Graficzne przedstawienie mnożenia liczb zespolonych

Wiesz już jak pomnożyć przez siebie dwie liczby zespolone, czy to w postaci kanonicznej, czy w postaci wykładniczej. Wiesz także, że w postaci wykładniczej mnożenie polega na pomnożeniu przez siebie modułów oraz dodaniu argumentów:

Jedną z wielu zalet postaci wykładniczej jest łatwość, z jaką można przedstawić graficznie co się dzieje przy mnożeniu liczb zespolonych.

Co się stanie, jeśli mnożymy każdy punkt na płaszczyźnie zespolonej przez pewną liczbę zespoloną $z$‍? Jeśli $z$‍ ma przedstawienie w postaci $r(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$‍, reguła opisana powyżej mówi nam, że każdy punkt na płaszczyźnie będzie przeskalowany ze współczynnikiem $r$‍, oraz obrócony o kąt $\theta$‍.

Niech $z=\sqrt{3}+i=2(\cos ({30}^{\circ })+i\sin ({30}^{\circ }))$‍. Mnożenie przez $z$‍ oznacza przeskalowanie przez czynnik $2$‍, oraz obrót o ${30}^{\circ }$‍, tak jak tutaj:

Jeśli $z={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍, to moduł $z$‍ wynosi

natomiast argument równa się $-{45}^{\circ }$‍, a zatem mnożenie przez $z$‍ oznacza przeskalowanie z czynnikiem ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\approx \mathrm{0,471}$‍, czyli wszystko się skurczy, oraz obrót o kąt $-{45}^{\circ }$‍ wokół początku układu współrzędnych, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Mnożenie przez $z=-2$‍, której moduł wynosi $2$‍, a argument równa się ${180}^{\circ }$‍, obraca wszystko o połowę kąta pełnego wokół początku układu współrzędnych, jednocześnie rozciągając z czynnikiem $2$‍.

Inny sposób na wyobrażenie sobie tego. jak działa mnożenie zespolone, polega na tym aby zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej liczby $1$‍ i $z$‍, a następnie zauważyć, że mnożenie przez $z$‍ przenosi punkt $1$‍ w miejsce punktu $z$‍, ponieważ $z\cdot 1=z$‍. Oczywiście w taki sposób, aby początek układu współrzędnych pozostał w tym samym miejscu, skoro $z\cdot 0=0$‍.

Ciekawe, jak bardzo te dwa proste fakty, $z\cdot 1=z$‍ i $z\cdot 0=0$‍, ułatwiają wyobrażenie sobie jak działa mnożenie zespolone!

Przyjrzyjmy się teraz co się stanie, jeśli pomnożymy płaszczyznę zespoloną przez pewną liczbę zespoloną $z$‍, a następnie wynik pomnożymy przez liczbę do niej sprzężoną, $\overline{z}$‍:

Jeśli argumentem liczby $z$‍ jest kąt $\theta$‍, to argumentem liczby sprzężonej $\overline{z}$‍ jest $-\theta$‍, tak więc po wykonaniu kolejnych mnożeń obroty wzajemnie się kasują. Możemy to zaobserwować na przykładzie punktu $1$‍, który w końcu pozostaje po dodatniej stronie osi rzeczywistej.

A co z modułem? Obie liczby mają ten sam moduł, $|z|=|\overline{z}|$‍, więc całkowitym wynikiem mnożenia przez $z$‍ a potem przez $\overline{z}$‍ jest rozciągnięcie wszystkiego $|z|\cdot |\overline{z}|=|z{|}^2$‍ razy.

To samo możemy zobaczyć po prostu wypisując równania, ponieważ $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|a+bi{|}^2$‍, ale czasem warto zobaczyć jak to działa!

Co się stanie, jeżeli podzielimy całą płaszczyznę zespoloną przez $z$‍? Jeżeli argument $z$‍ wynosi $\theta$‍ a moduł $r$‍, to dzielenie zadziała odwrotnie do mnożenia: obróci wszystko o $-\theta$‍ i przeskaluje z czynnikiem skali ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍ (czyli płaszczyzna zespolona skurczy się z czynnikiem skali równym $r$‍).

Argument liczby $\sqrt{3}+i$‍ wynosi ${30}^{\circ }$‍, a jej moduł równa się $2$‍, a zatem płaszczyzna zespolona obraca się o $-{30}^{\circ }$‍, to znaczy o ${30}^o$‍ w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, przeskaluje o czynnik ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ (to znaczy skurczy się o czynnik $2$‍).

Argument ${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍ wynosi $-{45}^{\circ }$‍, a moduł równa się

A zatem wszystko obraca się o kąt $+{45}^{\circ }$‍ i skaluje z czynnikiem skali równym ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}\approx \mathrm{2,121}$‍.

Zauważ, że kropka oznaczająca $z$‍ przeniosła się nad $1$‍.

Aby obliczyć ${\displaystyle \frac{z}{w}}$‍, gdzie $z=a+bi$‍ a $w=c+di$‍, mnożymy licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do $w$‍, $\bar{w}=c-di$‍.

Innymi słowy, dzielenie przez $w$‍ to to samo, co mnożenie przez ${\displaystyle \frac{\bar{w}}{|w{|}^2}}$‍. Możemy to zobaczyć?

Załóżmy, że argument $w$‍ równa się $\theta$‍, a moduł wynosi $r$‍. A zatem, dzieląc przez $w$‍, musimy wykonać obrót o kąt $-\theta$‍ połączony ze skalowaniem z czynnikiem skali równym ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍. Ponieważ liczba sprzężona $\bar{w}$‍ ma argument przeciwny do argumentu $w$‍, mnożenie przez $\bar{w}$‍ oznacza obrót o kąt $-\theta$‍, dokładnie tak, jak chcemy. Z drugiej strony, mnożenie przez $\bar{w}$‍ oznacza skalowanie z czynnikiem $r$‍, a więc dzielimy jeszcze przez $r^2=|w{|}^2$‍ aby to poprawić. Zauważ, że $|w{|}^2$‍ jest dodatnią liczbą rzeczywistą, której argument wynosi zero.

Na przykład, dzielenie przez $1+2i$‍ wygląda w ten sposób:

A tak będzie, jeśli najpierw pomnożymy przez liczbę sprzężoną, $1-2i$‍, a następnie podzielimy przez kwadrat modułu $|1+2i{|}^2=5$‍.

Oba sposoby dają ten sam wynik, jak być musi.