Graficzne przedstawienie przybliżeń szeregiem Taylora - film z polskimi napisami

Mówiłem już wiele o używaniu wielomianów w celu przybliżania funkcji, ale chce Ci pokazać, że to przybliżenie faktycznie działa. W tym celu używam Wolfram Alpha Jest to bardzo fajna strona Dzięki niej można robić zwariowane rzeczy z matematyką. Zatem wolframalpha.com i mam to dzięki kopiuj/wklej. Spotkałem Steven`a Wolfram`a na konferencji jakiś czas temu A on powiedział - powinieneś użyć wolfram alpha w swoich filmach. Odpoiwedziałem - Świetnie! użyje. I teraz właśnie to robię tutaj i jest to bardzo użyteczne ponieważ to co on robi - moglibyśmy wyliczać samemu czy nawet wyliczyć to na graficznym kalkulatorze albo moglibyśmy obliczyć to za pomocą jednego kliknięcia na wolfram alpha - czyli zobaczyć jak dobrze możemy przybliżyć sin(x) używając rozwinięcia w szereg Maclaurin`a albo nazywając to inaczej - rozwinięcie w szereg Taylora dla punktu x = 0 używając do tego coraz to większej ilości wyrazów mając dobre przeczucie, że czym więcej wyrazów tym lepiej (wielomian) przytula się do krzywej sinusa. Zatem to pomarańczowe tutaj jest sin(x). Powinien wyglądać dość znajomo dla Ciebie i w poprzednich filmach doszliśmy od tego czym rozwinięci Maclaurin`a dla sin(x) jest i wolfram alpha zrobił to dla nas także. On właściwie wyliczył wszystkie wyrazy dla nas. 3! jest równe 6, 5! jest równe 120 itd. Interesujące jest, że możesz wybrać ilość przybliżeń dla wykresu a co on zrobi to jeśli wybierzesz jeden wyraz do przybliżenia jeśli byśmy powiedzieli, że cały wielomian ma być równy x, jakby to wyglądało? To będzie ten wykres tutaj powie nam ilu składników użyliśmy poznamy to po ilości kropek tutaj - co, jak myślę, jest całkiem sprytne. Zatem to tutaj jest funkcją p(x) p(x)=x, więc jest to bardzo kiepskie przybliżenie jednak dla sin nie jest ono takie kiepskie otula funkcje właśnie tutaj i zaczyna zakręcać od funkcji przy tym punkcie Więc jeśli masz x -x^3/6 Czyli teraz masz dwa składniki w rozwinięciu, więc myślę, że powinniśmy powiedzieć że dotarliśmy do trzeciego wyrazu z kolei , bo tak pokazuję nam numerowanie kropkami nie mówią one o ilości wyrazów tylko o ich porządku Mamy tutaj jedną kropkę, ponieważ odpowiada ona pierwszemu stopniowi Tutaj mamy dwa składniki - w pewnym sensie kiedy rozwijasz sin(x) to nie ma on wyrazu drugiego stopnia teraz mamy przybliżenie wielomianem trzeciego stopnia Popatrzmy na trzeci stopień. to ta krzywa tutaj, zatem jeśli masz pierwszy składnik otrzymujesz prostą linie. Odejmujesz x^3 /6 do tego x i otrzymujesz krzywą wyglądająca tak. Zauważ, że zaczyna ona otulać sin trochę wcześniej I przestaje go otulać trochę później Więc drugi wyraz spisał się całkiem nieźle, otula on krzywą sinusa całkiem nieźle zwłaszcza jeśli patrzymy na małe liczby. Mając kolejny wyraz tworzący wielomian 5 stopnia. więc x - x^3/6 + x^5/120, popatrzmy na te 5 kropek To jest tutaj - 1, 2, 3, 4, 5 Więc to jest tak krzywa tutaj. Zauważ, że zaczyna otulać ona krzywą trochę wcześniej niż fioletowa wersja. I otula ją trochę dłużej. więc otula ją trochę, trochę.. dłużej, a później zakręca w ten sposób. Możesz zauważyć, że jeśli będę robił tak dalej te pierwsze cztery wyrazy dadzą nam wielomian siódmego stopnia Poszukajmy siedmiu kropek tutaj. Zachowują się one w ten sposób. Raz jeszcze, przytulają krzywą wcześniej niż ta wersja z trzema składnikami. I nie przestają otulać krzywej aż dotąd. Ostatni - z x^9. Byłoby jeszcze więcej. Zaczyna się tu, otula dłużej niż wcześniejsze, a później odchodzi. Jeśli pomyślisz o tym to nabierze to sensu. Każdy kolejny wyraz, który dodajemy do rozwinięcia ma wyższy stopnień x przez coraz większą liczbę. Zatem dla małych wartości x to mianownik zdominuję licznik. Zwłaszcza jeśli jesteśmy poniżej jedynki, bo jeśli weźmiemy coś co ma wartość bezwzględną mniejszą niż 1 to pomniejszymy to. Więc jesteśmy coraz bliżej początku. Te późniejsze składniki nie liczą się tak bardzo. Więc jakby nie tracisz precyzji wyznaczonej przez wcześniejsze wyrazy. Te podkręcone składniki dochodzą kiedy licznik zaczyna dominować mianownik Ten ostatni wyraz zaczyna być istotny tutaj. Zaczyna być istotny w momencie, w którym x^9 przeważa nad 362 880 Tak samo - jeśli chodzi o część ujemną Więc mam nadzieję, że nabrało to dla Ciebie sensu. Mamy tylko 1..2..3..4..5 wyrazów. Wyobraź sobie co by się stało jeśli mielibyśmy nieskończoną liczbę wyrazów. Myślę, że wyczuwasz, że przytuliłoby to krzywą sinusa aż do nieskończoności. Mam nadzieję, że czujesz się już z tym lepiej. Dla zabawy możesz wpisać rozszerzenie Taylora w zerze czy rozwinięcie Maclaurin`a w szereg Dla sin(x), cos(x), exp(x)w wolframalpha.com i spróbuj z różnymi funkcjami dodając i odejmując wyrazy, aby zobaczyć jak zmienia się otulenie krzywej.