Główna zawartość

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 14

Lekcja 5: Rozwiązywanie równań kwadratowych przez rozkład na czynniki

Rozwiązywanie równań kwadratowych przez rozkład na czynniki

Naucz się jak rozwiązywać równania kwadratowe jak (x-1)(x+3) = 0 i jak stosować rozkład na czynniki by rozwiązać inne równania.

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Dotychczas rozwiązywałaś/eś równania liniowe, które zawierały wyrazy stałe - czyli liczby - i wyrazy ze zmienną podniesioną do pierwszej potęgi,

x^{1} = x

Być może zdarzyło Ci się już rozwiązać kilka równań kwadratowych, czyli takich, które miały zmienną podniesioną do drugiej potęgi, wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu stron.

W tej lekcji nauczysz się nowego sposobu rozwiązywania równań kwadratowych. A zwłaszcza dowiesz się

jak rozwiązać równania w postaci iloczynowej, jak $(x - 1) (x + 3) = 0$ ‍ oraz
jak użyć metod rozkładu na czynniki żeby doprowadzić inne równania $($ ‍jak $x^{2} - 3 x - 10 = 0)$ ‍ do postaci iloczynowej i je rozwiązać.

Rozwiązywanie równań w postaci iloczynowej

Przypuśćmy, że mamy rozwiązać równanie kwadratowe

(x - 1) (x + 3) = 0

Jest to iloczyn dwóch wyrażeń, który równy jest zero. Zauważ, że dowolne

x

, dla którego

(x - 1)

lub

(x + 3)

jest równe zero, zeruje również cały iloczyn.

\begin{aligned} (x - 1) & (x + 3) = 0 \\ ↙ & ↘ \\ x - 1 = 0 & x + 3 = 0 \\ x = 1 & x = - 3 \end{aligned}

Podstawienie

x = 1

lub

x = - 3

do równania da nam prawdziwą równość

0 = 0

, więc obie liczby są rozwiązaniem równania.

Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.

Rozwiąż równanie $(x + 5) (x + 7) = 0$ ‍.

Rozwiąż równanie $(2 x - 1) (4 x - 3) = 0$ ‍.

Pytanie do zastanowienia

Czy ta sama metoda rozwiązania może być zastosowana do równania $(x - 1) (x + 3) = 6$ ‍?

Świeżo poznana przez Ciebie metoda znajdowania rozwiązań może być stosowana tylko w wypadku, gdy iloczyn wyrażeń jest równy zero.

Powodem tego jest fakt, że gdy iloczyn jest równy zero, wtedy wiemy, że jeden z czynników musi być zerem i nie musimy martwić się o wartość drugiego czynnika.

W przypadku iloczynu równego niezerowej liczbie, jak na przykład

6

, nie ma szczególnego warunku na jeden z czynników. Jeżeli możemy coś powiedzieć, to o obu czynnikach łącznie. Na przykład:

jeśli jeden z czynników jest równy $1$ ‍, to drugi wynosi $6$ ‍;
jeżeli jeden z czynników to $2$ ‍, to drugi wynosi $3$ ‍; albo
jeżeli jeden z czynników wynosi $\frac{1}{2}$ ‍, to drugi wynosi $12$ ‍.

To nie pozwala nam na przejście od równania kwadratowego do dwóch rozłącznych równań liniowych.

Uwaga dotycząca własności zerowego iloczynu

Skąd wiemy, że nie ma więcej rozwiązań niż te dwa, jakie znajdujemy przy użyciu naszej metody?

Odpowiedź możemy znaleźć za pomocą następującej własności iloczynu wynoszącego zero:

Jeżeli iloczyn dwóch wielkości wynosi zero, to co najmniej jedna z tych wielkości musi wynosić zero.
Wiemy już, że iloczyn dowolnej liczby i zera wynosi zero. Nasza własność mówi, że jeżeli iloczyn jest równy zero, to na pewno jeden z czynników jest równy zero.
Pomyśl o przypadku, gdy żaden z czynników nie jest równy zero. W tym przypadku iloczyn również nie będzie równy zero. Na przykład, pomnożenie $2$ ‍ przez dowolną niezerową liczbę nigdy nie da w wyniku zera.
Oznacza to, że aby iloczyn był zero, jeden z czynników musi być zero.

Podstawienie dowolnego

x

poza naszymi rozwiązaniami daje w wyniku iloczyn dwóch niezerowych liczb, który nigdy nie jest równy zero. Oznacza to, że nasze rozwiązania są jedynymi możliwymi.

Rozwiązanie przez rozkład na czynniki

Przypuśćmy, że mamy rozwiązać równanie

x^{2} - 3 x - 10 = 0

. Wszystko, co należy zrobić, to zapisać

x^{2} - 3 x - 10

jako iloczyn dwóch czynników i rozwiązywać jak poprzednio!

x^{2} - 3 x - 10

może być zapisane jako

(x + 2) (x - 5)

Skoro współczynnik wiodący — czyli współczynnik stojący przy

x^{2}

— wynosi

1

, możemy użyć wzorów na sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego.

W związku ze wzorami na sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego, jeżeli znajdziemy dwie liczby

a

b

takie, że

a + b = - 3

oraz

a \cdot b = - 10

, to wtedy

x^{2} - 3 x - 10 = (x + a) (x + b)

Rozważając pary liczb całkowitych, których iloczyn wynosi

- 10

i eliminując te, których suma nie wynosi

- 3

, dowiadujemy się, że szukanymi przez nas liczbami są

a = 2

oraz

b = - 5

Mamy więc, że wyrażenie rozkłada się na czynniki jako $(x + 2) (x - 5)$ ‍..

Pełne rozwiązanie równania wygląda tak:

$\begin{aligned} x^{2} - 3 x - 10 & = 0 \\ (x + 2) (x - 5) & = 0 & Rozłóż na czynniki. \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 2 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 2 & x & = 5 \end{aligned}$ ‍

Teraz rozwiąż kilka równań samemu. Pamiętaj, że różne równania mogą wymagać różnych metod rozkładu.

Rozwiąż $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Krok 1. Rozłóż $x^{2} + 5 x$ ‍ na iloczyn dwóch wyrażeń liniowych.

Krok 2. Rozwiąż równanie.

Rozwiąż $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Krok 1. Rozłóż $x^{2} - 11 x + 28$ ‍ na iloczyn dwóch wyrażeń liniowych.

Skoro współczynnik wiodący — czyli współczynnik stojący przy

x^{2}

— wynosi

1

, możemy użyć wzorów na sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego.

Zgodnie ze wzorami na sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego, jeżeli znajdziemy dwie liczby

a

b

takie, że

a + b = - 11

oraz

a \cdot b = 28

, to

x^{2} - 11 x + 28 = (x + a) (x + b)

Rozważając pary liczb całkowitych, których iloczyn jest równy

28

i eliminując te pary, których suma nie jest równa

- 11

otrzymujemy, że liczby, których poszukujemy, to

a = - 4

b = - 7

Oznacza to, że rozłożone na czynniki wyrażenie to $(x - 4) (x - 7)$ ‍.

Krok 2. Rozwiąż równanie.

Rozwiąż $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Krok 1. Rozłóż $4 x^{2} + 4 x + 1$ ‍ na iloczyn dwóch wyrażeń liniowych.

Krok 2. Rozwiąż równanie.

Zauważyliśmy, że wyrażenie

4 x^{2} + 4 x + 1

może być rozłożone na czynniki jako

(2 x + 1)^{2}

. Możemy więc rozwiązać równanie.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 4 x + 1 & = 0 \\ (2 x + 1)^{2} & = 0 & Rozłóż na czynniki. \end{aligned}$ ‍

W tym wypadku mamy do czynienia z iloczynem, którego oba czynniki są takie same:

2 x + 1

. Nie musimy więc rozwiązywać dwóch równań. Wyrażenie

(2 x + 1)^{2}

jest równe zero tylko wtedy, gdy wyrażenie

2 x + 1

jest równe zero.

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 \\ x & = - \frac{1}{2} \end{aligned}$ ‍

Podsumowując, równanie ma tylko jedno rozwiązanie, $x = - \frac{1}{2}$ ‍.

Rozwiąż $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.

Krok 1. Rozłóż $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ na iloczyn dwóch wyrażeń liniowych.

Skoro współczynnik wiodący — czyli współczynnik stojący przy

x^{2}

— jest różny od

1

, powinniśmy skorzystać z metody grupowania.

Aby tego dokonać, musimy najpierw znaleźć dwie liczby

a

b

, takie że

a + b = 11

oraz

a b = (3) (- 4) = - 12

Rozważając pary liczb całkowitych, których iloczyn wynosi

- 12

i eliminując te pary, których suma nie jest równa

11

, otrzymujemy wartości

a = 12

b = - 1

. Zapisujemy teraz

11 x

jako

(12 x - x)

i grupujemy.

$\begin{aligned} 3 x^{2} + 11 x - 4 \\ = 3 x^{2} + 12 x - x - 4 \\ = 3 x (x + 4) - 1 (x + 4) \\ = (3 x - 1) (x + 4) \end{aligned}$ ‍

Podsumowując, $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ może być rozłożone na czynniki jako $(3 x - 1) (x + 4)$ ‍.

Krok 2. Rozwiąż równanie.

Przekształcanie wyrażenia przed rozkładem na czynniki

Jedna ze stron równania musi być równa zero.

Tak rozwiązuje się równanie

x^{2} + 2 x = 40 - x

$\begin{aligned} x^{2} + 2 x & = 40 - x \\ x^{2} + 2 x - 40 + x & = 0 & Odejmij 40 i dodaj x . \\ x^{2} + 3 x - 40 & = 0 & Połącz wyrazy podobne. \\ (x + 8) (x - 5) & = 0 & Rozłóż na czynniki. \end{aligned}$ ‍

\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 8 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 8 & x & = 5 \end{aligned}

Zanim dokonaliśmy rozkładu na czynniki, tak wymanewrowaliśmy równaniem, że wszystkie wyrazy znalazły się po jednej stronie, a po drugiej stronie stało zero. Dopiero wtedy mogliśmy dokonać rozkładu na czynniki i zastosować naszą metodę rozwiązania.

Dzielenie przez wspólny czynnik

Tak rozwiązuje się równanie

2 x^{2} - 12 x + 18 = 0

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 12 x + 18 & = 0 \\ x^{2} - 6 x + 9 & = 0 & Podziel przez 2. \\ (x - 3)^{2} & = 0 & Rozłóż na czynniki. \\ ↓ \\ x - 3 & = 0 \\ x & = 3 \end{aligned}$ ‍

Początkowo wszystkie wyrazy pomnożone były przez wspólny czynnik

2

, więc podzieliliśmy obie strony przez

2

- zero po prawej stronie pozostało zerem - co uprościło nam rozkład na czynniki.

Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.

Znajdź rozwiązania równania.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = x^{2} + 34$ ‍

Znajdź rozwiązania równania.

$3 x^{2} + 33 x + 30 = 0$ ‍

Znajdź rozwiązania równania.

$3 x^{2} - 9 x - 20 = x^{2} + 5 x + 16$ ‍

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 14

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Rozwiązywanie równań w postaci iloczynowej

Pytanie do zastanowienia

Uwaga dotycząca własności zerowego iloczynu

Rozwiązanie przez rozkład na czynniki

Rozwiąż x2+5x=0‍ .

Rozwiąż x2−11x+28=0‍ .

Rozwiąż 4x2+4x+1=0‍ .

Rozwiąż 3x2+11x−4=0‍ .

Przekształcanie wyrażenia przed rozkładem na czynniki

Jedna ze stron równania musi być równa zero.

Dzielenie przez wspólny czynnik

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Rozwiąż $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Rozwiąż $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Rozwiąż $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Rozwiąż $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.