Główna zawartość

Kurs: Podstawy algebry > Rozdział 7

Lekcja 8: Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: wzory skróconego mnożenia

Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: wzory skróconego mnożenia

Naucz się jak rozłożyć wyrażenie kwadratowe, które ma postać "idealnego kwadratu". Na przykład, zapisz x²+6x+9 jako (x+3)².

Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go w formie iloczynu jednego lub kilku innych wielomianów. Ta operacja jest odwrotnością mnożenia wielomianów.

W tym artykule nauczysz się w jaki sposób rozkładać na czynniki idealnie kwadratowe trójmiany przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Odwracają one proces podnoszenia dwumianu do kwadratu, więc powinieneś zrozumieć ten proces zanim przejdziesz do dalszej części artykułu.

Wprowadzenie: Rozkładanie na czynniki idealnie kwadratowych trójmianów

Żeby rozwinąć kwadrat dowolnego dwumianu, możemy zastosować jeden z następujących wzorów.

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ‍
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ‍

Zauważ że w tych wzorach

a

b

mogą być dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Załóżmy na przykład, że chcemy rozwinąć

(x + 5)^{2}

. W tym przypadu,

a = x

b = 5

, więc otrzymujemy:

$\begin{aligned} (x + 5)^{2} & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = x^{2} + 10 x + 25 \end{aligned}$ ‍

Możesz sprawdzić ten wzór za pomocą mnożenia przy rozwijaniu

(x + 5)^{2}

Odwrotność tego procesu rozwijania ma postać rozkładu na czynniki. Jeśli zapiszemy równania w odwrotnej kolejności, otrzymamy wzory, które pomagają znaleźć rozkład na czynniki wielomianów w postaci

a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ‍

Możemy zastosować pierwszy wzór do znalezienia rozkładu

x^{2} + 10 x + 25

. Mamy więc

a = x

b = 5

$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍

Wyrażenia w tej postaci czasami nazywamy idealnie kwadratowymi trójmianami. Nazwa odzwierciedla informację, że taki trójmian jest równy kwadratowi dwumianu!

Spójrzmy na kilka przykładów, w których najpierw rozkładamy idealnie kwadratowe trójmiany przy użyciu tego wzoru.

Przykład 1: Rozkład na czynniki $x^{2} + 8 x + 16$ ‍

Zauważ, że zarówno pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami:

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu:

2 (x) (4) = 8 x

Widzimy więc, że ten wielomian jest idealnie kwadratowym trójmianem, to znaczy że jest równy kwadratowi pewnego dwumianu, a więc możemy użyć następującego schematu:

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

W tym przypadku,

a = x

b = 4

. Możemy rozłożyć wielomian na czynniki w ten sposób:

\begin{aligned} x^{2} + 8 x + 16 & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = (x + 4)^{2} \end{aligned}

Sprawdzamy naszą pracę rozwijając

(x + 4)^{2}

\begin{aligned} (x + 4)^{2} & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = x^{2} + 8 x + 16 \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż na czynniki $x^{2} + 6 x + 9$ ‍.

2) Rozłóż na czynniki $x^{2} - 6 x + 9$ ‍.

Zauważ, że zarówno pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami:

x^{2} = (x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu:

2 (x) (3) = 6 x

To oznacza, że wielomian jest idealnie kwadratowym trójmianem. Możemy rozłożyć go na czynniki w następujący sposób:

\begin{aligned} x^{2} - 6 x + 9 & = (x)^{2} - 2 (x) (3) + (3)^{2} \\ = (x - 3)^{2} \end{aligned}

Zauważ, że znak dwumianu to minus, ponieważ współczynniki przy wyrazie z

x

jest ujemny.

3) Rozłóż na czynniki $x^{2} + 14 x + 49$ ‍.

Przykład 2: Rozkładanie na czynniki $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Nie jest wcale konieczne, żeby współczynniki przy wyrazie z najwyższą potęgą w idealnie kwadratowym trójmianie wynosił

1

Na przykład w

4 x^{2} + 12 x + 9

pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu:

2 (2 x) (3) = 12 x

Ponieważ spełnia powyższe warunki,

4 x^{2} + 12 x + 9

również jest idealnie kwadratowym trójmianem. Znowu możemy zastosować następujący schemat szukania rozkładu.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

W tym przypadku,

a = 2 x

, a

b = 3

. Wielomian można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 & = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Możemy sprawdzić nasze obliczenia rozwijajac

(2 x + 3)^{2}

Tak! Możemy również rozłożyć

4 x^{2} + 12 x + 9

używając metody grupowania.

Zacznijmy ten proces od znalezienia czynników

4 \cdot 9 = 36

, które sumują się do

12

. Te dwa czynniki to

6

6

, ponieważ

6 \cdot 6 = 36

, a

6 + 6 = 12

Możemy teraz rozbić wyraz

12 x

6 x + 6 x

i używając grupowania rozłożyć wielomian:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (6 x + 9) & Pogrupuj wyrazy \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & Wyłącz NWD \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & Wspólny czynnik! \\ = (2 x + 3) (2 x + 3) & Wyłącz 2 x + 3 \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Zauważ, że rozpoznanie, że

4 x^{2} + 12 x + 9

jest idealnym kwadratem oszczędza Ci czas !

Sprawdź swoje zrozumienie

4) Rozłóż na czynniki $9 x^{2} + 30 x + 25$ ‍.

Zauważ, że zarówno pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami:

9 x^{2} = (3 x)^{2}

25 = (5)^{2}

. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu:

2 (3 x) (5) = 30 x

To oznacza, że wielomian jest idealnie kwadratowym trójmianem. Możemy rozłożyć go na czynniki w następujący sposób:

\begin{aligned} 9 x^{2} + 30 x + 25 & = (3 x)^{2} + 2 (3 x) (5) + (5)^{2} \\ = (3 x + 5)^{2} \end{aligned}

5) Rozłóż na czynniki $4 x^{2} - 20 x + 25$ ‍.

Zauważ, że zarówno pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

25 = (5)^{2}

. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu:

2 (2 x) (5) = 20 x

To oznacza, że wielomian jest idealnie kwadratowym trójmianem. Możemy rozłożyć go na czynniki w następujący sposób:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 20 x + 25 & = (2 x)^{2} - 2 (2 x) (5) + (5)^{2} \\ = (2 x - 5)^{2} \end{aligned}

Zauważ, że znak dwumianu to minus, ponieważ współczynniki przy wyrazie z

x

jest ujemny.

Ćwiczenia sprawdzające

6*) Rozłóż na czynniki $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ ‍.

7*) Rozłóż na czynniki $9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2}$ ‍.

Zauważ, że zarówno pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami:

9 x^{2} = (3 x)^{2}

16 y^{2} = (4 y)^{2}

. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu:

2 (3 x) (4 y) = 24 x y

To oznacza, że wielomian jest idealnie kwadratowym trójmianem. Możemy rozłożyć go na czynniki w następujący sposób:

\begin{aligned} 9 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} & = (3 x)^{2} + 2 (3 x) (4 y) + (4 y)^{2} \\ = (3 x + 4 y)^{2} \end{aligned}

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

jure.curado
Opublikowane rok temu. Odnosi się do postu jure.curado's o treści “W 7 zadaniu nie ma możliw...”
W 7 zadaniu nie ma możliwości podniesienia do kwadratu w odpowiedzi i trzeba zapisywać wynik w postaci iloczynu dwumianów (a+b)(b+a)
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiKliknij, aby przejść do strony rejestracji
(1 głos)
Odpowiedź

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Podstawy algebry

Kurs: Podstawy algebry > Rozdział 7

Wprowadzenie: Rozkładanie na czynniki idealnie kwadratowych trójmianów

Przykład 1: Rozkład na czynniki x2+8x+16‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Przykład 2: Rozkładanie na czynniki 4x2+12x+9‍

Sprawdź swoje zrozumienie

Ćwiczenia sprawdzające

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: Rozkład na czynniki $x^{2} + 8 x + 16$ ‍

Przykład 2: Rozkładanie na czynniki $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍