Główna zawartość

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 8

Lekcja 1: Wprowadzenie do logarytmów

Wstęp do logarytmów

Dowiedz się, co to są funkcje logarytmiczne i jak się je oblicza.

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Funkcja wykładnicza nie powinna mieć dla Ciebie tajemnic, także w zakresie ujemnych wykładników.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Dowiesz się, co to są logarytmy i obliczysz kilka prostych przykładów. W ten sposób przygotujesz się do wyrażeń logarytmicznych i do funkcji , zawierających logarytmy.

Co to jest logarytm?

Logarytmy to inny sposób myślenia o wykładnikach.

Na przykład wiemy, że

2

podniesione do potęgi

4^{}

równa się

16

. Można to przedstawić za pomocą równania wykładniczego

2^{4} = 16

Teraz przypuśćmy, że ktoś spytałby się nas, "

2

podniesione do której potęgi da nam

16

?" Odpowiedź brzmiałaby

4

. Można to wyrazić za pomocą równania logarytmicznego

\log_{2} (16) = 4

, które czytamy jako "logarytm o podstawie dwa z szesnastu równa się cztery".

$2^{4} = 16 ⟺ \log_{2} (16) = 4$ ‍

Oba równania wyrażają tę samą zależność pomiędzy liczbami

2

4

, oraz

16

, gdzie

2

to podstawa, a

4

to wykładnik.

Różnica między potęgą a logarytmem polega na tym, że wynikiem działania potęgi jest wynik potęgowania podstawy, czyli w tym przypadku

16

, a wynikiem działania logarytmu jest wykładnik potęgi,

4

Oto więcej przykładów równoważnych równań logarytmicznych i wykładniczych.

Postać logarytmiczna		Postać wykładnicza
$\log_{2} (8) = 3$ ‍	$⟺$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$\log_{3} (81) = 4$ ‍	$⟺$ ‍	$3^{4} = 81$ ‍
$\log_{5} (25) = 2$ ‍	$⟺$ ‍	$5^{2} = 25$ ‍

Definicja logarytmu

Uogólnienie przykładów podanych powyżej prowadzi nas do sformułowania formalnej definicji logarytmu.

$\log_{b} (a) = c ⟺ b^{c} = a$ ‍

Oba równania przedstawiają tę samą zależność pomiędzy liczbami

a

b

c

$b$ ‍ jest $podstawą$ ‍,
$c$ ‍ jest $wykładnikiem$ ‍, a
$a$ ‍ nazywamy $argumentem$ ‍ logarytmu.

Pomocna uwaga

Zamieniając równanie z postaci logarytmicznej w postać wykładniczą lub z postaci wykładniczej w postać logarytmiczną, należy pamiętać, że podstawa logarytmu jest taka sama jak podstawa wykładnika.

Sprawdź, czy rozumiesz

Następujące zadania polegają na przejściu między postacią wykładniczą a postacią logarytmiczną równań.

1) Które z poniższych równań jest równoważne z $2^{5} = 32$ ‍?

Które z poniższych jest równe $5^{3} = 125$ ‍?

3) Zapisz $\log_{2} (64) = 6$ ‍ w postaci wykładniczej.

4) Zapisz $\log_{4} (16) = 2$ ‍ w postaci wykładniczej.

Obliczanie logarytmów

Świetnie! Teraz jak już wiemy jaki związek logarytmów z potęgami, spróbujmy obliczyć wartości logarytmów.

Wyznaczmy na przykład wartość

\log_{4} (64)

Zacznijmy od przyrównania tego wyrażenia do

x

$\log_{4} (64) = x$ ‍

Zapisując to w postaci wykładniczej otrzymujemy:

$4^{x} = 64$ ‍

Do jakiej potęgi należy podnieść

4

, żeby otrzymać

64

? Ponieważ

4^{3} = 64

, więc

\log_{4} (64) = 3

Jak to przećwiczysz, to może się okazać, że przeskakujesz parę kroków i obliczasz wartość

\log_{4} (64)

pytając po prostu, " $4$ ‍ podniesione do której potęgi da nam $64$ ‍?"

Sprawdź, czy rozumiesz

Pamiętaj, że obliczając wartość

\log_{b} (a)

, możesz się zapytać: "

b

podniesione do której potęgi daje

a

5) $\log_{6} (36) =$ ‍
Prawidłowa odpowiedź to:
liczba całkowita, taka jak $6$ ‍
właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍
niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍
liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍
dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍
wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍

\log_{3} (27) =

\log_{4} (4) =

\log_{5} (1) =

Wyzwanie

9*)

\log_{3} (\frac{1}{9}) =

Ograniczenia na podstawę i argument logarytmu

\log_{b} (a)

jest zdefiniowany, tylko wtedy gdy podstawa

b

jest dodatnia—i nie równa

1

—a argument

a

jest dodatni. Te ograniczenia wynikają ze związku między logarytmami a potęgami.

Ograniczenie	Uzasadnienie
$b > 0$ ‍	W definicji funkcji wykładniczej podstawa $b$ ‍ jest zawsze dodatnia.
$a > 0$ ‍	$\log_{b} (a) = c$ ‍ znaczy, że $b^{c} = a$ ‍. Ponieważ liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest dodatnia znaczy to, że $b^{c} > 0$ ‍, skąd wynika $a > 0$ ‍.
$b \neq 1$ ‍	Na chwilę przypuśćmy, że $b$ ‍ może wynosić $1$ ‍. Teraz rozważmy równanie $\log_{1} (3) = x$ ‍. Odpowiadająca mu postać wykładnicza będzie wyglądać tak $1^{x} = 3$ ‍. Ale to nigdy nie będzie prawdziwe, ponieważ $1$ ‍ podniesione do dowolnej potęgi daje zawsze $1$ ‍. Stąd wynika, że $b \neq 1$ ‍.

Szczególne rodzaje logarytmów

Podstawa logarytmu może mieć wiele różnych wartości, ale są dwie podstawy, które są używane częściej niż inne.

W szczególności większości kalkulatorów ma przyciski dla tych dwóch rodzajów logarytmów. Sprawdźmy to.

Logarytm dziesiętny

Logarytm dziesiętny to logarytm o podstawie równej

10

Zapisując ten logarytm matematycznie, nie musimy pisać podstawy. Wtedy rozumiemy, że podstawa wynosi

10

$\log_{10} (x) = \log (x)$ ‍

Logarytm naturalny

Logarytm naturalny to logarytm o podstawie równej liczbie

e

Zamiast zapisywać podstawę logarytmu jako

e

, oznaczamy ten logarytm jako

\ln

$\log_{e} (x) = \ln (x)$ ‍

Poniższa tabela zawiera zestawienie podstawowych informacji o tych dwóch specjalnych typach logarytmów:

Nazwa	Podstawa	Notacja	Notacja uproszczona
Logarytm dziesiętny	$10$ ‍	$\log_{10} (x)$ ‍	$\log (x)$ ‍
Logarytm naturalny	$e$ ‍	$\log_{e} (x)$ ‍	$\ln (x)$ ‍

Chociaż mamy inną notację, zasada obliczania tych logarytmów jest dokładnie taka sama!

Jasne! Tutaj są dwa przykłady wraz z rozwiązaniami.

Przykład 1

Oblicz

\log (100)

Rozwiązanie 1

Z definicji,

\log (100) = \log_{10} (100)

Do jakiej potęgi należy podnieść

10

, żeby otrzymać

100

10^{2} = 100

, więc

\log (100) = 2

Przykład 2

Oblicz

\ln (e^{3})

Rozwiązanie 2

Z definicji,

\ln (e^{3}) = \log_{e} (e^{3})

Do jakiej potęgi należy podnieść

e

, żeby otrzymać

e^{3}

e^{3} = e^{3}

, więc

\ln (e^{3}) = 3

Dlaczego warto nauczyć się logarytmów?

Jak wiesz, logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej, której działanie odwraca. Z tego powodu logarytmy są podstawowym narzędziem do rozwiązywania równań z funkcjami wykładniczymi. Jak wkrótce zobaczysz, logarytm pozwala zamienić iloczyn na dodawanie a iloraz na odejmowanie, które znacznie łatwiej wykonać. Z tego powodu logarytmy odegrały historycznie, gdy nie było jeszcze kalkulatorów i GPS, bardzo ważną rolę np. w nawigacji morskiej.

Na przykład, rozwiązanie równania

2^{x} = 5

można przedstawić jako logarytm,

x = \log_{2} (5)

. W tym samouczku dowiesz się, jak obliczać takie logarytmiczne wyrażenia.

Logarytmy są także bardzo interesujące same w sobie i odgrywają ważną rolę w otaczającym nas świecie. Na przykład, wiele zjawisk fizycznych opisujemy w skali logarytmicznej.

Co dalej?

Dowiedz się jakie własności mają logarytmy i jak je wykorzystać do przekształcania wyrażeń logarytmicznych. Naucz się, jak zmieniać podstawę logarytmu, co pozwoli Ci obliczyć dowolny logarytm za pomocą Twojego kalkulatora.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.