Główna zawartość

Kurs: 8. klasa > Rozdział 6

Lekcja 4: Symetria osiowa

Symetria osiowa figur

Naucz się jak znajdować obraz w zadanym odbiciu.

W tym artykule zajmiemy się obrazami różnych figur w odbiciach.

Oś symetrii

Odbicie jest przekształceniem, które działa jak lustro: zamienia miejscami wszystkie pary punktów, które znajdują się dokładnie po przeciwnych stronach osi symetrii.

Prosta, będąca osią symetrii może być zdefiniowana równaniem, lub przez podanie dwóch punktów, przez które przechodzi.

Część 1: Odbicia punktów

Przyjrzyjmy się przykładowi odbicia względem poziomej prostej

Mamy wyznaczyć obraz

A^{'}

punktu

A (- 6, 7)

po odbiciu względem prostej

y = 4

Rozwiązanie

Krok 1: Narysuj prostopadły odcinek z punktu

A

do prostej i zmierz go.

Ponieważ prosta, względem której dokonujemy odbicia jest idealnie pozioma, prosta do niej prostopadła byłaby idealnie pionowa.

Krok 2: Narysuj odcinek w tym samym kierunku i o tej samej długości.

Odpowiedź: Współrzędne

A^{'}

(- 6, 1)

Twoja kolej!

Zadanie

Narysuj obraz punktu $B (7, - 4)$ ‍ po odbiciu względem prostej $x = 2$ ‍.

Wyzwanie

Jaki jest obraz punktu $(- 25, - 33)$ ‍ po odbiciu względem prostej $y = 0$ ‍?

(

,

)

Zbadajmy teraz przykład odbicia względem ukośnej prostej

Mamy wyznaczyć obraz

C^{'}

punktu

C (- 2, 9)

po odbiciu względem prostej

y = 1 - x

Rozwiązanie

Krok 1: Narysuj prostopadły odcinek z punktu

C

do prostej i zmierz go.

Skoro odbicie prostej przechodzi dokładnie przez przekątne kwadratów jednostkowych, prosta do niej prostopadła także powinna przechodzić przez przekątne kwadratów jednostkowych. Innymi słowy proste, których nachylenie wynosi $1$ ‍ oraz $-1$ ‍ są zawsze prostopadłe.

Ze względu na wygodę zmierzymy odległość w "przekątnych":

Krok 2: Narysuj odcinek w tym samym kierunku i o tej samej długości.

Odpowiedź: Współrzędne

C^{'}

(- 8, 3)

Twoja kolej!

Zadanie

Narysuj obraz punktu $D (3, - 5)$ ‍ po odbiciu względem prostej $y = x + 2$ ‍.

Wyzwanie

Jaki jest obraz punktu $(- 12, 12)$ ‍ po odbiciu względem prostej $y = x$ ‍?

(

,

)

Jest to odbicie względem prostej

y = x

, której nachylenie wynosi

1

, więc prosta do niej prostopadła powinna mieć nachylenie

- 1

. Skoro ta prosta prostopadła powinna przecinać punkt

(- 12, 12)

, odpowiednie równanie to po prostu

y = - x

Więc żeby znaleźć obraz punktu

(- 12, 12)

, powinniśmy przesunąć się po prostej

y = - x

o pewną odległość, aż dojdziemy do punktu przecięcia z prostą

y = x

, a następnie przesunąć się o tę samą odległość, aż dojedziemy do obrazu punktu.

Proste

y = x

oraz

y = - x

przecinają się w początku układu współrzędnych

(0, 0)

, który leży

12

przekątnych od punktu

(- 12, 12)

. Zatem obraz leży w odległości

12

przekątnych w przeciwnym kierunku, czyli w punkcie $(12, - 12)$ ‍.

Część 2: Odbicia wielokątów

Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu

Spójrz na prostokąt

E F G H

narysowany poniżej. Narysujmy jego obraz

E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}

po odbiciu względem prostej

y = x - 5

Rozwiązanie

Gdy wykonujemy odbicie wielokąta, musimy jedynie wykonać odbicie jego wierzchołków (jest to podobne do tego, jak wykonujemy przesunięcia lub obroty wielokątów).

Oto oryginalne wierzchołki i ich obrazy. Zauważ, że punkty

E

F

oraz

H

znajdowały się po przeciwnej stronie prostej jak

G

. To samo odnosi się do ich obrazów, ale teraz zamieniły się stronami!

Teraz po prostu łączymy wierzchołki

Twoja kolej!

Zadanie 1

Narysuj obrazy odcinków $\overset{―}{I J}$ ‍ oraz $\overset{―}{K L}$ ‍ po odbiciu względem prostej $y = - 3$ ‍.

Zadanie 2

Narysuje obraz trójkąta $△ M N O$ ‍ po odbiciu względem prostej $y = - 1 - x$ ‍.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.