Główna zawartość

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 9

Lekcja 1: Wprowadzenie do ciągów arytmetycznych

Wprowadzenie do wzoru na ciąg arytmetyczny

Zdobądź trochę doświadczenia z podstawami jawnych i rekurencyjnych definicji ciągów arytmetycznych.

Zanim przystąpisz do tej lekcji, upewnij się, że znasz podstawy ciągów arytmetycznych oraz że masz trochę doświadczenia ze znajdowaniem wartości funkcji i rozumiesz zagadnienie dziedziny funkcji.

Co to jest wzór?

Do tej pory opisywaliśmy ciągi arytmetyczne w poniższy sposób:

3, 5, 7, …

Istnieją również inne sposoby opisu. W tej lekcji nauczymy się dwóch nowych metod przedstawiania ciągów arytmetycznych: poprzez wzory rekurencyjne oraz wzory jawne. Wzory dają nam przepis na znalezienie dowolnego wyrazu ciągu.

Aby zachować ogólność, we wzorach używamy

n

na oznaczenie dowolnego numeru wyrazu i

a (n)

na oznaczenie

n

-tego wyrazu ciągu. Na przykład, poniżej wypisujemy kilka pierwszych wyrazów ciągu 3,5,7,...

$n$ ‍	$a (n)$ ‍
(numer wyrazu)	( $n$ ‍-ty wyraz)
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

Wspomnieliśmy powyżej, że wzory mówią nam, jak znaleźć dowolny wyraz ciągu. Innymi słowy, wzory mówią nam, jak znaleźć $a (n)$ ‍ dla dowolnego $n$ ‍.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Znajdź $a (4)$ ‍ dla ciągu 3,5,7,...

a (4) =

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3$ ‍		$5$ ‍		$7$ ‍		$9$ ‍
$a (1)$ ‍		$a (2)$ ‍		$a (3)$ ‍		$a (4)$ ‍

2) Dla dowolnej liczby $n$ ‍, co przedstawia $a (n - 1)$ ‍?

Spójrzmy na kilka określonych wartości

n

$n$ ‍	$a (n - 1)$ ‍	Interpretacja $a (n - 1)$ ‍
$2$ ‍	$a (2 - 1) = a (1)$ ‍	Pierwszy wyraz, czyli wyraz, który stoi przed $a (2)$ ‍
$3$ ‍	$a (3 - 1) = a (2)$ ‍	Drugi wyraz, czyli wyraz, który stoi przed $a (3)$ ‍
$4$ ‍	$a (4 - 1) = a (3)$ ‍	Trzeci wyraz, czyli wyraz, który stoi przed $a (4)$ ‍

W ogólności, widzimy, że $a (n - 1)$ ‍ jest wyrazem, który stoi przed $a (n)$ ‍.

Wzór rekurencyjny ciągu arytmetycznego

Wzory rekurencyjne informują nas o dwóch rzeczach:

Pierwszym wyrazie ciągu
Regule, pozwalającej znaleźć dowolny wyraz ciągu na podstawie znajomości wyrazu poprzedzającego

Podajemy poniżej wzór rekurencyjny dla ciągu 3, 5, 7,... wraz ze znaczeniem każdej z jego części.

{\begin{cases} a (1) = 3 & \leftarrow Pierwszy wyraz wynosi trzy. \\ a (n) = a (n - 1) + 2 & \leftarrow Dodaj dwa do poprzedniego wyrazu. \end{cases}

Na przykład, aby znaleźć piąty wyraz, musimy wypisać po kolei wyrazy ciągu:

$a (n)$ ‍	$= a (n - 1) + 2$ ‍
$a (1)$ ‍			$= 3$ ‍
$a (2)$ ‍	$= a (1) + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a (3)$ ‍	$= a (2) + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a (4)$ ‍	$= a (3) + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a (5)$ ‍	$= a (4) + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

Świetnie! Ten wzór daje nam ten sam ciąg, co ciąg opisany przez 3,5,7,...

Sprawdź, czy rozumiesz

Teraz przećwicz znajdowanie wyrazów ciągu na podstawie jego wzoru rekurencyjnego.

Tak, jak używaliśmy

a (n)

na przedstawienie

n

-tego wyrazu ciągu 3,5,7,... możemy użyć innych liter do przedstawienia innych ciągów. Na przykład, możemy użyć

b (n)

c (n)

lub

d (n)

3) Znajdź $b (4)$ ‍ dla ciągu danego przez

{\begin{cases} b (1) = - 5 \\ b (n) = b (n - 1) + 9 \end{cases}

b (4) =

Znaczenie tego wzoru może być wypowiedziane w następujący sposób:

Pierwszy wyraz wynosi minus pięć, a każdy kolejny wyraz równa się wyrazowi go poprzedzającemu plus dziewięć.

Aby znaleźć

b (4)

musimy znaleźć po kolei wszystkie wyrazy poprzedzające:

$b (n)$ ‍	$= b (n - 1) + 9$ ‍
$b (1)$ ‍			$= - 5$ ‍
$b (2)$ ‍	$= b (1) + 9$ ‍	$= - 5 + 9$ ‍	$= 4$ ‍
$b (3)$ ‍	$= b (2) + 9$ ‍	$= 4 + 9$ ‍	$= 13$ ‍
$b (4)$ ‍	$= b (3) + 9$ ‍	$= 13 + 9$ ‍	$= 22$ ‍

Oznacza to, że $b (4) = 22$ ‍.

4) Znajdź $c (3)$ ‍ dla ciągu opisanego przez

{\begin{cases} c (1) = 20 \\ c (n) = c (n - 1) - 17 \end{cases}

c (3) =

Znaczenie tego wzoru może być wypowiedziane w następujący sposób:

Pierwszy wyraz to 20, a każdy kolejny wyraz, to wyraz go poprzedzający minus 17.

Aby znaleźć

c (3)

musimy znaleźć po kolei wszystkie wyrazy poprzedzające:

$c (n)$ ‍	$= c (n - 1) - 17$ ‍
$c (1)$ ‍			$= 20$ ‍
$c (2)$ ‍	$= c (1) - 17$ ‍	$= 20 - 17$ ‍	$= 3$ ‍
$c (3)$ ‍	$= c (2) - 17$ ‍	$= 3 - 17$ ‍	$= - 14$ ‍

Oznacza to, że $c (3) = - 14$ ‍.

5) Znajdź $d (5)$ ‍ dla ciągu opisanego przez

{\begin{cases} d (1) = 2 \\ d (n) = d (n - 1) + 0, 4 \end{cases}

d (5) =

Znaczenie tego wzoru może być wypowiedziane w następujący sposób:

Pierwszy wyraz równa się dwa, a każdy kolejny wyraz, to wyraz go poprzedzający plus 0,4.

Aby znaleźć

d (5)

musimy znaleźć po kolei wszystkie wyrazy poprzedzające:

$d (n)$ ‍	$= d (n - 1) + 0, 4$ ‍
$d (1)$ ‍			$= 2$ ‍
$d (2)$ ‍	$= d (1) + 0, 4$ ‍	$= 2 + 0, 4$ ‍	$= 2, 4$ ‍
$d (3)$ ‍	$= d (2) + 0, 4$ ‍	$= 2, 4 + 0, 4$ ‍	$= 2, 8$ ‍
$d (4)$ ‍	$= d (3) + 0, 4$ ‍	$= 2, 8 + 0, 4$ ‍	$= 3, 2$ ‍
$d (5)$ ‍	$= d (4) + 0, 4$ ‍	$= 3, 2 + 0, 4$ ‍	$= 3, 6$ ‍

Oznacza to, że $d (5) = 3, 6$ ‍.

Wzór jawny ciągu arytmetycznego

Poniżej znajduje się jawny wzór ciągu 3, 5, 7,...

a (n) = 3 + 2 (n - 1)

Wzór ten pozwala nam, po wstawieniu numeru wyrazu, którego szukamy, obliczyc wartość tego wyrazu.

Aby znaleźć, na przykład, piąty wyraz, musimy wstawić

n = 5

do wzoru jawnego.

\begin{aligned} a (5) & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

Co za niespodzianka, otrzymaliśmy ten sam wynik, co poprzednio!

Sprawdź, czy rozumiesz

6) Znajdź $b (10)$ ‍ dla ciągu danego przez $b (n) = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍.

b (10) =

7) Znajdź $c (8)$ ‍ dla ciągu danego przez $c (n) = 20 - 17 (n - 1)$ ‍.

c (8) =

8) Znajdź $d (21)$ ‍ dla ciągu danego przez $d (n) = 2 + 0, 4 (n - 1)$ ‍.

d (21) =

Ciągi są funkcjami

Zauważ, że wzory, których używaliśmy podczas tej lekcji, działają jak funkcje: w miejsce

n

wpisujemy numer wyrazu ciągu a wzór zwraca nam wartość tego wyrazu

a (n)

Ciągi są w rzeczywistości zdefiniowane jako funkcje. Jednakże,

n

nie może być dowolną liczbą rzeczywistą. Nie ma czegoś takiego, jak minus piąty wyraz lub 0,4-ty wyraz ciągu.

Oznacza to, że dziedziną ciągów (czyli zbiorem wszystkich możliwych argumentów ciągów, rozumianych jako funkcje) są dodatnie liczby całkowite.

Uwaga na temat notacji

Zapisywaliśmy, na przykład,

a (4)

do przedstawienia czwartego wyrazu ciągu, ale w innych źródłach możesz znaleźć zapis

a_{4}

Obie notacje są prawidłowe. Wolimy

a (4)

, ponieważ notacja ta podkreśla, że ciągi są po prostu funkcjami.

Pytanie do zastanowienia

9) Który rodzaj wzoru pozwoli nam szybciej określić, jaki jest setny wyraz ciągu arytmetycznego?

Aby znaleźć setny wyraz przy użyciu wzoru rekurencyjnego, musielibyśmy wypisać po kolei wszystkie wyrazy, aż do setnego. Zajęłoby to bardzo dużo czasu!

Jednakże, aby znaleźć setny wyraz ciągu stosując wzór jawny, musimy jedynie wstawić

n = 100

do wzoru i obliczyć jego wartość. Nie zabiera to więcej czasu od znalezienia drugiego, czy nawet tysięcznego wyrazu.

Podsumowując, wzór jawny jest bardziej przydatny w znajdowaniu setnego wyrazu ciągu arytmetycznego.

Wyzwanie

10) Wzorem jawnym ciągu arytmetycznego jest

f (n) = 3 - 4 (n - 1)

Który wyraz tego ciągu wynosi -65?

Wyraz o numerze

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.