Główna zawartość

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 8

Lekcja 4: Wzór na zmianę podstawy logarytmu

Wprowadzenie do wzoru na zamianę podstawy logarytmu

Jak przekształcić dany logarytm w logarytm o innej podstawie? Bardzo pożyteczne przy obliczaniu logarytmów na kalkulatorze!

Załóżmy, że chcemy znaleźć wartość wyrażenia

\log_{2} (50)

. Ponieważ

50

nie jest wymierną potęgą liczby

2

, trudno będzie obliczyć wartość wyrażenia bez kalkulatora.

Jednak większość kalkulatorów bezpośrednio oblicza jedynie logarytmy dziesiętne (o podstawie

10

) i naturalne (o podstawie

e

). Dlatego, żeby znaleźć wartość wyrażenia

\log_{2} (50)

, musimy najpierw zamienić podstawę logarytmu.

Wzór na zmianę podstawy logarytmu

Stosując następującą metodę możemy zamienić podstawę dowolnego logarytmu:

Uwagi:

Nowa podstawa, $x$ ‍, może mieć dowolną wartość.
Jak zawsze, aby ten wzór był prawdziwy, argumenty logarytmów muszą być dodatnie a ich podstawy dodatnie i różne od $1$ ‍!

Przykład: $\log_{2} (50)$ ‍

Jeśli chcesz obliczyć wartość logarytmu, zamień jego podstawę na podstawę

10

lub podstawę

e

, z którymi poradzi sobie większość kalkulatorów.

Zamieńmy więc podstawę

\log_{2} (50)

10

Aby to zrobić, stosujemy powyższy wzór na zamianę podstawy, gdzie

b = 2

a = 50

x = 10

$\begin{aligned} \log_{2} (50) & = \frac{\log_{10} (50)}{\log_{10} (2)} & Wzór na zamianę podstawy \\ = \frac{\log (50)}{\log (2)} & Ponieważ \log_{10} (x) = \log (x) \end{aligned}$ ‍

Możemy teraz obliczyć wartość logarytmu za pomocą kalkulatora.

$\begin{array}{r} \approx 5,644 \end{array}$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Oblicz $\log_{3} (20)$ ‍.
Odpowiedź zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.

2) Oblicz $\log_{7} (400)$ ‍.
Odpowiedź zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.

3) Oblicz $\log_{4} (0, 3)$ ‍.
Odpowiedź zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.

Dowód wzoru na zmianę podstawy logarytmu

W tym momencie możesz myśleć: "Świetnie, ale dlaczego ten wzór działa?"

$\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)} \leftarrow Wzór na zamianę podstawy$ ‍

Żeby to zbadać, wróćmy do naszego pierwszego wyrażenia,

\log_{2} (50)

. Jeśli przyjmiemy, że

\log_{2} (50) = n

, to

2^{n} = 50

Ponieważ obie wartości są sobie równe, możemy obliczyć logarytm o dowolnej podstawie obu stron tego równania. Mamy więc:

$\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log_{x} (2^{n}) & = \log_{x} (50) & Jeśli Y = Z, to \log_{x} (Y) = \log_{x} (Z) \\ n \log_{x} (2) & = \log_{x} (50) & Wzór logarytm potęgi \\ n & = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)} & Dzielimy obie strony przez \log_{x} (2) \end{aligned}$ ‍

Skoro

n = \log_{2} (50)

, po podstawieniu otrzymujemy tożsamość

\log_{2} (50) = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)}

, którą chcieliśmy wyprowadzić!

W ten sam sposób możemy udowodnić wzór na zamianę podstawy logarytmu. Wystarczy zamienić

2

b

50

a

aby uzyskać dowód!

Sprawdź się!

1) Oblicz $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ ‍ bez użycia kalkulatora.

2) Które wyrażenie jest równoważne z $\log (6) \cdot \log_{6} (a)$ ‍.?

Zauważ, że liczba logarytmowana pierwszego logarytmu jest taka sama, jak podstawa drugiego logarytmu. Jeśli zastosujemy zamianę podstawy logarytmu, będziemy mogli pozbyć się wspólnych czynników.

Ponieważ podstawa pierwszego logarytmu wynosi

10

, zamieńmy również podstawę drugiego logarytmu na

10

$\begin{aligned} \log (6) \cdot \log_{6} (a) & = \log (6) \cdot \frac{\log (a)}{\log (6)} \\ = \log (6) \cdot \frac{\log (a)}{\log (6)} \\ = \log (a) \end{aligned}$ ‍

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra 2