Główna zawartość

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 14

Lekcja 3: Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą pierwiastka kwadratowego

Rozwiązywanie równań kwadratowych przez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego
Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą pierwiastka kwadratowego
Rozwiązywanie równań kwadratowych metodą wyciągania pierwiastka kwadratowego
Rozwiązywanie równań kwadratowych przez wyciąganie pierwiastka kwadratowego: przykłady
Rozwiązywanie równań kwadratowych metodą wyciągania pierwiastka kwadratowego
Rozwiązywanie równań kwadratowych metodą wyciągania pierwiastka kwadratowego: sposób postępowania
Rozwiązywanie równań kwadratowych metodą wyciągania pierwiastka kwadratowego: sposób postępowania
Rozwiązywanie równań kwadratowych przez wyciąganie pierwiastka kwadratowego krok po kroku
Rozwiązywanie równań kwadratowych metodą wyciągania pierwiastka kwadratowego: krok po kroku
Przypomnienie wiadomości na temat rozwiązywania prostych równań kwadratowych

Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą pierwiastka kwadratowego

Naucz się rozwiązywać równania kwadratowe takie jak x^2=36 lub (x-2)^2=49.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Dotychczas rozwiązywałaś/eś równania liniowe, które zawierały wyrazy stałe - czyli liczby - i wyrazy ze zmienną podniesioną do pierwszej potęgi,

x^{1} = x

Teraz nauczysz się, jak rozwiązywać równania kwadratowe, które zawierają wyrażenia ze zmienną podniesioną do drugiej potęgi, czyli

x^{2}

Oto kilka przykładów równań kwadratowych, które nauczysz się rozwiązywać:

x^{2} = 36

(x - 2)^{2} = 49

Może być dla Ciebie mylące to, że równanie nie zawiera członu

x^{2}

. Zawiera ono jednak człon

(x - 2)^{2}

, czyli wyrażenie zawierające

x

, które jest podniesione do drugiej potęgi.

Jeśli nie czujesz się przekonany, możesz rozwinąć część wyrażenia znajdującą się w nawiasie i zobaczyć, co otrzymasz.

$\begin{aligned} (x - 2)^{2} & = 49 \\ x^{2} - 4 x + 4 & = 49 \end{aligned}$ ‍

To wyrażenie zawiera

x^{2}

, a więc niewątpliwie jest ono równaniem kwadratowym.

2 x^{2} + 3 = 131

Przejdźmy do meritum.

Rozwiązywanie równań w rodzaju $x^{2} = 36$ ‍

Załóżmy, że chcemy rozwiązać równanie

x^{2} = 36

. Spróbujmy najpierw przedstawić własnymi słowami, o co pyta nas to równanie. Pyta o to, jaka liczba, pomnożona przez siebie, da w wyniku $36$ ‍.

Jeśli to pytanie coś Ci przypomina, to dlatego, że jest to definicja pierwiastka kwadratowego z 36, który w notacji matematycznej zapisujemy jako

\sqrt{36}

Kompletne rozwiązanie tego równania wygląda tak:

\begin{aligned} x^{2} & = 36 \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{36} & oblicz pierwiastek kwadratowy \\ x & = \pm \sqrt{36} \\ x & = \pm 6 \end{aligned}

Prześledźmy, co wydarzyło się w tym rozwiązaniu.

Co oznacza znak $\pm$ ‍ ?

Zauważ, że każda liczba dodatnia ma dwa pierwiastki: pierwiastek dodatni oraz pierwiastek ujemny. Na przykład, kwadrat liczby

6

jest równy kwadratowi liczby

- 6

, czyli

36

. Oznacza to, że równanie

x^{2} = 36

ma dwa rozwiązania.

Znak

\pm

jest wygodnym sposobem matematycznego przedstawienia tego faktu. Na przykład,

\pm 6

oznacza "albo

6

, albo

- 6

Uwaga na temat działań odwrotnych

Przy rozwiązywaniu równań liniowych znajdowaliśmy zmienną poprzez użycie transformacji odwrotnych: jeżeli zmienna była powiększona o

3

, odejmowaliśmy

3

od obu stron równania, z kolei jeżeli zmienna była pomnożona przez

4

, dzieliliśmy obie strony równania przez

4

Operacją odwrotną do podnoszenia do drugiej potęgi jest pierwiastkowanie. Jednakże, w przeciwieństwie do innych operacji, przy pierwiastkowaniu musimy uwzględnić oba pierwiastki: dodatni oraz ujemny.

Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.

zadanie 1

Rozwiąż równanie $x^{2} = 16$ ‍.

x = \pm

Zadanie 2

Rozwiąż równanie $x^{2} = 81$ ‍.

x = \pm

Zadanie 3

Rozwiąż $x^{2} = 5$ ‍.

Rozwiązywanie równań w rodzaju $(x - 2)^{2} = 49$ ‍

Tak rozwiązuje się równanie

(x - 2)^{2} = 49

\begin{aligned} (x - 2)^{2} & = 49 \\ \sqrt{(x - 2)^{2}} & = \sqrt{49} & oblicz pierwiastek kwadratowy \\ | x - 2 | = 7, x - 2 & = \pm 7 \\ x & = \pm 7 + 2 & dodaj 2 \end{aligned}

Rozwiązaniami są więc $x = 9$ ‍ oraz $x = - 5$ ‍.

Prześledźmy, co wydarzyło się w tym rozwiązaniu.

Znajdowanie $x$ ‍

Używając operacji odwrotnej do pierwiastkowania, pozbyliśmy się znaku pierwiastka. Był to ważny krok w drodze do wyłączenia

x

, jednakże nadal musieliśmy dodać

2

w ostatnim kroku, aby ostatecznie wyłączyć

x

Interpretacja rozwiązań

Nasze rozwiązanie zakończyło się zapisaniem wzoru

x = \pm 7 + 2

. Jak rozumieć to wyrażenie? Pamiętaj, że

\pm 7

oznacza "albo

+ 7

, albo

- 7

". Z tego powodu musimy rozbić nasze rozwiązanie na dwa przypadki: albo

x = 7 + 2

, albo

x = - 7 + 2

Mamy więc dwa rozwiązania,

x = 9

x = - 5

W celu dokonania sprawdzenia, musimy wstawić nasze rozwiązania do równania.

$x = 9$ ‍	$x = - 5$ ‍
$\begin{aligned} (9 - 2)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 7^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 49 & \overset{✓}{=} 49 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} (- 5 - 2)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ (- 7)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 49 & \overset{✓}{=} 49 \end{aligned}$ ‍

W obu przypadkach wstawienie rozwiązania do równania dawało w wyniku tożsamość, a więc rzeczywiście są to rozwiązania tego równania.

Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.

Zadanie 4

Rozwiąż równanie $(x + 3)^{2} = 25$ ‍.

Zadanie 5

Rozwiąż równanie $(2 x - 1)^{2} = 9$ ‍.

Zadanie 6

Rozwiąż równanie $(x - 5)^{2} = 7$ ‍.

Dlaczego nie powinniśmy opuszczać nawiasów?

Wróćmy do naszego przykładowego równania

(x - 2)^{2} = 49

. Przypuśćmy, że chcemy opuścić nawiasy. W końcu tak czynimy w równaniach liniowych, nieprawdaż?

Opuszczenie nawiasów daje nam w efekcie następujące równanie:

x^{2} - 4 x + 4 = 49

Gdybyśmy chcieli spierwiastkować obie strony równania, musielibyśmy wziąć pierwiastek z

x

. Otrzymalibyśmy wtedy

\sqrt{x}

, co nie jest zbytnio pomocne.

Z drugiej strony, pierwiastkowanie wyrażeń postaci

x^{2}

lub

(x - 2)^{2}

daje nam wyrażenia typu

x

lub

(x - 2)

Pozostawianie wyrażeń z

x

w nawiasie jest zatem całkiem przydatne, gdyż wtedy możemy wziąć pierwiastek i otrzymać "łatwy" wynik.

Rozwiązywanie równań w rodzaju $2 x^{2} + 3 = 131$ ‍

Nie wszystkie równania kwadratowe da się rozwiązać dokonując prostego pierwiastkowania. Czasem, zanim spierwiastkujemy, musimy wyizolować człon kwadratowy .

Na przykład, aby rozwiązać równanie

2 x^{2} + 3 = 131

, musimy najpierw wyłączyć

x^{2}

. Robimy to dokładnie tak samo, jak wyłączając wyraz

x

w równaniu liniowym.

\begin{aligned} 2 x^{2} + 3 & = 131 \\ 2 x^{2} & = 128 & odejmij 3 \\ x^{2} & = 64 & podziel przez 2 \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{64} & oblicz pierwiastek kwadratowy \\ x & = \pm 8 \end{aligned}

Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.

Zadanie 7

Rozwiąż równanie $3 x^{2} - 7 = 5$ ‍.

Zadanie 8

Rozwiąż równanie $4 (x - 1)^{2} + 2 = 38$ ‍.

Wyzwanie

Rozwiąż równanie $x^{2} + 8 x + 16 = 9$ ‍.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 14

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Rozwiązywanie równań w rodzaju x2=36‍

Co oznacza znak ±‍ ?

Uwaga na temat działań odwrotnych

Rozwiązywanie równań w rodzaju (x−2)2=49‍

Znajdowanie x‍

Interpretacja rozwiązań

Dlaczego nie powinniśmy opuszczać nawiasów?

Rozwiązywanie równań w rodzaju 2x2+3=131‍

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Rozwiązywanie równań w rodzaju $x^{2} = 36$ ‍

Co oznacza znak $\pm$ ‍ ?

Rozwiązywanie równań w rodzaju $(x - 2)^{2} = 49$ ‍

Znajdowanie $x$ ‍

Rozwiązywanie równań w rodzaju $2 x^{2} + 3 = 131$ ‍