Przegląd wiadomości na temat dopełniania do kwadratu

Dopełnienie do kwadratu to metoda na zapisanie równania kwadratowego w postaci $(x+a{)}^2+b$‍.

Na przykład, $x^2+2x+3$‍ można zapisać jako $(x+1{)}^2+2$‍. Te dwa wyrażenia są sobie w pełni równoważne, ale to drugie jest przyjemniejsze do pracy w niektórych sytuacjach.

Mamy podane równanie kwadratowe i musimy dopełnić je do kwadratu.

Zaczynamy od przeniesienia wyrazu stałego na drugą stronę równania.

Dopełniamy do kwadratu, biorąc połowę współczynnika stojącego przy $x$‍, podnosząc to do kwadratu i dodając to po obu stronach równania. Ponieważ współczynnik przy $x$‍ wynosi $10$‍, połowa z tego to $5$‍, co po podniesieniu do kwadratu da nam $25$‍.

Możemy teraz zapisać lewą stronę równania jako wyrażenie podniesione do kwadratu.

Z obu stron wyciągamy pierwiastek kwadratowy.

Wyodrębnij wyraz z $x$‍, żeby wyznaczyć rozwiązanie(a).

Mamy podane równanie kwadratowe i musimy dopełnić je do kwadratu.

Po pierwsze, podzielmy wielomian przez $4$‍ (współczynnik stojący przy $x^2$‍).

Zauważ, że po lewej stronie mamy już trójmian, któremu odpowiada wzór skróconego mnożenia. Współczynnik przy wyrazie z $x$‍ to $5$‍, połowa z tego to ${\displaystyle \frac{5}{2}}$‍. Podniesienie tego do kwadratu da nam ${\displaystyle \frac{25}{4}}$‍, czyli nasz wyraz stały.

Możemy zatem zapisać lewą stronę równania jako wyrażenie podniesione do kwadratu.

Z obu stron wyciągamy pierwiastek kwadratowy.

Wyodrębnij wyraz z $x$‍, żeby wyznaczyć rozwiązanie.

Rozwiązaniem jest: $x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$‍