If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Czym jest energia potencjalna w polu grawitacyjnym?

Learn what gravitational potential energy means and how to calculate it.

Czym jest grawitacyjna energia potencjalna?

Wszyscy instynktownie zdajemy sobie sprawę, że ciężar podniesiony wysoko nad głową niesie ze sobą potencjalne zagrożenie. Ciężar może być bezpiecznie zamocowany, więc niebezpieczeństwo nie jest bezpośrednie i natychmiastowe. Nasz niepokój związany jest z przewidywaniem, co potencjalnie mogłoby się wydarzyć, jeśli zamocowanie zawiedzie i ciężar spadnie nam na głowę. W języku, jakim opisuje to fizyka, źródłem naszego niepokoju jest grawitacyjna energia potencjalna tego ciężaru.
Jeśli praca wykonana na przeniesienie ciała (masy, ładunku...) w polu działania siły nie zależy od drogi, po której porusza się to ciało, a jedynie od położenia punktów początkowego i końcowego, to taką siłę nazywamy siłą zachowawczą. Ta własność pozwala na wprowadzenie pojęcia energii potencjalnej, związanej z działaniem takiej siły. Siła grawitacji jest przykładem siły zachowawczej. Energię potencjalną masy m w polu grawitacyjnym będziemy oznaczać przez Ug. Znajomość energii grawitacyjnej Ug w każdym punkcie przestrzeni pozwala wyznaczyć pracę, jaką trzeba wykonać przesuwając masę m pod działaniem pola grawitacyjnego z jednego do drugiego punktu w tej przestrzeni
Rozważmy przedmiot o masie m, zawieszony na linie, przerzuconej przez umocowany u sufitu blok. Przedmiot uniesiono na wysokość h nad podłogę pod działaniem siły grawitacji tak, jak na poniższym rysunku. Ponieważ lina jest skierowana pionowo, siły działające na przedmiot są równoległe. Jeśli g oznacza stałą wartość przyspieszenia grawitacyjnego, możemy obliczyć pracę siły, z jaką lina działa na przedmiot, wykonaną przeciwko sile grawitacji, mnożąc wartość siły grawitacji, Fg, przez wysokość h względem położenia początkowego (podłogi), na jaką został uniesiony ten przedmiot.
Ug=Fgh=mgh
Uniesiona do góry masa uzyskuje energię potencjalną względem poziomu podłogi
Uniesiona do góry masa uzyskuje energię potencjalną względem poziomu podłogi
Jak tylko osoba na rysunku puści linę, przedmiot zacznie spadać i jego energia potencjalna zamieni się w energie kinetyczną spadającego przedmiotu. W artykule o zasadzie zachowania energii omawiamy różne przykłady, w których grawitacyjna energia potencjalna zamienia się w inne rodzaje energii.
Wartość energii potencjalnej w danym punkcie nie ma fizycznego znaczenia, ważna jest różnica energii ciała umieszczonego w dwóch różnych punktach przestrzeni. Do można więc zawsze dodać stałą - taką samą w każdym punkcie, bo przy obliczaniu różnicy energii w dwóch punktach taka stała się uprości i wynik nie będzie zależeć od jej wartości. Oznacza to, że w naszym przykładzie poziom, na którym energia potencjalna wynosi zero możemy wybrać dowolnie. Inaczej mówiąc, możemy dowolnie wybrać położenie, od którego będziemy liczyć wysokość, czyli dla którego h=0. Choć w prostych zadaniach najwygodniej jest przyjąć, że h=0 na podłodze, albo na powierzchni stołu, to w zasadzie jednak poziom h=0 można wybrać dowolnie. Oznacza to, że potencjalna energia grawitacyjna może mieć wartość ujemną. Nie ma to znaczenia, jeśli energię potencjalną liczymy zawsze w odniesieniu do tego samego poziomu.
Zadanie 1a: Ile energii elektrycznej zużyje winda, unosząc osobę o masie 75 kg na wysokość 50 m, jeśli sprawność windy wynosi 25%? Przyjmij, że masa pustej windy jest zrównoważona przez odpowiednią przeciwwagę.
Zadanie 1b (rozwinięcie): Ile kosztował ten przejazd windą, jeśli koszt energii elektrycznej wynosi 0,60kWh?
Zadanie 2: Jednym z najważniejszych problemów praktycznych związanych z energią jest, obok jej wytwarzania, problem przechowywania dużych ilości energii przez długi okres czasu. Energia uzyskana z wiatru lub światła słonecznego w formie energii elektrycznej może być przekształcona w grawitacyjną energię potencjalną w elektrowniach szczytowo-pompowych i wykorzystana ponownie jako energia elektryczna w godzinach szczytu, gdy będzie na nią zapotrzebowanie. Na poniższym rysunku przedstawiono schemat takiej elektrowni. W okresie, w którym występuje nadmiar energii elektrycznej, jest ona wykorzystana do przepompowania wody z dolnego do górnego zbiornika za pomocą pomp napędzanych energią elektryczną z sieci. W okresie dużego zapotrzebowania na energię elektryczną przepływ zostaje odwrócony i pompy działają jak prądnice, które przekształcają grawitacyjną energię potencjalną wody w górnym zbiorniku w energię elektryczną. Otwarcie przepływu wody z górnego do dolnego zbiornika wymaga niewiele czasu, co pozwala na elastyczną reakcję w czasie szczytu zapotrzebowania na moc w przypadku całego miasta lub nawet kilku miast.
Elektrownia szczytowo - pompowa w Bath w stanie Virgnia w USA (Bath County Storage Station) należy do największych elektrowni szczytowo - pompowych na świecie. Elektrownia zapewnia zapas energii elektrycznej dla 60 milionów mieszkańców, a jej maksymalna moc wynosi 3 GW 1. Różnica wysokości h pomiędzy dolnym i górnym zbiornikiem równa się 380 m. Załóżmy, że sprawność tej instalacji wynosi 80%. Oblicz objętość wody, która powinna przepłynąć przez turbiny generatorów tej elektrowni w ciągu 30 minut, jeśli moc elektrowni w tym czasie ma być równa 3 GW?
Szczytowo-pompowa elektrownia wodna.
Szczytowo-pompowa elektrownia wodna.

Co w sytuacji, gdy trzeba uwzględnić, że pole grawitacyjne nie jest jednorodne?

Jeśli rozpatrujemy zjawiska, które zachodzą w polu grawitacyjnym na większych odległościach, musimy wziąć pod uwagę, że pole grawitacyjne nie jest jednorodne, a pojęcie energii potencjalnej dotyczy obu mas oddziałujących ze sobą, a nie każdej z nich z osobna. Przypomnij sobie, że z prawa powszechnego ciążenia Newtona wynika wzór, zgodnie z którym siła przyciągania grawitacyjnego dwóch mas, m1 i m2, maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości r między nimi. Jeśli G oznacza stałą grawitacji, to
F=Gm1m2r2.
W takim przypadku wygodnie jest wybrać punkt odniesienia odpowiadający nieskończonej odległości, to znaczy w taki sposób, że gdy odległość pomiędzy masami, r, dąży do nieskończoności, to energia potencjalna ich oddziaływania grawitacyjnego dąży do zera. Taki wybór powoduje, że jeśli masy znajdują się w dowolnej skończonej odległości r, ich potencjalna energia grawitacyjna jest zawsze mniejsza od zera.
Ma to sens, bo znajdujące się w "nieskończonej" odległości od siebie masy nie powinny w żaden sposób ze sobą oddziaływać. Z kolei, jeśli dwie masy znajdują się blisko, tak jak Księżyc znajduje się w pobliżu Ziemi, to siła grawitacji nie pozwala im oddalić się od siebie i aby doprowadzić do ich rozdzielenia, należy dostarczyć im energię. Formalnie, rozdzielenie oznacza, że ich wzajemna odległość r=. W praktyce, ze względu na odwrotną proporcjonalność do kwadratu odległości, oddziaływanie grawitacyjne zbliża się asymptotycznie do zera stosunkowo szybko. Dla rakiety oddalającej się od Ziemi, pole grawitacyjne naszej planety można zaniedbać w odległości równej mniej więcej 10 promieniom Ziemi nad jej powierzchnią, gdzie przyciąganie grawitacyjne Ziemi spada do mniej niż 1% wartości na powierzchni.
Jeśli punkt zerowy energii potencjalnej wybierzemy w nieskończoności, to energia potencjalna pola grawitacyjnego dwóch mas odległych od siebie o r będzie równa pracy, jaką należy wykonać, aby zbliżyć te masy do siebie na tę odległość. Ponieważ masy się przyciągają, siła, z jaką będziemy działać na jedną z tych mas (drugą utrzymując w spoczynku), musi być skierowana przeciwnie do przesunięcia, a zatem wykonana praca będzie ujemna. Dokładne obliczenie wymaga znajomości podstaw rachunku całkowego i wynika z faktu, że funkcją pierwotną (całką nieoznaczoną) z 1/r2 jest -1/r. Podsumowując, grawitacyjna energia potencjalna dwóch mas m1 i m2, odległych od siebie o r, wyraża się wzorem:
Ug(r)=Gm1m2r
Przyjrzyjmy się problemowi poruszania się pomiędzy planetami naszego układu słonecznego. Załóżmy, że zbliżamy się do planety. Im bliżej planety, tym energia potencjalna staje się mniejsza i mniejsza, to znaczy Ug układu nasz statek kosmiczny - planeta staje się coraz bardziej ujemna (zauważ znak minus w powyższym wzorze). Z zasady zachowania energii wynika, że tracąc energię potencjalną, musimy zyskać energię kinetyczną, to znaczy, że rozpędzamy się coraz bardziej. Pamiętaj, żeby w odpowiednim czasie włączyć silniki hamujące!
W ten sposób wprowadziliśmy pojęcie grawitacyjnej studni z której statek kosmiczny musi się najpierw "wspiąć" by móc następnie przelecieć w pobliże innego ciała niebieskiego i wpaść w jego grawitacyjną studnię. Na poniższym rysunku przedstawiono grawitacyjne studnie Plutona i jego księżyca Charona, przy założeniu, że masa statku kosmicznego wynosi 1000 kg.
Grawitacyjne studnie Plutona i Charona
Grawitacyjne studnie Plutona i Charona
Zadanie 3: Oszacuj, na podstawie powyższego wykresu, pracę, jaką muszą wykonać silniki statku kosmicznego przeciwko siłom przyciągania grawitacyjnego aby przenieść statek, spoczywający na powierzchni Charona i na powierzchni Plutona z prędkością, równą zero?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.