) długości

L_{0}

wzdłuż kierunku naprężenia tzn.

ϵ = Δ L / L_{0}

Każdy materiał odpowiada na naprężenie inaczej - te drobne różnice są ważne dla inżynierów, którzy muszą dobrze znać zachowania materiałów użytych w zaprojektowanych przez nich urządzeniach.

Dla większości materiałów odkształcenie w wypadku małego naprężenia zależy od siły wiązań chemicznych w danym materiale. Sztywność materiału jest bezpośrednio związana z jego budową molekularną i typem wiązań chemicznych w nim obecnych. To co staje się po ustaniu naprężenia zależy od tego jak bardzo zmieniło się położenie atomów. Ogólnie wyróżnia się dwa typy deformacji:

Deformacja elastyczna. Gdy po ustaniu naprężenia próbka powraca do wymiarów pierwotnych - deformacja jest odwracalna.
Deformacja plastyczna. Zachodzi zwykle, gdy do próbki przyłożone jest duże naprężenie - tak duże, że materiał nawet po ustaniu naprężenia nie wraca do rozmiarów pierwotnych - deformacja jest stała i nieodwracalna. Minimalna wartość naprężenia powodująca deformację plastyczną materiału nazywana jest granicą sprężystości.

Wszystkie sprężyny powinny być zaprojektowane w ten sposób żeby w trakcie normalnego użytkowania doświadczały tylko deformacji elastycznych.

Prawo Hooke'a

Badając zjawisko elastyczności, siedemnastowieczny fizyk Robert Hooke odkrył że dla wielu materiałów zależność naprężenia od odkształcenia ma w pewnym zakresie postać funkcji liniowej. Dla dostatecznie małych deformacji, siła potrzebna do odkształcenia sprężyny jest wprost proporcjonalna do tego odkształcenia. Zależność ta znana jest pod nazwą prawa Hooke'a i zapisujemy ją w postaci równania:

F = - k x

Gdzie

F

jest przykładaną siłą,

x

jest rozszerzenia/sprężenia a

k

jest stałą proporcjonalności zwaną stałą sprężystości, zwykle podawaną w

N / m

Mimo że nie podaliśmy tu wprost kierunku siły, we wzorze widnieje znak minus. Oznacza on że siła. z jaką sprężyna przeciwstawia się odkształcaniu działa przeciwko sile powodującej deformację. Ściśnięcie sprężyny powoduje ujemne wydłużenie, co powoduje dodatnią siłę sprężystości.

Rozwiązując zadania z elastyczności, należy upewnić się że kierunek działania siły przywracającej jest ustalony zgodnie z logiką i treścią zadania. W przypadku prostych problemów zwykle wydłużenie

x

można interpretować jako wektor w jednym wymiarze. W takim wypadku siła wynikająca z wydłużenia również będzie wektorem w jednym wymiarze i znak minus w prawie Hooke'a oznacza właściwy kierunek tej siły.

Przy obliczaniu

x

ważne jest, by pamiętać że sprężyna ma swoją własną długość w stanie niezdeformowanym

L_{0}

. Całkowita długość sprężyny

L

przy wydłużeniu wynosi

L = L_{0} + x

, a przy skróceniu

L = L_{0} - x

Zadanie 1: 75 kilowa osoba stoi na wadze, skonstruowanej za pomocą sprężyny o stałej sprężystości

k = 5000 N / m

i początkowej (nominalnej) długości

0, 25 m

. Jaka jest całkowita długość obciążonej sprężyny?

Zadanie 2a: Masz zaprojektować uchwyt statywu, w którym aparat fotograficzny o wadze 1 kg aparat będzie można płynnie przesuwać w pionie o 50 mm. Projekt urządzenia wymaga by aparat ślizgał się na prowadnicach, a sprężyna stabilizująca aparat działała przeciwko śrubie regulacji w sposób pokazany na rysunku 1. Długość niezdeformowanej sprężyny wynosi

L_{0} = 50 mm

. Jaka jest minimalna wartość stałej sprężystości sprężyny, która powinna być wykorzystana w tym projekcie?

Dlaczego nie chcemy przymocować kamery po prostu do śruby? W zasadzie to rozwiązanie również wchodzi w grę, ale ruch takiego mechanizmu nie byłby tak powtarzalny i gładki jakbyśmy tego chcieli. Chcemy rozwiązać problem luzu, spowodowanego ruchem śruby w gwintowanym otworze czy nakrętce. Powszechnie stosowanym rozwiązaniem tego problemu jest zastosowanie sprężyny "kontrującej" śrubę tak, jak w tym przykładzie.

Sprężyna musi być wystarczająco elastyczna, by kontrować śrubę w każdym możliwym położeniu aparatu. Ponieważ siła reakcji sprężyny jest proporcjonalna do jej wydłużenia, siła będzie najmniejsza w położeniu, w którym wydłużenie będzie najmniejsze, to znaczy, gdy rozciągnięta sprężyna będzie miała długość 100 mm.

Ponieważ sprężyna ma nominalną długość 50 mm, minimalne rwydłużenie wynosi

x = 100 mm - 50 mm = 50 mm

. Jeśli w tym położeniu siła sprężystości będzie dokładnie równa ciężarowi aparatu

m g = (1 kg) \cdot (9, 81 m / s^{2}) = 9, 81 N

, to kontrujący nacisk wyniesie zero.

Korzystając z prawa Hooke'a możemy obliczyć minimalną wartość stałej sprężystości, przy której sprężyna jeszcze spełni swoje zadanie:

\begin{aligned} k & = \frac{F}{x} \\ = \frac{9, 81 N}{50 \cdot 10^{- 3} m} \\ ≃ 196 N / m \end{aligned}

Zadanie 2b: Jaka jest minimalna wartość granicy sprężystości sprężyny wymagana w tej konstrukcji?

Z drugiej strony, sprężyna musi być wystarczająco mocna, aby maksymalna siła naciągu, przewidywana w tym projekcie nie spowodowała przekroczenia granicy sprężystości i w konsekwencji zerwania sprężyny. Maksymalna wartość siły sprężystości odpowiada maksymalnemu wydłużeniu sprężyny.

Wiemy że maksymalne wydłużenie równa się

x = 150 mm - 50 mm = 100 mm

. Załóżmy, że stała sprężystości ma wartość obliczoną w pierwszej części zadania

196 N / m

Korzystając z prawa Hooke'a możemy obliczyć siłę działającą na sprężynę w położeniu maksymalnego wychylenia przewidzianego w tym projekcie. Wartość ta jednocześnie odpowiada minimalnej wartości granicy sprężystości, jaką musi mieć nasza sprężyna.

\begin{aligned} F & = k x \\ = (196 N / m) \cdot (100 \cdot 10^{- 3} m) \\ = 19, 6 N \end{aligned}

Moduł Younga i łączenie sprężyn

Moduł Younga ( moduł elastyczności) to liczba, która określa odporność materiału na deformacje elastyczne. Nazwa pochodzi od nazwiska Thomasa Younga, fizyka, żyjącego w 17 wieku. Im sztywniejszy materiał, tym większy moduł Younga.

Symbolem modułu Younga jest

E

, zaś sam moduł zdefiniowany jest jako:

E = \frac{σ}{ϵ} = \frac{Napr ę ż enie}{Odkszta ł cenie}

Moduł Younga może być zdefiniowany dla dowolnego odkształcenia, ale gw zakresie obowiązywania prawa Hooke'a, moduł elastyczności jest stały. Znając pole powierzchni przekroju, do na który działa siła i nominalną długość próbki,

L

, możemy powiązać stałą sprężystości

k

z modułem Younga.

Takie podejście wyjaśnia zachowanie prostych materiałów elastycznych, na przykład gumy. Metalowa sprężyna jest przykładem o całkiem złożonej strukturze, wykorzystującym zarówno deformację osiową jak i skrętną. W takim wypadku potrzebna jest dalsza analiza by określić stałą sprężystości na podstawie właściwości metalu, z którego jest zrobiona. Mimo to, ogólna forma zależności między stałą sprężystości a geometrią (polem przekroju) sprężyny pozostaje prawdziwa.

k = E \frac{A}{L}

To równanie jest przydatne, jeśli myślimy o łączeniu sprężyn. Rozważmy dwie idealne sprężyny o stałej sprężystości

k

które można połączyć szeregowo ( jedna za drugą w jednym rzędzie) lub równolegle ( w jednej "kolumnie"), co pokazano na rysunku 2. Jak będzie wyglądała efektywna stała sprężystości w każdym z wypadków?

W konfiguracji szeregowej widzimy że łączenie sprężyn jest równoważne jednej sprężynie o podwójnej długości. W związku z tym stała sprężystości musi być połową stałej sprężystości pojedynczej sprężyny,

k_{efektywna} = k / 2

. Do tego samego wniosku można dojść badając rozciągnięcie układu dwóch sprężyn pod działaniem siły

F

. Każda ze sprężyn rozciągnie się zgodnie ze wzorem

F = k x

, a zatem układ dwóćh sprężyn rozciągnie się o

2 x

m co odpowiada efektywnej stałej sprężystości równej

k / 2

Jeśli sprężyny połączone są równolegle, długość pozostaje taka sama, ale siłą rozkładana jest na dwa razy większą powierzchnię, co zwiększa dwukrotnie stałą sprężystości układu,

k_{efektywna} = 2 k

. Ten sam wniosek można wyciągnąć analizując reakcję sprężyn na siłę rozciągającą

F

. Układ będzie w równowadze, jeśli każda ze sprężyn będzie działać z siłą reakcji róœną

F / 2

, a zatem odkształcenie będzie dwa razy mniejsze, co odpowiada efektywnej stałej sprężystości równej

2 k

Masa na sprężynie

Rozważmy teraz układ pokazany na rysunku 3. Na sprężynie zawieszono przez bloczek odważnik o masie 1 kilograma (dla uproszczenia pomijamy tarcie) w taki sposób, że sprężyna jest zorientowana poziomo. Drugą, taką samą sprężynę umocowano pionowo i zawieszono na niej taką samą masę. Załóżmy, że sprężyna waży 100g, a stała sprężystości k=200 N/m. Ile wynosi zmiana długości sprężyny w każdym z przypadków?

W obu przypadkach siła, z jaką nić, na której wisi masa, działa na sprężynę ma w obu wypadkach wartość

m g

, wydaje się więc, że wydłużenie sprężyny będzie w obydwóch przypadkach takie same. Okazuje się, że nie jest to prawda.

Komplikacja bierze się stąd, że sprężyna ma masę. W przypadku pionowym, siła ciężkości sprężyny i siła ciężkości ciężarka działają w jednym kierunku, co powoduje że sprężyna "czuje" efektywny ciężar równy 1,05 kg co powoduje wydłużenie sprężyny o

\frac{1, 05 kg \cdot 9, 81 m / s^{2}}{200 N / m} = 51, 5 mm

W przypadku poziomym, bloczek zmienia kierunek działania siły. W tym wypadku siła ciężkości ciężarka jest prostopadła do siły grawitacji działającej na sprężynę. W związku z tym na wydłużenie ma wpływ tylko masa 1 kg.

\frac{1 kg \cdot 9, 81 m / s^{2}}{200 N / m} = 49 mm

Różnica może być całkiem spora i jeśli nie weźmiemy jej pod uwagę możemy uzyskać błędny wynik. Na pracowni fizycznej często używa się wagi sprężynowej do mierzenia sił. Waga sprężynowa (obrazek 4) to po prostu sprężyna z podwieszonym hakiem i skala z której odczytujemy siłę.

Ponieważ wytwórcy wag sprężynowych przewidują, że będzie używana w pozycji pionowej, (np. przez rybaka ważącego rybę) skala uwzględnia już wagę sprężyny i haka. Jeśli zmierzymy siłę działającą w kierunku poziomym, wartość. siły odczytana w ten sposób będzie różnić się od rzeczywistej wartości. Skoro jednak z prawa Hooke'a wynika proporcjonalność między siłą a zmianą długości sprężyny, możemy wykorzystać wagę sprężynową do pomiarów różnicy sił działających w kierunku poziomym. Niektóre wagi wyposażone są w mechanizm, pozwalający na ustawienie punktu, odpowiadającego sile o wartości równej zero i w ten sposób rozwiązać ten problem.

O co nam chodzi gdy mówimy o wartości absolutnej i względnej? Pomiar absolutny to taki pomiar gdzie punktem odniesienia jest zero. Pomiar długości linijką, której początek zamocowany jest na początku mierzonego odcinka est przykładem pomiaru absolutnego. Jeśli początek linijki znajduje się w innym punkcie, a nie w początku mierzonych odcinków, to za pomocą takie linijki możemy wyznaczyć jedynie różnice długości pomiędzy odcinkami.

Żeby przejść z pomiaru różnicy wartości sił do pomiaru wartości każdej z sił z osobna, musimy wybrać punkt odniesienia. W przypadku, gdy chcemy zmierzyć siłę działającą w kierunku poziomym za pomocą wagi sprężynowej, musimy odczytać wartość pomiaru w przypadku, gdy sprężyna nie jest rozciągnięta (ma długość nominalną). Aby uzyskać prawdziwą wartość siły, należy od wartości zmierzonej odjąć wartość odpowiadającą swobodnej, nieobciążonej sprężynie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.