Główna zawartość

Kurs: 8. klasa > Rozdział 4

Lekcja 3: Rozwiązywanie układów równań przez podstawienie

Rozwiązywanie układów równań za pomocą metody podstawiania

Google Classroom

Przykłady rozwiązywania układów równań metodą podstawiania.

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:

$y = 2 x Równanie 1$ ‍

$x + y = 24 Równanie 2$ ‍

Delikatność sytuacji polega na tym, że są tu dwie niewiadome

x

y

. Gdybyśmy tylko mogli pozbyć się jednej z nich...

Mam pomysł! Równanie

1

mówi nam, że

2 x

y

są sobie równe. Podstawmy zatem

2 x

y

w Równaniu

2

, pozbywając się w ten sposób zmiennej

y

z tego równania:

$\begin{aligned} x + y & = 24 & Równanie 2 \\ x + 2 x & = 24 & Podstawiamy 2x za y \end{aligned}$ ‍

Wspaniale! Teraz mamy równanie tylko z jedną niewiadomą

x

i umiemy je rozwiązać:

$\begin{aligned} x + 2 x & = 24 \\ 3 x & = 24 \\ \frac{3 x}{3} & = \frac{24}{3} & Dzielimy obie strony równania przez 3 \\ x & = 8 \end{aligned}$ ‍

Fajnie! Wiemy już, że

x

równa się

8

. Obliczmy teraz, ile wynosi wartość

y

, która spełnia to równanie. Skorzystajmy z pierwszego równania i wyznaczmy

y

, wiedząc że

x

równa się

8

$\begin{aligned} y & = 2 x & Równanie 1 \\ y & = 2 (8) & Podstawiamy 8 za x \\ y & = 16 \end{aligned}$ ‍

Doskonale! A zatem, rozwiązaniem tego układu równań jest para

(8, 16)

. Sprawdźmy nasze obliczenia, aby się upewnić, zawsze warto podstawić rozwiązanie do oryginalnego układu równań .

Sprawdźmy pierwsze równanie:

$\begin{aligned} y & = 2 x \\ 16 & \overset{?}{=} 2 (8) & Podstawiamy x = 8 oraz y = 16 \\ 16 & = 16 & Tak! \end{aligned}$ ‍

Sprawdźmy drugie równanie:

$\begin{aligned} x + y & = 24 \\ 8 + 16 & \overset{?}{=} 24 & Podstawiamy x = 8 oraz y = 16 \\ 24 & = 24 & Tak! \end{aligned}$ ‍

W porządku! Para

(8, 16)

rzeczywiście jest rozwiązaniem. Nie możemy pozwolić sobie na pomyłkę.

Teraz Twoja kolej rozwiązać układ równań metodą podstawiania.

Użyj metody podstawiania, aby rozwiązać następujący układ równań:

$4 x + y = 28$ ‍

$y = 3 x$ ‍

x =

y =

Metoda podstawiania w bardziej skomplikowanej sytuacji

Często zdarza się, że zanim możemy wykonać podstawienie, musimy najpierw wyznaczyć niewiadomą z jednego z równań. Na przykład w takiej sytuacji:

$- 3 x + y = - 9 Równanie 1$ ‍

$5 x + 4 y = 32 Równanie 2$ ‍

Zauważ, że żadne z tych równań nie pozwala od razu powiedzieć, ile wynosi

x

lub

y

w zależności od drugiej niewiadomej. A zatem, w pierwszym kroku musimy wyznaczyć

x

w zależności od

y

, lub odwrotnie. Zrobimy to tak:

Krok 1: rozwiążmy jedno z równań ze względu na jedną z niewiadomych.

Rozwiążmy pierwsze równanie ze względu na $y$ ‍:

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & Równanie 1 \\ - 3 x + y + 3 x & = - 9 + 3 x & Dodajemy 3x do obu stron równania \\ y & = - 9 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Krok 2: Podstaw to równanie do drugiego i rozwiąż otrzymane równanie ze względu na $x$ ‍.

$\begin{aligned} 5 x + 4 y & = 32 & Równanie 2 \\ 5 x + 4 (- 9 + 3 x) & = 32 & Podstawiamy-9 + 3x za y \\ 5 x - 36 + 12 x & = 32 \\ 17 x - 36 & = 32 \\ 17 x & = 68 \\ x & = 4 & Dzielimy obie strony równania przez 17 \end{aligned}$ ‍

Krok 3: Podstawiamy wyznaczoną niewiadomą do jednego z początkowych równań i wyznaczamy drugą niewiadomą.

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & Pierwsze równanie \\ - 3 (4) + y & = - 9 & Podstawiamy 4 za x \\ - 12 + y & = - 9 \\ y & = 3 & Dodajemy 12 do obu stron równania \end{aligned}$ ‍

A zatem, naszym rozwiązaniem jest para

(4, 3)

Poćwiczmy!

1) Rozwiąż następujący układ równań metodą podstawiania.

$2 x - 3 y = - 5$ ‍

$y = x - 1$ ‍

x =

y =

2) Rozwiąż następujący układ równań metodą podstawiania.

$- 7 x - 2 y = - 13$ ‍

$x - 2 y = 11$ ‍

x =

y =

3) Rozwiąż następujący układ równań metodą podstawiania.

$- 3 x - 4 y = 2$ ‍

$- 5 = 5 x + 5 y$ ‍

x =

y =

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.