Płaszczyzna zespolona

Jednostka urojona, oznaczana literą $i$‍, jest liczbą o następujących właściwościach:

Liczbą zespoloną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać jako sumę $a+bi$‍, gdzie $i$‍ jest jednostką urojoną a $a$‍ i $b$‍ są liczbami rzeczywistymi.

$a$‍ nazywamy częścią $\text{rzeczywistą}$‍, a $b$‍ częścią $\text{urojoną}$‍ liczby zespolonej.

Tak jak możemy użyć osi liczbowej aby wizualizować zbiór liczb rzeczywistych, możemy użyć płaszczyzny zespolonej aby wizualizować liczby zespolone.

Płaszczyzna zespolona składa się z dwóch osi liczbowych, które przecinają się pod kątem prostym w punkcie $(0,0)$‍.

Linią poziomą (którą w kartezjańskim układzie współrzędnych nazywamy osią $X$‍) jest oś rzeczywista.

Linią pionową (którą w kartezjańskim układzie współrzędnych nazywamy osią $Y$‍) jest oś urojona.

Każda liczba zespolona może zostać przedstawiona jako punkt na płaszczyźnie zespolonej.

Rozważmy dla przykładu liczbę $3-5i$‍. Liczba ta, którą można przedstawić również jako $3+(-5)i$‍, ma część rzeczywistą równą $3$‍ i część urojoną równą $-5$‍.

Umiejscowieniem tej liczby na płaszczyźnie zespolonej jest punkt, który odpowiada wartości $3$‍ na osi rzeczywistej i wartości $-5$‍ na osi urojonej.

Liczbie $3+(-5)i$‍ odpowiada więc punkt $(3,-5)$‍. W ogólności, liczba $a+bi$‍ odpowiada punktowi $(a,b)$‍ na płaszczyźnie zespolonej.

W czasach Pitagorasa istnienie liczb niewymiernych było wielkim odkryciem! Zastanawiano się, jak coś takiego, jak $\sqrt{2}$‍ może istnieć nie mając skończonego rozwinięcia dziesiętnego.

Oś liczb rzeczywistych pozwala rozwiązać ten dylemat. Dlaczego? Ponieważ $\sqrt{2}$‍ ma określone położenie na tej osi dowodząc, że istotnie jest to liczba rzeczywista. (Jeżeli rozważysz przekątną kwadratu jednostkowego i umieścisz jeden z końców w $0$‍, to drugi koniec odpowiadał będzie liczbie $\sqrt{2}$‍.)

Podobnie, każda liczba zespolona rzeczywiście istnieje, ponieważ odpowiada ona jednoznacznie pewnemu punktowi na płaszczyźnie zespolonej! Być może, po tym, jak już możemy wizualizować te liczby, możemy zrozumieć, że nazywanie ich "urojonymi" było niefortunnym błędem.

Liczby zespolone istnieją i stanowią istotną część matematyki. Oś liczb rzeczywistych jest po prostu osią rzeczywistą na płaszczyźnie zespolonej, ale przecież tak wiele znajduje się poza tą jedną linią!