Główna zawartość

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 13

Lekcja 4: Wprowadzenie do rozkładania na czynniki

Wprowadzenie do czynników (dzielników) i podzielności

Naucz się co to znaczy, że wielomiany są czynnikami innych wielomianów lub że są przez nie podzielne.

Co warto już wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Jednomian to wyrażenie składające się z iloczynu stałej i nieujemnej potęgi

x

, np.

3 x^{2}

. Wielomian jest sumą jednomianów, np.

3 x^{2} + 6 x - 1

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji zbadany związek pomiędzy czynnikami i podzielnością wielomianów i nauczymy się sprawdzać, czy jeden wielomian jest dzielnikiem drugiego.

Czynniki (dzielniki) i podzielność liczb całkowitych

Ogólnie rzecz biorąc, dwie liczby całkowite, których iloczyn daje trzecią liczbę nazywamy czynnikami tej liczby

Na przykład, skoro $14 = 2 \cdot 7$ ‍, mówimy, że $2$ ‍ i $7$ ‍ są czynnikami liczby $14$ ‍.

Liczba całkowita jest podzielna przez inną liczbę całkowitą, jeśli wynikiem dzielenia jest także liczba całkowita.

Na przykład, skoro $\frac{15}{3} = 5$ ‍ i $\frac{15}{5} = 3$ ‍, mówimy, że $15$ ‍ dzieli się przez $3$ ‍ i przez $5$ ‍. Z drugiej strony, skoro $\frac{9}{4} = 2, 25$ ‍, mówimy, że $9$ ‍ nie dzieli się przez $4$ ‍.

Zauważ bliski związek pomiędzy rozkładem liczby na czynniki a jej podzielnością:

Z tego, że

14 = 2 \cdot 7

(co oznacza, że

2

jest czynnikiem liczby

14

), wyciągamy wniosek, że

\frac{14}{2} = 7

(co znaczy, że

14

dzieli się przez

2

W drugą stronę, z tego, że

\frac{15}{3} = 5

(co oznacza, że

15

dzieli się przez

3

), wnioskujemy, że

15 = 3 \cdot 5

(co znaczy, że

3

jest czynnikiem

15

Tak jest zawsze: jeśli

a

jest czynnikiem

b

, to

b

dzieli się przez

a

, i na odwrót.

Czynniki (dzielniki) i podzielność wielomianów

W podobny sposób możemy powiązać czynniki i podzielność wielomianów.

Kiedy pomnożymy dwa lub więcej wielomianów przez siebie, każdy z tych wielomianów będzie czynnikiem wyniku mnożenia.

Na przykład, mamy $2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x$ ‍. To oznacza, że $2 x$ ‍ oraz $x + 3$ ‍ są czynnikami $2 x^{2} + 6 x$ ‍.

Mówimy, że jeden wielomian dzieli się przez inny wielomian, jeśli iloraz jest także wielomianem.

Na przykład, skoro $\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x$ ‍ i skoro $\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x$ ‍, to znaczy, że $6 x^{2}$ ‍ dzieli się przez $3 x$ ‍ i przez $2 x$ ‍. Z drugiej strony, skoro $\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}$ ‍, a więc wynik nie jest wielomianem, to znaczy, że $4 x$ ‍ nie dzieli się przez $2 x^{2}$ ‍.

Ten sam związek pomiędzy rozkładem na czynniki i podzielnością, który zaobserwowaliśmy w przypadku liczb całkowitych, można zauważyć także w przypadku wielomianów.

Ogólnie mówiąc, z tego, że

p = q \cdot r

dla pewnych wielomianów

p

q

, oraz

r

, wynika:

$q$ ‍ i $r$ ‍ są czynnikami $p$ ‍.
$p$ ‍ dzieli się przez $q$ ‍ oraz $r$ ‍.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Uzupełnij poniższe zdanie opisujące związek wyrażony równaniem $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍.

x + 2

3 x^{2} + 6 x

, natomiast

3 x^{2} + 6 x

x + 2

2) Nauczycielka napisała na tablicy następujące równanie:

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

Maciek wywnioskował, że

3 x^{2}

jest czynnikiem

12 x^{3}

Justyna uważa, że

12 x^{3}

dzieli się przez

4 x

Kto ma rację?

Wyznaczanie dzielników (czynników) i rozstrzyganie o podzielności

Przykład 1: Czy $24 x^{4}$ ‍ dzieli się przez $8 x^{3}$ ‍?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy obliczyć i uprościć

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

. Jeśli wynik jest wielomianem, to

24 x^{4}

jest podzielne przez

8 x^{3}

. Jeśli wynik nie jest wielomianem, to

24 x^{4}

jest podzielne przez

8 x^{3}

$\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \cdot \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \cdot x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}$ ‍

Wynik dzielenia jest wielomianem, a zatem

24 x^{4}

dzieli się przez

8 x^{3}

. (Z tego wynika także, że

8 x^{3}

jest czynnikiem

24 x^{4}

Przykład 2: Czy $4 x^{6}$ ‍ jest czynnikiem $32 x^{3}$ ‍?

Jeśli

4 x^{6}

jest czynnikiem

32 x^{3}

, to jednocześnie

32 x^{3}

dzieli się przez

4 x^{6}

. A zatem, obliczmy i uprośćmy

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

$\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \cdot \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \cdot x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \cdot \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}$ ‍

Zauważ, że

\frac{8}{x^{3}}

nie jest wielomianem, ponieważ jest to iloraz, a nie iloczyn. A zatem wnioskujemy, że

4 x^{6}

nie jest czynnikiem

32 x^{3}

Podsumowanie

Ogólnie rzecz biorąc, aby ustalić, czy dany wielomian

p

jest podzielny przez inny wielomian

q

, lub równoważnie, czy

q

jest czynnikiem

p

, powinniśmy wyznaczyć i przeanalizować

\frac{p (x)}{q (x)}

Jeśli po uproszczeniu wynik jest wielomianem, to

p

dzieli się przez

q

, a także

q

jest czynnikiem

p

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Czy $30 x^{4}$ ‍ dzieli się przez $2 x^{2}$ ‍?

4) Czy $12 x^{2}$ ‍ jest czynnikiem $6 x$ ‍?

Ćwiczenia sprawdzające

5*) Który z poniższych jednomianów jest dzielnikiem $15 x^{2} y^{6}$ ‍ ?

	Dzielnik/Czynnik	Nie jest dzielnikiem
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

Aby ustalić, czy jednomian

A

jest dzielnikiem

15 x^{2} y^{6}

, powinniśmy podzielić

15 x^{2} y^{6}

przez

A

i przeanalizować wynik:

Zbadajmy zatem zadane jednomiany!

\begin{aligned} \frac{15 x^{2} y^{6}}{5 x} & = 3 x y^{6} \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{3 x^{2} y^{5}} & = 5 y \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{10 x^{4} y^{3}} & = \frac{3 y^{3}}{2 x^{2}} \end{aligned}

Ponieważ zarówno

3 x y^{6}

jak i

5 y

są jednomianami, wnioskujemy, że

5 x

są

3 x^{2} y^{5}

dzielnikami

15 x^{2} y^{6}

Natomiast

\frac{3 y^{3}}{2 x^{2}}

ma w mianowniku

x^{2}

, a zatem nie jest to jednomian. A zatem, wnioskujemy że

10 x^{4} y^{3}

nie jest dzielnikiem/czynnikiem

15 x^{2} y^{6}

6*) Pole powierzchni prostokąta o szerokości równej

x + 1

jednostek i długości wynoszącej

x + 4

jednostek równa się

x^{2} + 5 x + 4

jednostek kwadratowych.

Które z następujących wyrażeń są czynnikami wielomianu $x^{2} + 5 x + 4$ ‍?

Dlaczego w ogóle interesujemy się rozkładem wielomianów na czynniki?

Dokładnie tak samo, jak w przypadku rozkładu na czynniki liczb całkowitych, rozkład wielomianów na czynniki ma wiele praktycznych zastosowań!

Na przykład, rozkład wielomianów na czynniki pomaga rozwiązywać równania kwadratowe i upraszczać wyrażenia wymierne.

Jeśli chcesz zobaczyć, jak to działa - zajrzyj tutaj:

Co dalej?

W następnym kroku dowiesz się, jak rozkładać na czynniki jednomiany: kolejny artykuł.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 13

Co warto już wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Czynniki (dzielniki) i podzielność liczb całkowitych

Czynniki (dzielniki) i podzielność wielomianów

Sprawdź, czy rozumiesz

Wyznaczanie dzielników (czynników) i rozstrzyganie o podzielności

Przykład 1: Czy 24x4‍ dzieli się przez 8x3‍ ?

Przykład 2: Czy 4x6‍ jest czynnikiem 32x3‍ ?

Podsumowanie

Sprawdź, czy rozumiesz

Ćwiczenia sprawdzające

Dlaczego w ogóle interesujemy się rozkładem wielomianów na czynniki?

Co dalej?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: Czy $24 x^{4}$ ‍ dzieli się przez $8 x^{3}$ ‍?

Przykład 2: Czy $4 x^{6}$ ‍ jest czynnikiem $32 x^{3}$ ‍?