Wyprowadzenie wzorów na pierwiastki równania kwadratowego

Wyprowadzenie, krok po kroku, wzoru na pierwiastki równania kwadratowego. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Wzór na rozwiązanie równania kwadratowego wygląda tak

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

dla dowolnego równania kwadratowego o postaci:

a x^{2} + b x + c = 0

Jeśli nigdy wcześniej nie widziałeś dowodu na ten wzór, to możesz obejrzeć film, w którym jest on uzasadniony, ale jeśli chcesz sobie po prostu przypomnieć dowód lub wolisz rozwiązania na papierze, to tu on jest:

Dowód

Zaczniemy od postaci ogólnej równania i wykonamy szereg działań, aby rozwiązać je ze względu na

x

. Istotą tego dowodu jest metoda nazywana

dopełnieniem do kwadratu

. Jeśli nie jesteś zaznajomiony z tą metodą to możesz sobie ją odświeżyć oglądając ten film.

Część 1: Dopełnianie do kwadratu

\begin{aligned} a x^{2} + b x + c & = 0 & (1) \\ a x^{2} + b x & = - c & (2) \\ x^{2} + \frac{b}{a} x & = - \frac{c}{a} & (3) \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (4) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (5) \end{aligned}

Część 2: Algebra! Algebra! Algebra!

Pamiętaj, naszym celem jest rozwiązanie ze względu na

x

\begin{aligned} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (5) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{4 a c}{4 a^{2}} & (6) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} & (7) \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{\sqrt{4 a^{2}}} & (8) \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (9) \\ x & = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (10) \\ x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (11) \end{aligned}

I gotowe!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.