Główna zawartość

Kurs: Matematyka III > Rozdział 13

Lekcja 1: Upraszczanie wspólnych czynników w wyrażeniach wymiernych

Wprowadzenie do upraszczania wyrażeń wymiernych

Naucz się co to znaczy uprościć wyrażenie wymierne i jak to zrobić!

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Wyrażenie wymierne to stosunek dwóch wielomianów. Dziedziną wyrażenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste, poza tymi dla których mianownik wynosi zero.

Na przykład dziedzina wyrażenia wymiernego

\frac{x + 2}{x + 1}

to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $-1$ ‍, czyli

x \neq - 1

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, polecamy sprawdzić nasze wprowadzenie do wyrażeń wymiernych.

Zapoznaj się również z rozkładaniem wielomianów na czynniki żeby uzyskać jak najwięcej z tej lekcji.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tym artykule nauczysz się upraszczać wyrażenia wymierne na paru przykładach.

Wprowadzenie

Wyrażenie wymierne uważa się za uproszczone, jeśli licznik i mianownik nie mają wspólnych czynników.

Możemy uprościć wyrażenia wymierne w taki sam sposób w jaki upraszczamy ułamki.

Na przykład, uproszczona wersja

\frac{6}{8}

\frac{3}{4}

. Zauważ, że uprościliśmy wspólny czynnik

2

z licznika i mianownika ułamka:

$\begin{aligned} \frac{6}{8} & = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & Rozłóż na czynniki \\ = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & Skróć wspólny czynnik \\ = \frac{3}{4} & Uprość \end{aligned}$ ‍

Przykład 1: Uproszczenie $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

Jedynym sposobem żeby sprawdzić czy licznik i mianownik mają wspólne czynniki jest rozłożyć je!

$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

W tym momencie warto spojrzeć na ograniczenia zmiennej $x$ ‍, które będą ważne także dla uproszczonego wyrażenia.

Ponieważ dzielenie przez $0$ ‍ jest nieokreślone, widzimy tutaj, że $x \neq 0$ ‍ i $x \neq - 5$ ‍.

$\frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

Zauważ, że licznik i mianownik mają wspólny czynnik $x$ ‍. Można go skrócić.

$\begin{aligned} \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} & = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} \\ = \frac{x + 3}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Pamiętaj, że pierwotne wyrażenie zostało zdefiniowane dla $x \neq 0, - 5$ ‍. Uproszczone wyrażenie musi mieć takie same ograniczenia.

Oryginalne wyrażenie ma warunek $x \neq 0$ ‍. Nie musimy zapisywać, że $x \neq - 5$ ‍, bo wynika to z wyrażenia.
Początkowe wyrażenie:
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍
Uproszczone wyrażenie:
$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍
Zauważ, że $x = - 5$ ‍ powoduje, że oba mianowniki są równe $0$ ‍, więc nie jest to prawidłowa wartość wejściowa. Wynika jednakże z obu wyrażeń.
Ale dla uproszczonego wyrażenia nie wskazaliśmy $x \neq 0$ ‍, więc $x = 0$ ‍ będzie prawidłowym argumentem, ponieważ $\frac{0 + 3}{0 + 5} = \frac{3}{5}$ ‍.
Wyrażenie obliczone dla $x = 0$ ‍ powinno być nieokreślone (zobacz początkowe wyrażenie), więc musimy wyłączyć tą wartość z dziedziny.

Podsumowując, uproszczona forma jest zapisana w następujący sposób:

$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ for $x \neq 0$ ‍

Uwaga na temat wyrażeń równoważnych

Początkowe wyrażenie	‍	Uproszczone wyrażenie
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍	‍	$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ for $x \neq 0$ ‍

Dwa powyższe wyrażenia są równoważne. Oznacza to, że ich wartości wyjściowe są takie same dla wszystkich możliwych wartości

x

. Tabela poniżej przedstawia to dla

x = 2

	Początkowe wyrażenie	‍	Uproszczone wyrażenie
Obliczone dla $x = 2$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(2)^{2} + 3 (2)}{(2)^{2} + 5 (2)} & = \frac{10}{14} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{2 + 3}{2 + 5} & = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍
Uwaga	Wynik jest uproszczony przez usunięcie wspólnego czynnika $2$ ‍.		Wynik jest już uproszczony, bo czynnik $x$ ‍ $($ ‍w tym przypadku $x = 2)$ ‍, został już usunięty w procesie upraszczania.

Z tego powodu dwa wyrażenia mają taką samą wartość argumentu. Jednakże wartości, które powodują, że oryginalne wyrażenie będzie nieokreślone, często łamią tą regułę. Zauważ, że dzieje się tak w przypadku

x = 0

	Początkowe wyrażenie	‍	Uproszczone wyrażenie (bez ograniczeń)
Obliczone dla $x = 0$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(0)^{2} + 3 (0)}{(0)^{2} + 5 (0)} & = \frac{0}{0} \\ = undefined \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{0 + 3}{0 + 5} & = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

Ponieważ dwa wyrażenia muszą być równoważne dla wszystkich możliwych argumentów, musimy postawić warunek

x \neq 0

dla uproszczonego wyrażenia.

Uwaga nieporozumienie

Zauważ, że nie możemy wyrzucić

x

z poniższego wyrażenia. Jest tak, ponieważ są to wyrazy w wyrażeniu, a nie czynniki wielomianów!

$\frac{x + 3}{x + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

Staje się to jasne kiedy spojrzymy na przykład liczbowy. Na przykład załóżmy, że

x = 2

$\frac{2 + 3}{2 + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

Regułą jest, że możemy skracać tylko jeśli licznik i mianownik mają postać iloczynową!

Podsumowanie procesu upraszczania

Krok 1: Rozłóż na czynniki licznik i mianownik.
Krok 2: Wypisz wartości wyłączone z dziedziny.
Krok 3: Skróć wspólne czynniki.
Krok 4: Uprość i zapisz jakiekolwiek wartości wyłączone z dziedziny nie wynikające z wyrażenia.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Uprość $\frac{6 x + 20}{2 x + 10}$ ‍.

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

$\frac{6 x + 20}{2 x + 10} = \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Widzimy tutaj, że $x \neq - 5$ ‍.

$\frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)}$ ‍

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

$\begin{aligned} \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)} & = \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)} \\ = \frac{3 x + 10}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

$\frac{3 x + 10}{x + 5}$ ‍

W założeniach początkowego wyrażenia mamy $x \neq - 5$ ‍. Więc dla uproszczonego wyrażenia również musimy zapisać $x \neq - 5$ ‍. Nie musimy wyłączać już żadnych dodatkowych wartości.

2) Uprość $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x}$ ‍.

dla

x \neq

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

$\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x} = \frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Tutaj widzimy, że $x \neq 0$ ‍ i $x \neq \frac{5}{4}$ ‍.

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)}$ ‍

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

$\begin{aligned} \frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)} & = \frac{x \cdot x (x - 3)}{x (4 x - 5)} \\ = \frac{x \cdot x (x - 3)}{x (4 x - 5)} \\ = \frac{x (x - 3)}{4 x - 5} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

$\frac{x (x - 3)}{4 x - 5}$ ‍ dla $x \neq 0$ ‍

Oryginalne wyrażenie ma warunek $x \neq 0, \frac{5}{4}$ ‍. Nie musimy zapisywać, że $x \neq \frac{5}{4}$ ‍, bo wynika to z wyrażenia.

Przykład 2: Upraszczanie $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

Żeby rozłożyć licznik na czynniki, musimy użyć wzoru na różnicę kwadratów:

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ‍

Mamy więc następujące:

$\begin{aligned} x^{2} - 9 & = x^{2} - 3^{2} \\ = (x + 3) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Możemy rozłożyć mianownik na czynniki przy użyciu schematu z sumą i iloczynem.

$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ ‍

Żeby rozłożyć

x^{2} + 5 x + 6

, znajdujemy czynniki liczby

6

, które sumują się do

5

. Ponieważ

2 \cdot 3 = 6

2 + 3 = 5

, rozkład na czynniki to

(x + 2) (x + 3)

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Ponieważ dzielenie przez $0$ ‍ jest nieokreślone, widzimy tutaj, że $x \neq - 2$ ‍ i $x \neq - 3$ ‍.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

Zauważ, że licznik i mianownik mają wspólny czynnik $x + 3$ ‍. Można go skrócić.

$\begin{aligned} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} & = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} \\ = \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

$\frac{x - 3}{x + 2}$ ‍ dla $x \neq - 3$ ‍

Oryginalne wyrażenie ma warunek $x \neq - 2, - 3$ ‍. Nie musimy zapisywać, że $x \neq - 2$ ‍, bo wynika to z wyrażenia.

Sprawdzenie zrozumienia

3) Uprość $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ ‍.

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Tutaj widzimy, że $x \neq - 1$ ‍ i $x \neq 1$ ‍.

$\frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ‍

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

$\begin{aligned} \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} & = \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \\ = \frac{x - 2}{x + 1} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

$\frac{x - 2}{x + 1}$ ‍ dla $x \neq 1$ ‍

Oryginalne wyrażenie ma warunek $x \neq \pm 1$ ‍. Nie musimy zapisywać, że $x \neq - 1$ ‍, bo wynika to z wyrażenia.

4) Uprość $\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6}$ ‍.

dla

x \neq

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6} = \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Tutaj widzimy, że $x \neq - 3$ ‍ i $x \neq 2$ ‍.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)}$ ‍

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

$\begin{aligned} \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} & = \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{x - 5}{x - 2} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

$\frac{x - 5}{x - 2}$ ‍ dla $x \neq - 3$ ‍

Oryginalne wyrażenie ma warunek $x \neq - 3, 2$ ‍. Nie musimy zapisywać, że $x \neq 2$ ‍, bo wynika to z wyrażenia.

Co dalej?

Możesz przejść do naszego bardziej zaawansowanego artykułu na temat upraszczania wyrażeń wymiernych, gdzie zobaczysz więcej przykładów trudniejszych przypadków.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Matematyka III

Kurs: Matematyka III > Rozdział 13

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Wprowadzenie

Przykład 1: Uproszczenie x2+3xx2+5x‍

Uwaga na temat wyrażeń równoważnych

Uwaga nieporozumienie

Podsumowanie procesu upraszczania

Sprawdź, czy rozumiesz

Przykład 2: Upraszczanie x2−9x2+5x+6‍

Sprawdzenie zrozumienia

Co dalej?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: Uproszczenie $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

Przykład 2: Upraszczanie $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍