Główna zawartość
Kurs: Algebra 2 > Rozdział 2
Lekcja 3: Płaszczyzna zespolonaPłaszczyzna zespolona
Naucz się czym jest płaszczyzna zespolona i jak jej użyć do przedstawiania liczb zespolonych.
Jednostka urojona, oznaczana literą , jest liczbą o następujących właściwościach:
Liczbą zespoloną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać jako sumę , gdzie jest jednostką urojoną a i są liczbami rzeczywistymi.
Płaszczyzna zespolona
Tak jak możemy użyć osi liczbowej aby wizualizować zbiór liczb rzeczywistych, możemy użyć płaszczyzny zespolonej aby wizualizować liczby zespolone.
Płaszczyzna zespolona składa się z dwóch osi liczbowych, które przecinają się pod kątem prostym w punkcie .
Linią poziomą (którą w kartezjańskim układzie współrzędnych nazywamy osią ) jest oś rzeczywista.
Linią pionową (którą w kartezjańskim układzie współrzędnych nazywamy osią ) jest oś urojona.
Rysowanie liczby zespolonej
Każda liczba zespolona może zostać przedstawiona jako punkt na płaszczyźnie zespolonej.
Rozważmy dla przykładu liczbę . Liczba ta, którą można przedstawić również jako , ma część rzeczywistą równą i część urojoną równą .
Umiejscowieniem tej liczby na płaszczyźnie zespolonej jest punkt, który odpowiada wartości na osi rzeczywistej i wartości na osi urojonej.
Liczbie odpowiada więc punkt . W ogólności, liczba odpowiada punktowi na płaszczyźnie zespolonej.
Sprawdź, czy rozumiesz
Powiązanie z rzeczywistą osią liczbową
W czasach Pitagorasa istnienie liczb niewymiernych było wielkim odkryciem! Zastanawiano się, jak coś takiego, jak może istnieć nie mając skończonego rozwinięcia dziesiętnego.
Oś liczb rzeczywistych pozwala rozwiązać ten dylemat. Dlaczego? Ponieważ ma określone położenie na tej osi dowodząc, że istotnie jest to liczba rzeczywista. (Jeżeli rozważysz przekątną kwadratu jednostkowego i umieścisz jeden z końców w , to drugi koniec odpowiadał będzie liczbie .)
Podobnie, każda liczba zespolona rzeczywiście istnieje, ponieważ odpowiada ona jednoznacznie pewnemu punktowi na płaszczyźnie zespolonej! Być może, po tym, jak już możemy wizualizować te liczby, możemy zrozumieć, że nazywanie ich "urojonymi" było niefortunnym błędem.
Liczby zespolone istnieją i stanowią istotną część matematyki. Oś liczb rzeczywistych jest po prostu osią rzeczywistą na płaszczyźnie zespolonej, ale przecież tak wiele znajduje się poza tą jedną linią!
Chcesz dołączyć do dyskusji?
- Czy liczby zespolone są największym ze zbiorów liczbowych?(2 głosy)
- Istnieją większe zbiory. N.p. kwaterniony, które są tym samym dla przestrzeni trójwymiarowej. a+bi+cj
Oczywiście można kontynować to i dla wyższych wymiarów.(1 głos)