Główna zawartość

Kurs: Matematyka II > Rozdział 2

Lekcja 6: Rozkład wyrażeń kwadratowych metodą grupowania

Rozkład na czynniki przez grupowanie

Poznaj metodę rozkładu na czynniki nazywaną "grupowaniem." Grupowania możemy użyć na przykład do zapisania 2x²+8x+3x+12 w postaci (2x+3)(x+4).

Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go w formie iloczynu jednego lub kilku innych wielomianów. Ta operacja jest odwrotnością mnożenia wielomianów.

Mieliśmy już do czynienia z przykładami rozkładu wielomianów na czynniki. Przed przeczytaniem tego artykułu zapoznaj się koniecznie z rozkładem na czynniki za pomocą rozdzielności mnożenia. Na przykład,

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tym artykule poznamy metodę rozkładu na czynniki pierwsze poprzez grupowanie .

Przykład 1: Rozłóż na czynniki $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Na początek, zauważmy że

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

nie ma wspólnego czynnika. Jeśli jednak pogrupujemy dwa pierwsze wyrazy i dwa ostatnie wyrazy, to każda z tych grup ma największy wspólny czynnik:

Największy wspólny czynnik w pierwszej grupie wyrazów wynosi

2 x

, a w drugiej grupie wyrazów największy wspólny czynnik wynosi

3

. Wyciągając te czynniki przed nawias, otrzymamy wyrażenie:

$2 x (x + 4) + 3 (x + 4)$ ‍

Aby wyciągnąć przed nawias

2 x

2 x^{2} + 8 x

, powinniśmy podzielić każdy wyraz przez

2 x

Dzielenie pierwszego wyrazu prowadzi do: $\frac{2 x^{2}}{2 x} = x$ ‍
Dzielenie drugiego wyrazu prowadzi do: $\frac{8 x}{2 x} = 4$ ‍

A więc

2 x^{2} + 8 x = 2 x (x + 4)

Aby wyciągnąć przed nawias

3

3 x + 12

, powinniśmy podzielić każdy wyraz przez

3

Dzielenie pierwszego wyrazu prowadzi do: $\frac{3 x}{3} = x$ ‍
Dzielenie drugiego wyrazu prowadzi do: $\frac{12}{3} = 4$ ‍

A więc

3 x + 12 = 3 (x + 4)

A zatem,

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

. Szybkie pomnożenie obu nawiasów pozwala sprawdzić, że nasz wynik jest prawidłowy.

W ten sposób zauważamy jeszcze jeden wspólny czynnik w obu grupach wyrazów:

x + 4

. Wykorzystajmy teraz rozdzielność mnożenia względem dodawania aby wyciągnąć ten wspólny czynnik przed nawias.

Rozłożyliśmy nasz wielomian na czynniki, zapisując go w formie iloczynu dwóch dwumianów. Możemy zawsze sprawdzić poprawność naszego wyniku, mnożąc wyrażenia w nawiasach i porównując rezultat z wyjściowym wielomianem.

Przykład 2: Rozłóż na czynniki $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Przypomnijmy sobie, co zrobiliśmy rozkładając powyżej wielomian na czynniki.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & Pogrupuj odpowiednio wyrazy \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Wyciągnij przed nawias największy wspólny czynnik \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Mamy wspólny czynnik! \\ = (x + 2) (3 x + 4) & Wyciągnij wspólny czynnik x+2 przed nawias \end{aligned}

Rozkład tego wielomianu na czynniki ma postać

(x + 2) (3 x + 4)

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż na czynniki $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍.

2) Rozłóż na czynniki $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍.

3) Rozłóż na czynniki $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍.

Przykład 3: Rozłóż na czynniki $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

Metoda grupowania działa także, jeśli niektóre współczynniki wielomianu są ujemne, ale w takim przypadku musimy postępować ostrożniej.

Dla przykładu, rozłóżmy na czynniki wielomian

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & Pogrupuj odpowiednio wyrazy \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & Wyciągnik przed nawias największy wspólny czynnik \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Uprość \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Mamy wspólny czynnik! \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & Wyciągnij wspólny czynnik x - 2 przed nawias \end{aligned}

Rozkład tego wielomianu na czynniki ma postać

(x - 2) (3 x - 4)

. Możemy szybko pomnożyć dwumiany w nawiasach przez siebie, aby przekonać się, czy otrzymaliśmy prawidłowy wynik.

Pewne kroki w powyższym rachunku mogły wzbudzić Twoje wątpliwości, a zatem postawmy kilka pytań i odpowiedzmy na nie.

Skąd wziął się znak "+" pomiędzy dwiema grupami wyrazów?

(1)

kroku, znak "+" pojawił się pomiędzy grupami

(3 x^{2} - 6 x)

oraz

(- 4 x + 8)

. Dopisaliśmy go, ponieważ trzeci wyraz

(- 4 x)

jest ujemny, a trzeci wyraz należy włączyć do drugiej grupy razem z jego znakiem.

Znak stojący przed drugą grupą to delikatna sprawa, którą warto dobrze zrozumieć. Na przykład, częsty błąd polega na tym, że ktoś rozkłada wielomian

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

na grupy w taki sposób

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

. Ten rozkład można z powrotem uprościć do

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

, a to nie jest to samo wyrażenie, co początkowy wielomian.

Dlaczego wyciągnęliśmy przed nawias $- 4$ ‍ a nie $4$ ‍?

(2)

kroku, wyciągnęliśmy przed nawias

- 4

i w ten sposób ujawnił się czynnik

(x - 2)

, wspólny dla obu grup wyrazów. Gdybyśmy zamiast tego wyciągnęli przed nawias dodatnią liczbę

4

, trudniej byłoby nam zauważyć, że obie grupy wyrazów zawierają ten sam czynnik:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Taka sytuacja zdarza się często, gdy jeden z wyrazów w danej grupie ma ujemny współczynnik. Wtedy na ogół warto wyciągnąć przed nawias liczbę ujemną.

Sprawdź, czy rozumiesz

4) Rozłóż na czynniki $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍.

\begin{aligned} 2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 \\ = (2 x^{2} - 3 x) + (- 4 x + 6) & Pogrupuj odpowiednio wyrazy \\ = x (2 x - 3) + (- 2) (2 x - 3) & Wyciągnij przed nawias największy wspólny czynnik \\ W 2 grupie wyciągnij przed nawias czynnik - 2 \\ ponieważ pierwszy wyraz w tej grupie jest ujemny. \\ = x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) & Uprość \\ = x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) & Mamy wspólny czynnik! \\ = (2 x - 3) (x - 2) & Wyciągnij przed nawias 2 x - 3 \end{aligned}

Rozkład wielomianu na czynniki równa się

(2 x - 3) (x - 2)

5) Rozłóż na czynniki $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍.

6) Rozłóż na czynniki $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍.

Wyzwanie

7*) Rozłóż na czynniki $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍.

Kiedy możemy wykorzystać metodę grupowania?

Metoda grupowania zadziała wtedy, gdy okażę się że istnieje wspólny czynnik dla obu grup wyrazów.

Na przykład, możemy wykorzystać metodę grupowania by rozłożyć na czynniki wielomian

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

, ponieważ można go zapisać jako:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Metoda grupowania nie pomoże nam natomiast w rozłożeniu na czynniki wielomianu

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

, ponieważ wyciągnięcie przed nawias największego wspólnego podzielnika obu grup wyrazów nie prowadzi do pojawienia się wspólnego czynnika!

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Metoda grupowania i rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki

Metodę grupowania można czasem wykorzystać do rozkładu na czynniki pierwsze trójmianu kwadratowego, takiego jak

2 x^{2} + 7 x + 3

. W tym przypadku możemy rozpisać trójmian kwadratowy jako:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Następnie grupujemy wyrazy

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

, aby otrzymać

(x + 3) (2 x + 1)

Więcej informacji na temat rozkładania trójmianów kwadratowych za pomocą metody grupowania znajdziesz w następnym artykule.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Matematyka II

Kurs: Matematyka II > Rozdział 2

Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Przykład 1: Rozłóż na czynniki 2x2+8x+3x+12‍

Przykład 2: Rozłóż na czynniki 3x2+6x+4x+8‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Przykład 3: Rozłóż na czynniki 3x2−6x−4x+8‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Wyzwanie

Kiedy możemy wykorzystać metodę grupowania?

Metoda grupowania i rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: Rozłóż na czynniki $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Przykład 2: Rozłóż na czynniki $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Przykład 3: Rozłóż na czynniki $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍