FAQ: statystyka i prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo danego zdarzenia jest miarą szansy, że to zdarzenie rzeczywiście nastąpi. O wartości prawdopodobieństwa mówimy na podstawie tego, co wiemy z praktyki, lub co na ten temat zakładamy. Prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą nieujemną i nie większą od jedności, możemy je więc wyrazić za pomocą ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego lub procentu. Na przykład, jeśli rzucamy symetryczną monetą, możliwe są dwa zdarzenia elementarne: wypadnie orzeł lub wypadnie reszka. Skoro moneta jest symetryczna, to oba te zdarzenia są jednakowo prawdopodobne, a zatem prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł, równa się ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍, $0,5$‍, czyli $50\mathrm{\%}$‍. Możemy to zapisać jako $P(\text{orzeł})={\displaystyle \frac{1}{2}}$‍, $P(\text{orzeł})=0,5$‍, lub $P(\text{orzeł})=50\mathrm{\%}$‍.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo konkretnego wyniku, musimy wiedzieć, ile jest w ogóle możliwych zdarzeń i ile z nich kończy się tym wynikiem, albo inaczej mówiąc, ile jest zdarzeń sprzyjających temu wynikowi. Jeśli wszystkie zdarzenia są tak samo prawdopodobne, prawdopodobieństwo danego wyniku równa się stosunkowi liczby zdarzeń sprzyjających temu wynikowi do liczby wszystkich możliwych zdarzeń. Na przykład, w rzucie symetryczną, sześcienną kostką do gry, zdarzenia elementarne polegają na wyrzuceniu jednej z sześciu możliwości: $1$‍, $2$‍, $3$‍, $4$‍, $5$‍, lub $6$‍ oczek. Jeśli chcemy obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek, musimy ustalić zdarzenia sprzyjające takiemu wynikowi: $2$‍, $4$‍, $6$‍. Są trzy takie zdarzenia, więc prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek równa się ${\displaystyle \frac{3}{6}}$‍, $0.5$‍, lub $50\mathrm{\%}$‍. Możemy to zapisać jako $P(\text{l. parzysta})={\displaystyle \frac{3}{6}}$‍, $P(\text{l. parzysta})=0,5$‍, lub $P(\text{l. parzysta})=50\mathrm{\%}$‍.

Sprawdź, czy rozumiesz: Proste prawdopodobieństwo.

Aby ułatwić sobie rozwiązanie zadania, warto przedstawić wszystkie zdarzenia i ich prawdopodobieństwa w formie tabeli, listy czy diagramu drzewowego, popularnie zwanego „drzewkiem”.

Suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń musi być równa $1$‍ (czyli $100\mathrm{\%}$‍).

Na przykład, w przypadku rzutu dwoma monetami tabela wyglądałaby tak:

Z tej tabeli wynika, że istnieją cztery możliwe wyniki: OO, OR, RO, RR. Prawdopodobieństwo każdego z tych wyników jest takie samo i równe ${\displaystyle \frac{1}{4}}$‍, $0,25$‍, lub $25\mathrm{\%}$‍. Z tabeli możemy odczytać odpowiedzi na pytania w rodzaju: ile wynosi prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów? Ile wynosi prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej reszki? Ile wynosi prawdopodobieństwo wyrzucenia tej samej strony na obu monetach?

Sprawdź, czy rozumiesz: Modelowanie prawdopodobieństwa.

Zdarzenie złożone składa się z co najmniej dwóch zdarzeń elementarnych. Na przykład, rzucenie sześcienną kostką, a następnie monetą jest zdarzeniem złożonym. Przestrzeń zdarzeń tworzą wszystkie możliwe wyniki zdarzenia złożonego. Przestrzeń zdarzeń dla rzutu sześcienną kostką i monetą wygląda następująco:

Przestrzeń zdarzeń składa się z par różnych wyników rzutów kostką i monetą.

W tym wypadku przestrzeń zdarzeń składa się z $12$‍ różnych zdarzeń złożonych. Znając przestrzeń zdarzeń, możemy obliczyć prawdopodobieństwa różnych zdarzeń złożonych z rzutu kostką i monetą.

Na przykład, prawdopodobieństwo wyrzucenia $3$‍ oczek i reszki? W przestrzeni zdarzeń jest tylko $1$‍ takie zdarzenie złożone. A zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia równa się ${\displaystyle \frac{1}{12}}$‍, w zaokrągleniu $\mathrm{0,083}$‍ lub $8,3\mathrm{\%}$‍.

Idźmy dalej: są dwa zdarzenia odpowiadające wyrzuceniu liczby oczek większej of $4$‍ i jednocześnie orła: $5$‍, orzeł i $6$‍, orzeł. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia równa się ${\displaystyle \frac{2}{12}}$‍, czyli ${\displaystyle \frac{1}{6}}$‍.

Sprawdź, czy rozumiesz: [Probability models exercise](/e/

Sprawdź, czy rozumiesz: Przestrzenie zdarzeń złożonych i Prawdopodobieństwa zdarzeń złożonych.

Próbkowanie populacji polega na wybieraniu z całej grupy ludzi lub przedmiotów, zwanej populacją, niewielkiej grupy po to, aby ją zbadać i w ten sposób dowiedzieć się czegoś o całej populacji.

Na przykład: chcemy się dowiedzieć, ile uczniów w naszej szkole lubi pizzę. Nie możemy zapytać o to każdego ucznia, ponieważ takie badanie zajęłoby zbyt wiele czasu. Zamiast tego możemy wylosować grupę uczniów z każdej klasy i zapytać ich, czy lubią pizzę. Otrzymane w ten sposób odpowiedzi możemy wykorzystać do oszacowania wyników dla całej populacji, czyli całej szkoły.

Korzystanie z takich losowych próbek populacji jest ważne, ponieważ pozwala zrozumieć zachowania, preferencje i trendy w dużej grupie bez konieczności badania wszystkich elementów tej grupy, gdy nie jest to możliwe ze względów praktycznych. Właściwy, losowy wybór próby to prawdziwe wyzwanie i procedura ta podlega określonym ograniczeniom. Musimy upewnić się, że nasza próba jest reprezentatywna, co oznacza, że jak najlepiej odzwierciedla ona różnorodność i cechy całej populacji. Musimy również być świadomi możliwych efektów stronniczości, czyli takich, które będą miały wpływ na wyniki badań próbki. Na przykład, w badaniu satysfakcji z jakości potraw w szkolnej stołówce warto wziąć pod uwagę, że to, że wrażenia uczniów z klas, które jedzą obiady w większym pośpiechu na krótszej przerwie, nie zawsze będą bezpośrednio związane z satysfakcją z jakości potraw.

Sprawdź, czy rozumiesz: Uzasadnione wnioski z badań.