Główna zawartość

Kurs: Matematyka III > Rozdział 2

Lekcja 1: Rozkład jednomianów

Rozkład jednomianów

Dowiedz się jak rozkładać na czynniki jednomiany i rozkładać brakujący czynnik w rozkładzie jednomianu na czynniki

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Jednomian to wyrażenie składające się z iloczynu stałej oraz nieujemnej potęgi

x

, np.

3 x^{2}

. Wielomian jest sumą jednomianów, np.

3 x^{2} + 6 x - 1

Jeśli

A = B \cdot C

, to

B

C

są czynnikami

A

, a

A

jest podzielne przez

B

C

. Aby przypomnieć sobie ten temat przeczytaj nasz artykuł Czynniki, dzielniki i podzielność.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji nauczysz się jak rozłożyć jednomiany na czynniki pierwsze. W tym celu pomoże Ci to co już wiesz na temat rozkładu liczb całkowitych na czynniki.

Wstęp: co to jest rozkład jednomianu na czynniki?

Aby rozłożyć jednomian na czynniki, należy wyrazić go jako iloczyn dwóch lub więcej jednomianów.

Na przykład, poniżej przedstawiono kilka możliwych rozkładów jednomianu

8 x^{5}

$8 x^{5} = (2 x^{2}) (4 x^{3})$ ‍
$8 x^{5} = (8 x) (x^{4})$ ‍
$8 x^{5} = (2 x) (2 x) (2 x) (x^{2})$ ‍

Zauważ, że jeśli wymnożysz wszystkie wyrażenia po prawej stronie równania, otrzymasz

8 x^{5}

Pytanie do zastanowienia

Andrzej, Adam and Alek byli poproszeni o rozłożenie wyrażenia

20 x^{6}

na iloczyn dwóch jednomianów. Oto ich odpowiedzi.

Andrzej			Adam			Alek
$20 x^{6} = (2 x) (10 x^{5})$ ‍			$20 x^{6} = (4 x^{3}) (5 x^{3})$ ‍			$20 x^{6} = (20 x^{2}) (x^{3})$ ‍

1) Który z uczniów poprawnie rozłożył $20 x^{6}$ ‍ na czynniki?

Aby sprawdzić obliczenia Andrzeja, Adama i Alka, możemy wymnożyć czynniki.

Obliczmy

(2 x) (10 x^{5})

, aby sprawdzić obliczenia Andrzeja:

$\begin{aligned} (2 x) (10 x^{5}) & = 2 \cdot 10 \cdot x \cdot x^{5} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

Andrzej uzyskał poprawny wynik.

Obliczmy

(2 x) (10 x^{5})

, aby sprawdzić obliczenia Adama:

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (5 x^{3}) & = 4 \cdot 5 \cdot x^{3} \cdot x^{3} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

Amit też otrzymał poprawny wynik.

W końcu obliczmy

(20 x^{2}) (x^{3})

, aby sprawdzić obliczenia Alka:

$\begin{aligned} (20 x^{2}) (x^{3}) & = 20 \cdot x^{2} \cdot x^{3} \\ = 20 x^{5} \end{aligned}$ ‍

Alka odpowiedź jest błędna.

Andrzej i Adam poprawnie rozłożyli wyrażenie na czynniki.

Rozkład jednomianu na czynniki pierwsze

Powtórzenie: rozkład liczb na czynniki pierwsze

Aby do końca rozłożyć liczbę na czynniki, musimy ją zapisać jako iloczyn czynników pierwszych.

Na przykład, wiemy, że

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

A teraz do jednomianów...

Aby całkowicie rozłożyć na czynniki jednomian, rozkładamy współczynnik na czynniki pierwsze oraz rozwijamy część zależną od zmiennych.

Na przykład, aby całkowicie rozłożyć na czynniki

10 x^{3}

, zapisujemy

10

w formie rozkładu na czynniki pierwsze, jako

2 \cdot 5

i zapisujemy

x^{3}

jako

x \cdot x \cdot x

. Tak więc, rozkład

10 x^{3}

na czynniki pierwsze wygląda następująco:

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

2) Które z poniższych wyrażeń opisuje kompletny rozkład jednomianu $6 x^{2}$ ‍ na czynniki pierwsze?

3) Które z poniższych wyrażeń opisuje kompletny rozkład jednomianu $14 x^{4}$ ‍ na czynniki pierwsze?

Brakujące czynniki w rozkładzie jednomianów

Powtórzenie: rozkład liczb na czynniki pierwsze

Załóżmy, że wiemy, że

56 = 8 b

dla pewnej liczby całkowitej

b

. Jak możemy wyznaczyć brakujący czynnik, czyli

b

No cóż, po prostu rozwiązujemy równanie

56 = 8 b

ze względu na

b

, dzieląc obie strony przez

8

. Brakujący czynnik,

b

, wynosi

7

A teraz do jednomianów...

Ten samo pomysł można wykorzystać w przypadku jednomianów. Na przykład, załóżmy że

8 x^{5} = (4 x^{3}) (C)

dla pewnego jednomianu

C

. Możemy obliczyć

C

dzieląc

8 x^{5}

przez

4 x^{3}

$\begin{aligned} 8 x^{5} & = (4 x^{3}) (C) \\ \frac{8 x^{5}}{4 x^{3}} & = \frac{(4 x^{3}) (C)}{4 x^{3}} & Podziel obie strony przez 4 x^{3} \\ 2 x^{2} & = C & Uprość, wykorzystując własności funkcji potęgowych \end{aligned}$ ‍

Możemy sprawdzić obliczenia pokazując, że iloczyn

4 x^{3}

aoraz

2 x^{2}

równa się rzeczywiście

8 x^{5}

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (2 x^{2}) & = 4 \cdot 2 \cdot x^{3} \cdot x^{2} \\ = 8 x^{5} \end{aligned}$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

4) Czemu równa się $B$ ‍ w poniższym równaniu?

28 x^{5} = (B) (7 x)

4) Czemu równa się $C$ ‍ w poniższym równaniu?

40 x^{9} = (C) (4 x^{3})

C =

Różne rozkłady na czynniki pierwsze

Przyjrzyjmy się liczbie

12

. Możemy przedstawić tę liczbę w postaci czterech różnych rozkładów na czynniki.

$12 = 2 \cdot 6$ ‍
$12 = 3 \cdot 4$ ‍
$12 = 12 \cdot 1$ ‍
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍

Tylko jeden z tych rozkładów jest rozkładem

12

na czynniki pierwsze, a mianowicie

2 \cdot 2 \cdot 3

To samo dotyczy jednomianów. Możemy rozłożyć

18 x^{3}

na kilka sposobów, na przykład:

$18 x^{3} = 2 \cdot 9 \cdot x^{3}$ ‍
$18 x^{3} = 3 \cdot 6 \cdot x \cdot x^{2}$ ‍
$18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x^{3}$ ‍

Ale tylko jeden z tych rozkładów jest rozkładem zupełnym, to znaczy takim, że żadnego z czynników nie można już dalej rozłożyć na liczby całkowite bądź jednomiany!

18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x

Ćwiczenia sprawdzające

6*) Jak wygląda całkowity rozkład na czynniki $22 x y^{2}$ ‍?

22 x y^{2} =

To wyrażenie zawiera różne zmienne, możemy jednak wykorzystać tą samą metodę, co poprzednio, aby znaleźć całkowity rozkład na czynniki.

W tym przypadku ważne jest, by zauważyć że

22 x y^{2} \neq 22 (x y)^{2}

Aby przedstawić

22 x y^{2}

w formie kompletnego rozkładu na czynniki, rozłożymy na czynniki pierwsze

22

jako

2 \cdot 11

, oraz zapiszemy

y^{2}

jako

y \cdot y

. Czynnika

x

nie można już rozłożyć na iloczyn jednomianów.

$22 x y^{2} = 2 \cdot 11 \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍

7*) Pole powierzchni poniższego prostokąta wynosi

24 x^{3}

metry kwadratowe. Długość prostokąta wynosi

4 x^{2}

metry.

Ile wynosi szerokość prostokąta?

Szerokość =

metrów

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.