Główna zawartość

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 8

Lekcja 2: Wyrażenie związku pomiędzy położeniem, prędkością i przyspieszeniem za pomocą całek

Zadania o ruchu (z wykorzystaniem całek oznaczonych)

Jeśli znamy prędkość cząstki w funkcji czasu i jej położenie początkowe, możemy łatwo obliczyć jej aktualne położenie całkując prędkość po czasie w przedziale odpowiadającym okresowi trwania ruchu. Dyskutujemy, jak to działa a przy okazji wspominamy o różnicy pomiędzy prędkością a szybkością, czyli wartością prędkości.

Zagadnienia dotyczące ruchu są powszechne w rachunku różniczkowym. Rachunek różniczkowy pozwala nam wywnioskować prędkość poruszającego się obiektu, gdy znamy funkcję jego położenia. W rachunku całkowym działamy w przeciwnym kierunku: znając funkcję prędkości obiektu, możemy wnioskować o jego położeniu lub zmianie jego położenia.

Prędkość, szybkość i całki oznaczone

Powiedzmy, że cząstka porusza się po linii prostej z prędkością

v (t) = 5 - t

metrów na sekundę, gdzie

t

to czas w sekundach.

Kiedy prędkość jest dodatnia oznacza to, że cząska porusza się naprzód wzdłuż prostej, a kiedy prędkość jest ujemna - cząstka porusza się do tyłu.

Powiedzmy, że naszym zadaniem jest znalezienie przemieszczenia cząstki (to znaczy zmiany jej położenia) pomiędzy

t = 0

t = 10

sekund. Ponieważ prędkość jest tempem zmian położenia cząstki, każda zmiana położenia jest dana przez całkę oznaczoną.

W tym szczególnym przypadku szukamy

\int_{0}^{10} v (t) d t

Co ciekawe, przemieszczenie to

\int_{0}^{10} v (t) d t = 0

metrów. (Można zauważyć, że dwa obszary zaznaczone na wykresie są tej samej wielkości, ale przeciwnego znaku) .

Przemieszczenie równe 0 oznacza, że cząstka znajdowała się w tym samym położeniu w

t = 0

t = 10

sekund. Ma to sens kiedy zauważysz, że cząstka najpierw porusza się naprzód, a następnie cofa się, więc dociera do miejsca, w którym zaczęła ruch.

Mimo to cząstka poruszała się. Powiedzmy, że chcemy znaleźć całkowitą odległość jaką przebyła cząstka, pomimo że jej ruch skończył się w tym samym miejscu. Czy całki oznaczone mogą nam w tym pomóc?

Tak, mogą. Aby to zrobić, użyjemy sprytnej manipulacji. Zamiast patrzeć na prędkość cząstki

v

, spojrzymy na jej szybkość

| v |

(to znaczy wartość bezwzględną

v

Szybkość opisuje jak szybko się przemieszczamy, podczas gdy prędkość mówi nam jak szybko i w jakim kierunku. Kiedy ruch odbywa się wzdłuż prostej, prędkość może być ujemna, ale szybkość zawsze jest dodatnia (lub wynosi 0). Tak więc szybkość jest wartością bezwzględną prędkości.

Teraz, kiedy znamy szybkość cząstki w każdej chwili, możemy znaleźć całkowitą odległość, którą przebyła, obliczając całkę oznaczoną

\int_{0}^{10} | v (t) | d t

Tym razem wynik to dodatnia wartość

25

metrów.

Zapamiętaj: prędkość vs. szybkość

Prędkość to tempo zmiany położenia, więc jej całka oznaczona daje nam przemieszczenie poruszającego się obiektu.

Szybkość to tempo zmian całkowitej odległości pokonanej przez obiekt, więc jej całka oznaczona daje nam całkowitą przebytą odległość, niezależnie od położenia.

zadanie 1

Alexey otrzymał następujące zadanie:

Cząstka porusza się wzdłuż linii prostej z prędkością $v (t) = - t^{2} + 8$ ‍ metrów na sekundę, gdzie $t$ ‍ oznacza czas w sekundach. W chwili $t = 2$ ‍, odległość cząstki od punktu początkowego wynosiła $5$ ‍ metrów. Jaka jest całkowita odległość przebyta przez cząstkę pomiędzy $t = 2$ ‍ a $t = 6$ ‍ sekund?

Którego z poniższych wyrażeń powinien użyć Alexey, aby rozwiązać to zadanie?

Zadanie 2

Madelyn otrzymała następujące zadanie:

Cząstka porusza się po linii prostej z prędkością $v (t)$ ‍ metrów na sekundę (wykres), gdzie $t$ ‍ oznacza czas w sekundach. W chwili $t = 1$ ‍ cząstka znajdowała się 2 metry w dodatnim kierunku od punktu, w którym rozpoczęła ruch. Jakie jest przemieszczenie cząstki pomiędzy $t = 1$ ‍ a $t = 6$ ‍?

Którego z poniższych wyrażeń powinna użyć Madelyn, aby rozwiązać to zadanie?

Znajdowanie położenia przy pomocy całek oznaczonych i warunków początkowych

Niektóre zadania dotyczące ruchu wymagają od nas znalezienia położenia cząstki w określonym momencie. Pamiętaj, że całka oznaczona może podać nam jedynie informację o zmianie położenia. Aby znaleźć rzeczywiste położenie cząstki, będziemy potrzebować warunków początkowych.

Zadanie 3

Divya otrzymała następujące zadanie:

Cząstka porusza się wzdłuż linii prostej z prędkością $v (t) = \sqrt{3 t - 1}$ ‍ metrów na sekundę, gdzie $t$ ‍ oznacza czas w sekundach. W chwili $t = 2$ ‍ cząstka znajdowała się w odległości 8 metrów w dodatnim kierunku od punktu, w którym rozpoczęła ruch. Jakie jest położenie cząstki w chwili $t = 7$ ‍ sekund?

Którego z poniższych wyrażeń powinna użyć Divya, aby rozwiązać to zadanie?

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Podsumowanie: Trzy możliwości w zadaniach dotyczących ruchu korzystających z całek oznaczonych

Zadania dotyczące ruchu wymagają użycia całek oznaczonych, kiedy znamy prędkość poruszającego się obiektu i jesteśmy proszeni o znalezienie jego położenia. Istnieją trzy możliwe typy zadań:

Typ	Typowe polecenie	Odpowiednie wyrażenie
Przemieszczenie	"Jakie jest przemieszczenie cząstki pomiędzy... a..." albo "Jak zmieniło się położenie cząstki pomiędzy... a..."	$\int_{a}^{b} v (t) d t$ ‍
Całkowita odległość	"Jaka jest całkowita odległość, którą pokonała cząstka pomiędzy... a..."	$\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$ ‍
Położenie	"Jakie jest położenie cząstki w chwili..."	$C + \int_{a}^{b} v (t) d t$ ‍ gdzie $C$ ‍ to warunek początkowy

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.