Ciągi geometryczne - przegląd

W ciągach geometrycznych stosunek dwóch kolejnych wyrazów jest zawsze taki sam. Stosunek ten nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Na przykład, w przypadku tego ciągu iloraz wynosi $2$‍:

Wzory na ciąg geometryczny opisują $a(n)$‍, czyli $n^{\text{ty}}$‍ wyraz ciągu.

To jest jawny wzór na wyrazy ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz wynosi $k$‍, a iloraz równa się $r$‍:

A to jest wzór rekurencyjny dla tego samego ciągu:

Załóżmy, że chcemy uzupełnić ciąg $54,18,6,\text{…}$‍. Każdy kolejny wyraz wynosi $\times {\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ poprzedniego wyrazu:

Znając iloraz tego ciągu, łatwo obliczymy,  że następny wyraz wynosi $2$‍:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Wyobraźmy sobie teraz, że chcemy zapisać ciąg $54,18,6,\text{…}$‍ w postaci rekurencyjnej. Wiemy już, że iloraz ciągu wynosi ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍. Wiemy także, że pierwszy wyraz równa się $54$‍. A zatem wzór rekurencyjny dla tego ciągu wygląda następująco:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Załóżmy, że chcemy napisać wzór jawny ciągu $54,18,6,\text{…}$‍ Znamy już iloraz ciągu, czyli ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍, i pierwszy wyraz, czyli $54$‍. Wzorem jawnym ciągu jest więc:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.