Geometria CA: Trójkąty podobne 1

... A właściwie, tuż po zatrzymaniu tego filmu, zdałem sobie sprawę jak bardzo łatwo pokazać, że RP przystaje do TA, korzystając z nieco bardziej rygorystycznej definicji. Jeśli pokażemy, że ten oto trójkąt, ten, który zaznaczyłem na różowo, i ten trójkąt, są przystające, to możemy sensownie argumentować, że RP będzie przystawać do TA, ponieważ są to odpowiadające boki w tych dwóch przystających trójkątach. Te przystające trójkąty jakby nakładają się na siebie. A zatem, jakiego argumentu możemy użyć? Cóż, w różowym trójkącie, ten kąt będzie równy temu kątowi w żółtym trójkącie. Właściwie, wiemy to już z faktu, że to jest trapez równoramienny - kąty przy podstawie takiego trapezu są takie same. Było powiedziane, że to jest trapez równoramienny, więc wiemy, że ten bok, ten tutaj, będzie przystawał do tego boku. I na koniec, obydwa mają ten bok wspólny. ... A zatem możemy użyć argumentu, po raz kolejny, bok - kąt - bok. Ten bok, kąt i bok są przystające do tego boku, kąta i boku. Czyli z własności BKB, trójkąt TRP przystaje do trójkąta TAP. ... Jeśli one są przystające, to wszystkie odpowiadające sobie boki są równe, i dlatego TA przystaje do RP. Raz jeszcze, nie trzeba było tego wszystkiego robić. To test wielokrotnego wyboru. Ale chciałem Wam to pokazać. Czułem się źle z myślą, że nie daję odpowiednio rygorystycznej definicji. Bardziej sformalizowanego dowodu. Tak czy owak, przechodzimy do zdania 11. Poniżej mamy podaną pewną implikację. "Jeśli czworokąt ma prostopadłe przekątne, to jest rombem." W porządku. "Która z następujących odpowiedzi jest kontrprzykładem dla powyższego stwierdzenia?" A zatem, mówią nam, że jeśli mamy prostopadłe przekątne, to jest to romb. Jeśli udałoby się nam znaleźć coś, co ma prostopadłe przekątne, ale nie jest rombem, mielibyśmy wówczas kontrprzykład. I to nie byłaby prawda. Postarajmy się znaleźć figurę z prostopadłymi przekątnymi, która nie jest rombem. Cóż, ta figura ma prostopadłe przekątne. Przekątne są do siebie prostopadłe, przecinają się pod kątem prostym. Ale to oczywiście nie jest romb. Przypomina raczej latawiec. To nie jest równoległe do tego, ani to do tego, więc to nie jest romb. Z pewnością jest to kontrprzykład. Ta figura ma prostopadłe przekątne, ale też jest rombem. Zatem to nie jest kontrprzykład. To właśnie przykład tego, co mówią. Ta figura ma prostopadłe przekątne, to kwadrat, ale przecież kwadraty są podzbiorem rombów. To kolejny przykład. A ta figura oczywiście nie ma prostopadłych przekątnych. To nie jest kąt prosty. Zatem kontrprzykładem będzie A. Następne pytanie. ... Zadanie 12. "Które z podanych trójkątów są podobne?" ... (A) "dwa trójkąty rozwarte" Rozwarte, czyli każdy z nich ma dwa kąty, jeden rozwarty, który wygląda tak - ma więcej niż 90 stopni, inny kąt rozwarty może być super rozwarty... Może wyglądać o tak. Oczywiście one nie są podobne. Widać, że ten kąt jest większy od tego. Dobrze, czyli nie są podobne. Podobne, czyli ich wszystkie kąty muszą być takie same. Prawie jak przystające, tylko można je przeskalować. Ja tak właśnie o nich myślę. Weźmy ten trójkąt. ... Staram się to narysować tak, żeby wyglądały dokładnie tak samo. Ten trójkąt. Nie... Ale możecie sobie wyobrazić, że wycinam i wklejam ten sam trójkąt. Ale byłby jedynie podobny to tego trójkąta, który narysowałem w pomniejszonej skali. Ponieważ ich boki są różnych długości, ale kąty są takie same. To właśnie oznacza słowo "podobne". Zobaczmy. (B) dwa różnoboczne trójkąty o przystających podstawach ... No cóż, to nie będzie prawda. Nie będą podobne. Załóżmy, że mają tę samą podstawę. Jeden z różnobocznych trójkątów może wyglądać tak. Może iść odrobinę w górę a potem w dół, o tak. A drugi trójkąt różnoboczny ma tę samą podstawę. Boki mogą być bliżej siebie. Widać wyraźnie, że te dwa trójkąty nie są podobne. Ten kąt różni się od tego kąta. Wszystkie kąty są różne, więc to nie są trójkąty podobne. Odpowiedź (B) jest niepoprawna. (C) dwa trójkąty prostokątne Czy muszą być podobne? Nie. Możemy wziąć trójkąt prostokątny, który wygląda tak, że ma dwa boki równe, prawda? To trójkąt 45-45-90. A potem możemy wziąć taki trójkąt, w którym mamy kąty 30-60-90. One oczywiście nie są podobne. Ich kąty nie są takie same. Obydwa mają kąt o mierze 90 stopni. Wobec tego zgaduję, że poprawną odpowiedzią będzie (D), zobaczmy, co tam mamy. (D) dwa równoramienne trójkąty o przystających kątach wierzchołkowych ... Zakładam, że kiedy jest mowa o przystających kątach wierzchołkowych, to znaczy, że wszystkie kąty są przystające. Może źle rozumiem... Dwa trójkąty równoramienne. ... Pozwólcie, że chwilę się zastanowię. O, już wiem. Mówiąc "kąt wierzchołkowy" mają na myśli kąt, który znajduje się po środku. ... Jeśli to jest nasz trójkąt równoramienny... ... Równoramienny oznacza, że ten bok jest równy temu bokowi, oraz, że ten kąt jest równy temu. Wydaje mi się, że kąt wierzchołkowy to kąt znajdujący się tutaj. Gdybym wziął jakiś inny trójkąt równoramienny... Załóżmy, że jest trochę mniejszy. Wygląda mniej więcej tak. Ich kąty wierzchołkowe są takie same. Ten kąt jest równy temu kątowi. No cóż, jeśli ten kąt jest równy temu kątowi i wiemy, że trójkąt jest równoramienny, równoramienny... to wówczas to jest równe temu, to musi być równe temu, i wiemy, że wszystkie kąty muszą być takie same. Skąd wiemy, że ten kąt jest równy temu kątowi? Zastanówcie się. Jakikolwiek jest to kąt, oznaczmy go x. A ten kąt oznaczmy y, ten też jest y. Wiemy, że x dodać 2y jest równe 180, lub że 2y jest równe 180 odjąć x. Lub y jest równy 90 odjąć x/2. A teraz, jeśli to jest x, i oznaczymy te kąty z i z, to wiemy, że x dodać 2z jest równe 180. Wszystkie kąty w trójkącie sumują się do 180 stopni. Odejmijmy x z obydwu stron, dostaniemy, że 2z jest równe 180 minus x. Podzielmy przez 2, dostajemy, że z jest równe 90 odjąć x/2. Czyli z i y są takimi samymi kątami. Zatem wszystkie kąty są takie same. Skoro tak, to mamy trójkąty podobne. Bez wątpienia, to (D) jest poprawną odpowiedzią. Zadanie 13. Dobrze. "Który z poniższych faktów wystarczy, aby wykazać, że trójkąty ABC (to ten duży) i trójkąt DBE (mniejszy), są podobne?" Musimy wykazać, że wszystkie ich kąty są podobne. Bez patrzenia na możliwe odpowiedzi mogę zgadnąć, dokąd to prowadzi. Chcemy wykazać, że te trójkąty są podobne. Przede wszystkim, mają one wspólny kąt. Kąt ABC, o ten, jest taki sam jak DBE. Czyli mają wspólny kąt. Jeden kąt mamy z głowy. A teraz, zastanówmy się. Jeśli wiedzielibyśmy, że ten kąt jest równy temu kątowi, a ten kąt jest równy temu, to byłby koniec. Najłatwiej doszlibyśmy do takiego wniosku, gdybyśmy wiedzieli, że ten bok i ten bok są równoległe. Zgaduję, że o to właśnie chodzi. Ale możliwe, że jestem na złej ścieżce. Gdyby te były równoległe, to wówczas te są poprzeczne do tych równoległych. I wówczas ten kąt i ten kąt byłyby odpowiadające, i dlatego byłyby przystające, a ten kąt i ten kąt też byłyby odpowiadające, zatem przystające. A zatem, jeśli będzie powiedziane, że te boki są równoległe, to mamy odpowiedź. Wtedy te trójkąty muszą być podobne. I widzimy, odpowiedź (C), że jest powiedziane, że AC i DE są równoległe. Te są równoległe, to je przecina, ten kąt jest odpowiadający z tym, więc są przystające. Ten kąt odpowiada temu, też są przystające, więc wszystkie kąty są przystające. Czyli mamy trójkąty podobne. ... Zadanie 14. Dobra. ... Poniżej pokazano równoległobok ABCD. W porządku. Równoległobok: to oznacza, że naprzeciwległe boki są równoległe. Ten jest równoległy z tym, a ten jest równoległy z tym. Wszystkie z możliwych odpowiedzi zniknęły na dole, ale zaraz je skopiuję. ... Może skopiuję je nad pytanie. Zobaczę co da się zrobić. ... Myślę, że tak jest dobrze. Nieco niekonwencjonalnie. Dobrze. Poniżej pokazano równoległobok. Pytają nas, które dwa trójkąty muszą być przystające, aby udowodnić, że kąt DAB przystaje do kąta BCD. ... To jest kąt DAB. Zaznaczę go innym kolorem. DAB to ten kąt, przystający do BCD. Mamy pokazać, że maja taką samą miarę. Co musimy zrobić? Jest powiedziane, że możemy ustalić parę trójkątów jako przystające. Dobrze, jeśli obydwa te kąty należą dwóch przystających trójkątów i są kątami odpowiadającymi, wówczas wiemy, że są przystające i to koniec. Zobaczmy jakie mamy odpowiedzi. (A) Trójkąt ADC i BCD. ... Do trójkąta BCD należy ten kąt. BCD jest pomocny, bo należy do niego ten kąt, ale za to trójkąt ADC nie ma tego kąta, prawda? Trójkąt ADC ma kąt mniejszy. ADC w ogóle nie zawiera tego kąta, to nam nie pomoże. (B) Trójkąt AED, znowu, nie zawiera tego większego kąta, nie zawiera kąta DAB. Ma tylko ten mniejszy kąt, więc to też nam nie pomoże. (C) Trójkąt DAB. To wygląda dobrze. Tu mamy nasz kąt. DAB. A potem BCD. Jeśli pokazalibyśmy, że ten trójkąt przystaje do tego trójkąta, to byłby koniec. To by wystarczyło, żeby pokazać, że ten kąt przystaje do tego kąta, bo byłyby to kąty odpowiadające trójkątów przystających. Także wydaje mi się, że zmierzamy ku odpowiedzi (C). Spójrzmy na odpowiedź (D). DEC. Po raz kolejny, trójkąt DEC. Wyjaśnię to. Trójkąt DEC nie zawiera żadnego z kątów, które nas interesują. Oczywiście nie zawiera tego kąta, i zawiera tylko część tego kąta, tylko tę część. Nie zawiera całego kąta, więc także nie jest nam pomocny. Prawidłowa odpowiedź to (C). Tak czy inaczej, do zobaczenia w następnym filmie.