Główna zawartość

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 8

Lekcja 3: Własności logarytmów

Dowodzenie własności logarytów

Przyglądamy się bliżej dowodom własności logarytmów: wzorom na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu oraz logarytm liczby podniesionej do potęgi.

W tej lekcji dowiedziemy trzy własności logarytmów: na sumę i różnicę logarytmów o tych samych podstawach i na mnożenie logarytmu przez liczbę. Zanim jednak zaczniemy, przypomnijmy sobie przydatną własność, która pomoże nam w dalszej pracy.

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

Innymi słowy, logarytm o podstawie

b

odwraca efekt podnoszenia liczby

b

do potęgi!

Pamiętaj o tym fakcie, czytając poniższe dowody.

Wzór na logarytm iloczynu: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Zacznijmy o dowiedzenia poprawności specjalnego przypadku tej własności - gdy

M = 4

N = 8

, and

b = 2

Podstawiając te wartości do

\log_{b} (M N)

, widzimy:

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{3}) & 2^{2} = 4 i 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Ponieważ 2 = \log_{2} (4) i 3 = \log_{2} (8) \end{aligned}$ ‍

Mamy więc, że

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Powyższe rozumowanie sprawdza tylko jeden przypadek, ale możemy je zastosować w dowodzie ogólnym.

Zauważmy, że zapisanie

4

8

jako potęg liczby

2

było kluczowym w powyższym rozumowaniu. W ogólności, chcielibyśmy, żeby

M

N

były potęgami liczby

b

. By sobie z tym poradzić, możemy zapisać, że

M = b^{x}

N = b^{y}

dla pewnych liczb

x

y

Z definicji, prawdziwym również jest, że

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

Mamy teraz:

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \cdot b^{y}) & Podstawienie \\ = \log_{b} (b^{x + y}) & Własności potęg \\ = x + y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & Podstawienie \end{aligned}$ ‍

Wzór na logarytm ilorazu: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Aby udowodnić tę własność logarytmu, trzeba skorzystać z metody podobnej do tej powyżej.

Znowu, jeśli podstawimy

M = b^{x}

N = b^{y}

, stąd wynika, że

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

Możemy teraz udowodnić tę regułę na iloraz logarytmów w taki sposób:

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) & Podstawienie \\ = \log_{b} (b^{x - y}) & Własności potęg \\ = x - y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & Podstawienie \end{aligned}$ ‍

Wzór na logarytm potęgi: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Tym razem we własności mamy tylko

M

, więc wystarczy przyjąć

M = b^{x}

, co daje nam

\log_{b} (M) = x

Dowód tego wzoru jest przedstawiony poniżej.

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) & Podstawienie \\ = \log_{b} (b^{x p}) & Własności potęg \\ = x p & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) \cdot p & Podstawienie \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Mnożenie jest przemienne \end{aligned}$ ‍

Drugi sposób polega na użyciu wzoru na logarytm iloczynu.

Na przykład wiemy, że

\log_{b} (M^{p}) = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M)

, gdzie

M

mnożymy przez siebie

p

-krotnie.

Aby udowodnić tę własność, możemy teraz skorzystać ze wzoru na logarytm iloczynu wraz z definicją mnożenia jako wielokrotnego dodawania. Pokazane jest to poniżej.

\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M) & Definicja potęgi \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (M) + … + \log_{b} (M) & Logarytm iloczynu to suma logartymów \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Wielokrotne dodawanie to mnożenie \end{aligned}

Udało się! Właśnie udowodniliśmy trzy własności logarytmów!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 8

Wzór na logarytm iloczynu: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Wzór na logarytm ilorazu: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Wzór na logarytm potęgi: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Wzór na logarytm iloczynu: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Wzór na logarytm ilorazu: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Wzór na logarytm potęgi: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍