Główna zawartość

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 3

Lekcja 3: Znajdowanie wspólnego czynnika

Rozkładanie wielomianów przez wyłączenie przed nawias wspólnego czynnika

Naucz się jak wyłączyć wspólny czynnik z wielomianu. Na przykład, rozłóż 6x²+10x do postaci 2x(3x+5).

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

NWD (największy wspólny dzielnik) dwóch lub większej liczby jednomianów to iloczyn wszystkich ich wspólnych czynników pierwszych. Na przykład NWD

6 x

4 x^{2}

2 x

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, to sprawdź nasz artykuł o największych wspólnych czynnikach jednomianów .

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji nauczysz się jak wyłączać wspólne czynniki z wielomianów.

Rozdzielność mnożenia względem dodawania: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

Żeby zrozumieć w jaki sposób rozkładamy wspólne czynniki, musimy zrozumieć rozdzielność.

Na przykład możemy użyć rozdzielności żeby znaleźć iloczyn

3 x^{2}

4 x + 3

, tak jak poniżej:

Zauważ, że każdy wyraz w dwumianie został pomnożony przez wspólny czynnik

3 x^{2}

Jednakże ponieważ rozdzielność daje nam w wyniku równość, to odwrotność tego działania również będzie prawdą!

Jeśli zaczniemy od

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

, to możemy użyć rodzielności żeby wyłączyć przed nawias

3 x^{2}

i otrzymamy

3 x^{2} (4 x + 3)

Wynikowe wyrażenie będzie w postaci rozłożonej na czynniki, ponieważ jest zapisane jako iloczyn dwóch wielomianów, podczas gdy oryginalne wyrażenie to dwuwyrazowa suma.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Zapisz $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍ w postaci iloczynowej.

Wyłączanie największego wspólnego dzielnika (NWD)

Żeby wyłączyć NWD z wielomianu, wykonujemy następujące kroki:

Znajdujemy NWD wszystkich wyrazów w wielomianie.
Zapisujemy każdy wyraz jako iloczyn NWD i innego czynnika.
Używamy rozdzielności żeby wyłączyć NWD.

Wyłączmy więc NWD z

2 x^{3} - 6 x^{2}

Krok 1: Znajdź największy wspólny czynnik

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Tak więc NWD z

2 x^{3} - 6 x^{2}

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

Krok 2: Zapisz każdy wyraz jako iloczyn $2 x^{2}$ ‍ i innego czynnika.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

Tak więc wielomian może zostać zapisany jako

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

Krok 3: Wyłącz NWD z wyrażenia

Teraz możemy zastosować zasadę rozdzielności działań, aby wyłączyć

2 x^{2}

Sprawdzamy nasz wynik

Możemy sprawdzić nasz rozkład ponownie mnożąc

2 x^{2}

przez wielomian.

Ponieważ otrzymaliśmy ten sam wielomian jak na początku, nasz rozkład jest prawidłowy!

Sprawdź, czy rozumiesz

2) Wyłącz największy wspólny dzielnik z wyrażenia $12 x^{2} + 18 x$ ‍.

Krok 1: Znajdź największy wspólny czynnik

$12 x^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍
$18 x = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x$ ‍

Więc NWD dla

12 x^{2} + 18 x

wynosi

2 \cdot 3 \cdot x

lub

6 x

Krok 2: Zapisz każdy wyraz jako iloczyn $6 x$ ‍ i innego czynnika.

$12 x^{2} = (6 x) (2 x)$ ‍
$18 x = (6 x) (3)$ ‍

Ten wielomian można zapisać jako

12 x^{2} + 18 x = (6 x) (2 x) + (6 x) (3)

Krok 3: Wyłącz NWD z wyrażenia

Teraz możemy zastosować zasadę rozdzielności działań, aby wyłączyć

6 x

W związku z tym wyłączenie NWD z wyrażenia $12 x^{2} + 18 x$ ‍ wygląda następująco $6 x (2 x + 3)$ ‍.

3) Wyłącz największy wspólny dzielnik z poniższego wielomianu.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

Krok 1: Znajdź największy wspólny czynnik

$10 x^{2} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x$ ‍
$25 x = 5 \cdot 5 \cdot x$ ‍
$15 = 3 \cdot 5$ ‍

Tak więc NWD z

10 x^{2} + 25 x + 15

5

Krok 2: Zapisz każdy wyraz jako iloczyn $5$ ‍ i innego czynnika.

$10 x^{2} = (5) (2 x^{2})$ ‍
$25 x = (5) (5 x)$ ‍
$15 = (5) (3)$ ‍

Ten wielomian można zapisać jako

10 x^{2} + 25 x + 15 = (5) (2 x^{2}) + (5) (5 x) + (5) (3)

Krok 3: Wyłącz NWD z wyrażenia

Teraz możemy zastosować zasadę rozdzielności działań, aby wyłączyć

5

W związku z tym wyłączenie NWD z wyrażenia $10 x^{2} + 25 x + 15$ ‍ wygląda następująco $5 (2 x^{2} + 5 x + 3)$ ‍.

4) Wyłącz największy wspólny dzielnik z poniższego wielomianu.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

Krok 1: Znajdź największy wspólny czynnik

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$8 x^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$x^{2} = x \cdot x$ ‍

Więc NWD dla

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2}

wynosi

x \cdot x

lub

x^{2}

Krok 2: Zapisz każdy wyraz jako iloczyn $x^{2}$ ‍ i innego czynnika.

$x^{4} = (x^{2}) (x^{2})$ ‍
$8 x^{3} = (x^{2}) (8 x)$ ‍
$x^{2} = (x^{2}) (1)$ ‍

Ten wielomian można zapisać jako

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} = (x^{2}) (x^{2}) - (x^{2}) (8 x) + (x^{2}) (1)

Krok 3: Wyłącz NWD z wyrażenia

Teraz możemy zastosować zasadę rozdzielności działań, aby wyłączyć

x^{2}

W związku z tym wyłączenie NWD z wyrażenia $x^{4} - 8 x^{3} + x^{2}$ ‍ wygląda następująco $x^{2} (x^{2} - 8 x + 1)$ ‍.

Czy można to zrobić szybciej?

Jeśli wcześniejszy sposób wyłączania NWD nie sprawia Ci problemu, możesz skorzystać z szybszej metody:

Gdy znamy już NWD, możemy skorzystać z tego, że postać iloczynowa jest iloczynem NWD i sumy wyrazów pierwotnego wielomianu podzielonych przez NWD.

Zobacz jak wygląda ta metoda na przykładzie wyrażenia

5 x^{2} + 10 x

, którego NWD to

5 x

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

Wyłączanie czynników dwumianowych

Największy wspólny dzielnik wielomianu nie musi być jednomianem.

Weźmy na przykład wielomian

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

Zauważ, że dwumian

2 x - 1

jest wspólny dla obu wyrazów. Możemy wyłączyć go korzystając z rozdzielności działań:

Sprawdź, czy rozumiesz

5) Wyłącz największy wspólny dzielnik z poniższego wielomianu.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

Różne sposoby rozkładania na czynniki

Może wydawać się, że opisywaliśmy tu kilka różnych procesów:

Rozkładaliśmy jednomiany zapisując je jako iloczyn innych jednomianów. Na przykład: $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍.
Wyłączaliśmy NWD z wielomianów używając rozdzielności działań. Na przykład: $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
Wyłączaliśmy wspólne czynniki w formie dwumianów dzięki czemu otrzymywaliśmy wyrażenie równe iloczynowi dwóch dwumianów. Na przykład: $x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)$ ‍.

Chociaż używaliśmy różnych technik, zawsze zapisywaliśmy wielomian jako iloczyn dwóch lub więcej czynników. Dlatego we wszystkich trzech przykładach tak naprawdę rozkładaliśmy wielomian.

Ćwiczenia sprawdzające

6) Wyłącz największy wspólny dzielnik z poniższego wielomianu.

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

Krok 1: Znajdź największy wspólny czynnik

$12 x^{2} y^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍

Tak więc NWD z

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2}

6 x^{2} y^{2}

Krok 2: Zapisz każdy wyraz jako iloczyn $6 x^{2} y^{2}$ ‍ i innego czynnika.

$12 x^{2} y^{5} = (6 x^{2} y^{2}) (2 y^{3})$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = (6 x^{2} y^{2}) (5 x^{2})$ ‍

Ten wielomian można zapisać jako

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} = (6 x^{2} y^{2}) (2 y^{3}) - (6 x^{2} y^{2}) (5 x^{2})

Krok 3: Wyłącz NWD z wyrażenia

Teraz możemy zastosować zasadę rozdzielności działań, aby wyłączyć

6 x^{2} y^{2}

Zapisujemy rozkładany wielomian jako

6 x^{2} y^{2} (2 y^{3} - 5 x^{2})

7) Duży prostokąt o powierzchni

14 x^{4} + 6 x^{2}

metrów kwadratowych jest podzielony na dwa mniejsze prostokąty o powierzchniach

14 x^{4}

6 x^{2}

metrów kwadratowych.

Szerokość prostokąta (w metrach) jest równa największemu wspólnemu dzielnikowi wyrażeń

14 x^{4}

6 x^{2}

Jaka jest długość i szerokość dużego prostokąta?

Szerokość =

metrów

Długość =

metrów

Wiemy, że szerokość prostokąta jest równa największemu wspólnemu dzielnikowi wyrażeń

14 x^{4}

6 x^{2}

. Znajdźmy więc NWD!

$14 x^{4} = 2 \cdot 7 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Ponieważ NWD wynosi

2 x^{2}

, szerokość prostokąta jest równa

2 x^{2}

Możemy obliczyć długość dużego prostokąta znajdując długości dwóch mniejszych prostokątów. Możemy użyć do tego wzoru na pole

P = (d) (s)

(Pole = Długość \times Szerokość)

oraz tego, że szerokość

s = 2 x^{2}

$\begin{aligned} Trójkąt 14 x^{4} \\ 14 x^{4} = (d) (2 x^{2}) \\ \frac{14 x^{4}}{2 x^{2}} = d \\ 7 x^{2} = d \end{aligned}$ ‍ $\begin{aligned} Trójkąt 6 x^{2} \\ 6 x^{2} = (d) (2 x^{2}) \\ \frac{6 x^{2}}{2 x^{2}} = d \\ 3 = d \end{aligned}$ ‍

Możemy dodać te długości, aby otrzymać długość dużego prostokąta, która wynosi

7 x^{2} + 3

Zauważ, że otrzymalibyśmy ten sam wynik, jeśli po prostu wyłączylibyśmy czynnik

2 x^{2}

z pola dużego prostokąta,

14 x^{4} + 6 x^{2}

$\begin{aligned} 14 x^{4} + 6 x^{2} & = (2 x^{2}) (7 x^{2}) + (2 x^{2}) (3) \\ = 2 x^{2} (7 x^{2} + 3) \end{aligned}$ ‍

Niezależnie od metody widzimy, że długość dużego prostokąta wynosi $7 x^{2} + 3$ ‍ metrów.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 3

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Rozdzielność mnożenia względem dodawania: a(b+c)=ab+ac‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Wyłączanie największego wspólnego dzielnika (NWD)

Sprawdź, czy rozumiesz

Czy można to zrobić szybciej?

Wyłączanie czynników dwumianowych

Sprawdź, czy rozumiesz

Różne sposoby rozkładania na czynniki

Ćwiczenia sprawdzające

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Rozdzielność mnożenia względem dodawania: $a (b + c) = a b + a c$ ‍