Determining a position vector-valued function for a parametrization of two parameters

. Na ostatnim filmie, zaczęliśmy mówić o tym, jak parametryzować torus lub też oponkę. Używaliśmy do tego dwóch parametrów i poświęciłem dużo czasu próbując to zwizualizować, ponieważ wszystko opiera się na wyobraźni. Myślę, że to naprawdę trudne. Ale sposób w jaki możemy parametryzować torus, który jest powierzchnią tej oponki, jest taki: powiedzmy, że bierzemy punkt i obracamy go po okręgu. To może być dowolny okrąg. Wybrałem okrąg na płaszczyźnie z-y. I to, jak daleko on przeszedł po tym okręgu parametryzujemy jako s i s może być pomiędzy 0 i 2 pi, następnie ten okrąg sam się będzie obracał. Albo lepiej powiedzieć, będziemy obracać okrąg wokół osi z i patrząc tylko na środek okręgu, będzie on zawsze w odległości b od środka układu. Więc to są właśnie te rysunki "z góry". I zdefiniowaliśmy nasz drugi parametr t, który mówi nam jak daleko cały okrąg obrócił się wokół osi z. I to były nasze definicje obu parametrów. I następnie tutaj staraliśmy się zwizualizować, co się dzieje. To jest rodzaj dziedziny, na której nasza parametryzacja będzie zdefiniowana. s zmienia się między 0 i 2 pi, więc kiedy t jest zerem, jesteśmy cały czas na płaszczyźnie z-y. s jest w zerze i idzie przez całą drogę do 2 pi, właśnie tak. Następnie kiedy t idzie do 2 pi, poruszamy nasz okrąg. Poruszaliśmy go, obracając wokół osi z. I teraz ta linia na naszym układzie s-t odpowiada temu okręgowi w 3 wymiarach lub też w naszej przestrzeni x-y-z Teraz, mając to, mam nadzieję, że zwizualizowaliśmy to całkiem nieźle. Pomyślmy nad tym, jak faktycznie zdefiniować postać wielowymiarowej funkcji, która rzeczywiście jest tą parametryzacją. Na początku opiszmy z, ponieważ to jest całkiem proste. Popatrzmy na ten obrazek. Czym będzie nasze z jako funkcja? Nasze x, nasze y oraz nasze z - wszystkie powinny być funkcjami s i t. To jest to o czym mówimy. Każdy punkt w przestrzeni powinien być funkcją dla pewnego określonego t i określonego s. Widzieliśmy to w tym miejscu. Ten punkt... pozwól, że zrobię to dla paru punktów - ten punkt odpowiada punktowi tutaj. Weźmy inny: Ten punkt odpowiada temu punktowi. Mogę zrobić jeszcze kilka. Pozwól, że wybiorę. Ten punkt - a zatem s jest wciąż 0. To będzie ten na zewnętrznym brzegu, jak zaznaczyłem. Wezmę jeszcze jeden, aby dokończyć ten kwadrat. Ten punkt, w którym nie obróciliśmy t w ogóle, ale przeszliśmy ćwierć drogi po okręgu, to będzie punkt tutaj. Zatem dla każdego s i t przekształcamy to na punkt w przestrzeni x-y-z. A więc nasze z, nasze x i nasze y powinny być funkcjami od s i t. Więc pierwszą rzeczą, o której pomyślimy będzie zmienna z. Myślę, że to będzie całkiem proste. Zatem z jako funkcja od s i t będzie się równać czemu? Dobrze, jeśli weźmiesz dowolny okrąg, pamiętasz - s oznacza jaki mamy kąt pomiędzy naszym promieniem i płaszczyzną x-y. Więc, mogę to nawet tu narysować. Pozwól, że zrobię to innym kolorem. Powoli kolory mi się wyczerpują. Zatem, powiedzmy, że to jest promień, tutaj. Ten kąt - powiedzieliśmy, że wynosi s. Więc gdy narysuję ten okrąg oddzielnie, właśnie tak, możemy zrobić nieco trygonometrii. . Kąt to s. Wiemy, że promień wynosi a - promień naszego okręgu, tak zdefiniowaliśmy. A więc z będzie odległością od płaszczyzny x-y. To będzie ta odległość. I teraz prosta trygonometria. To będzie a i możemy użyć reguły soh cah toa i innych rzeczy z tym związanych, warto przypomnieć sobie wcześniejsze filmy. Więc możesz patrzeć na sinus w ten sposób: jeśli w tym miejscu jest z, możemy powiedzieć, że sinus s... (soh cah toa mówi, że bierzemy "bok naprzeciwko przez przeciwprostokątną) jest równy z przez a. Mnożąc obie strony przez a, mamy, że a razy sinus s jest równe z. To mówi nam, jak daleko jesteśmy od płaszczyzny x-y. Tylko prosta trygonometria. Zatem z od s i t będzie funkcją tylko od s. To będzie, a razy sinus s. To nieźle. Teraz zobaczmy, czy możemy się dowiedzieć, czym będą x i y. Pamiętasz, z już nie ma znaczenia. Nie ma znaczenia dla informacji, jak bardzo obróciliśmy się wokół osi z. Liczy się tylko to, jak bardzo obróciliśmy się po okręgu. Jeśli s jest zerem, będziemy na płaszczyźnie x-y, z wtedy również jest zerem. Jeśli s równa się pi przez 2, idziemy do góry i będziemy poruszali się po szczycie oponki. I będziemy oddaleni od płaszczyzny x-y dokładnie o a, lub też z będzie równe a. Mam nadzieję, że to brzmi dla ciebie rozsądnie Teraz pomyślmy, co się dzieje, kiedy się obracamy wokół osi z. Pamiętasz, te dwa rysunki to widoki z góry. Patrzymy w dół na oponkę. A więc środek każdego z tych okręgów jest odległy o b od początku lub też od osi z, wokół której się obracamy. Jest zawsze odległy o b. Zatem nasza współrzędna x albo nasze współrzędne x i y... jeśli idziemy tutaj do środka okręgu, będziemy w odległości b i ten punkt będzie odległy o b, dokładnie tu. Pomyślmy, zatem, gdzie będziemy na płaszczyźnie x-y, albo jak daleko część naszego... myślę, że możesz sobie wyobrazić: gdybyś rzutował punkt na płaszczyznę x-y, jak daleko rzut ten będzie od początku układu? Dobrze, to zawsze będzie... Dla przypomnienia wróćmy do tego rysunku. Może być on najbardziej pouczający. To jest tylko jeden szczególny okrąg na płaszczyźnie z-y, ale mógłby to być dowolny z nich. Jeśli to jest oś z, ta odległość tutaj zawsze będzie wynosiła b. Wiemy to na pewno. A więc ile będzie wynosiła ta odległość? Ile będzie wynosiła ta odległość? Jesteśmy w środku w punkcie b i zakreślamy pewien kąt s, i w zależności od kąta s, ta odległość na - tak myślę - płaszczyźnie x-y... Wiesz, jeśli jesteśmy na płaszczyźnie x-y, pytamy jak daleko jesteśmy od osi z albo też jak daleko jest rzut na płaszczyznę x-y. Albo możesz ustawić x lub y. Mówię to na tyle sposobów, ile jest tylko możliwe. Myślę, że to sobie wyobrażasz Jeśli z wynosi sinus s, ta odległość, ten mały krótszy odcinek tutaj będzie miał długość a cosinus s. . s jest tym kątem tutaj. Ta odległość będzie wynosiła a cosinus s. A więc jeśli mówimy o prostym odcinku od początku układu na płaszczyźnie x-y, to zawsze będzie on miał długość b plus a cosinus s. Kiedy s jest tutaj, to cosinus stanie się liczbą ujemną i to ma sens, ponieważ nasza odległość będzie mniejsza niż b. Będziemy w tym punkcie. Więc jeśli spojrzysz na te rysunki z góry, to nieważne gdzie jesteśmy - to jest b. Teraz powiedzmy, że trochę się obróciliśmy. Ta odległość, jeśli patrzysz na płaszczyznę x-y, będzie zawsze wynosiła b plus a cosinus s. To jest to, czym jest ta odległość, dla dowolnego danego punktu. Zależymy od naszych s i t. Teraz, gdy krążymy wokół, jeśli jesteśmy w tym punkcie, powiedzmy, że jesteśmy w tym punkcie i ten punkt - już to powiedzieliśmy - jest odległy o b plus a cosinus s od początku układu na płaszczyźnie x-y. Jakie są współrzędne x i y tego punktu? Dobrze, pamiętasz - - to jest widok z góry na dół. Siedzimy na osi z i patrzymy w dół na płaszczyznę x-y. Patrzymy w dół na oponkę. A zatem jakie będą współrzędne x i y? Dobrze, rysujesz tutaj nowy trójkąt prostokątny. Masz nowy trójkąt prostokątny. Ten kąt wynosi t. Ta odległość będzie równa tej odległości, pomnożonej przez sinus naszego kąta. Zatem, to co jest istotnie naszym x, to będzie nasza współrzędna x, x jako funkcja od s i t będzie równa sinus t - t jest kątem w tym miejscu - - razy ten promień. Razy, możemy napisać w ten sposób, razy b plus a cosinus s. Bo pamiętasz - jak daleko jesteśmy, zależy od tego, w którym miejscu jesteśmy na okręgu, tak? Kiedy jesteśmy tutaj, jesteśmy o wiele dalej. Tutaj, jesteśmy dokładnie odlegli o b, jeśli patrzysz tylko na płaszczyznę x-y. A teraz w tym miejscu, jesteśmy odlegli o b minus a, jeśli jesteśmy na płaszczyźnie x-y. A więc to jest x jako funkcja od s i t. I właściwie, sposób, w jaki to zdefiniowałem powoduje, że nasza dodatnia część osi x będzie właściwie po tej stronie. Zatem to są x dodatnie, a to są x ujemne. Odwróciłem znaki, ale mam nadzieję, że wiesz, że to właściwie powinno tak być, że to będą x dodatnie, a to x ujemne. To zależy od użycia praworęcznej lub leworęcznej orientacji układu współrzędnych, ale mam nadzieję, że to ma sens. Właśnie powiedzieliśmy, czym jest ta odległość - to jest b plus a cosinus s. Dostaliśmy to z tego rysunku, kiedy braliśmy przekrój torusa. To oznacza jak daleko jesteśmy patrząc na dowolny punkt na płaszczyźnie x-y lub też zapominamy o okręgach, czyli o wysokości. I teraz jeśli chcesz mieć współrzędną x, mnożysz to razy sinus t, czyli to co mamy tutaj, a współrzędna y będzie tą odległością, zależy jak jest ustawiony ten trójkąt. Zatem y jako funkcja od s i t, będzie równy cosinus t razy ten promień: b plus a cosinus s. To nasza parametryzacja i wiesz, operowaliśmy tylko na tym trójkącie, mam nadzieję, że to ma sens. To znaczy: jeśli to jest nasza współrzędna y, używamy tylko reguły soh cah toa - cosinus t, cah, jest równy przyprostokątnej przy kącie, która ma długość y (to jest ten kąt) podzielonej przez przeciwprostokątną. Przez b plus a cosinus s. Mnożymy obie strony równania razy to i dostajemy y od s i t równy cosinus t razy ta rzecz. Zrobię teraz kopiuj - wklej tego co otrzymaliśmy. Kopiuj - wklej I już mamy naszą parametryzację. Mamy naszą parametryzację. Możemy zostawić to tak jak jest, ale jeśli chcemy przedstawić to jako funkcję wielowymiarową, możemy zdefiniować to tak. Znajdę fajny kolor, może różowy. Zatem powiedzmy, że nasza funkcja wielowymiarowa to będzie r. To będzie funkcja od dwóch parametrów - s i t - i będzie równa wartości x... Zapiszę to tym samym kolorem. Więc to będzie równe - zrobię najpierw tę część - b plus a cosinus s razy sinus t i to odmierzamy w kierunku osi x, zatem możemy napisać razy i - - pamiętasz, definiuję to tak: dodatnie x będą tutaj, Zatem i - wektor jednostkowy będzie wyglądał tak. Idę w tym kierunku, zgodnie z tym jak zrobiłem wcześniejsze rzeczy. I następnie dodajemy naszą wartość y, czyli b plus a cosinus s razy cosinus t w kierunku wektora jednostkowego osi y. Pamiętasz - wektor jednostkowy j będzie szedł tak. To jest nasz wektor jednostkowy j. I zostało jeszcze z, które było faktycznie najprostsze. plus a sinus s razy wektor jednostkowy k, który jest wektorem jednostkowym na osi z. Czyli razy wektor k. I teraz jeśli podasz mi dowolne s i t z tej dziedziny tutaj, i wstawisz do wzoru na wielowymiarową funkcję, dostaniesz dokładny wektor określający właściwy punkt na torusie. Zatem jeśli weźmiesz... Upewnijmy się, że to zrozumiałe co robimy. Jeśli weźmiesz ten punkt, gdzie s i t są równe pi przez 2, warto to zrobić jako ćwiczenie. Bierzesz pi przez 2 za oba parametry. Zróbmy to. A więc, w tym przypadku - kiedy bierzemy r od pi przez 2, pi przez 2 - co dostaniemy? To będzie b plus a razy cosinus pi przez 2. Cosinus pi przez 2 to 0, tak? Cosinus 90 stopni. Zatem to będzie b, (dobrze, to całe wyrażenie będzie zerem) razy sinus pi przez 2. Sinus pi przez 2 to dokładnie 1. Zatem to będzie b razy i plus - jeszcze raz: cosinus pi przez 2 to 0, więc to wyrażenie będzie wynosiło b i tutaj cosinus pi przez 2 to 0, zatem to będzie zero j. Więc tu będzie plus 0 j. I na koniec, pi przez 2... Tutaj nie ma wcale t, sinus pi przez 2 to 1. Zatem plus a razy k. Plus a razy k. Więc tak naprawdę nie poruszamy się w kierunku j. To będzie równe b razy i plus a razy k. Zatem punkt, który to określa, zgodnie z tą parametryzacją, lub inaczej - wektor - wynosi b razy i plus a razy k. A więc b razy i przeniesie nas w to miejsce i teraz a razy k przeniesie nas w to miejsce. Zatem wektor przez to określony będzie wyglądał tak. Właśnie tak jak przewidzieliśmy. Ta kropka, punkt w tym miejscu, odpowiada temu punktowi, w tym miejscu. Oczywiście, wybrałem punkty, które były łatwe do policzenia, ale ta całość... Kiedy bierzesz każde s i t z tej dziedziny, to przekształcisz ją w tę powierzchnię. I to jest to przekształcenie. I oczywiście musimy określić w jakim przedziale jest s, możemy napisać to na wiele sposobów. s jest pomiędzy 2 pi i 0, i możemy również powiedzieć, że t jest pomiędzy 2 pi i 0. I możemy... Jak zauważyłeś, kiedy jesteśmy w 2 pi, to jesteśmy drugi raz w tym samym miejscu, więc możemy pozbyć się jednego z tych znaków równości, jeśli chcesz, chociaż to nie zmieni w ogóle powierzchni, jeśli patrzymy na tę powierzchnię. Mam nadzieję, że to daje przynajmniej intuicję albo więcej niż intuicję, jak parametryzować takie rzeczy i co mamy dalej robić, ponieważ to będzie naprawdę ważne, gdy zaczniemy mówić o całkach powierzchniowych. Najtrudniejszą rzeczą przy robieniu tego wszystkiego jest wyobrażenie sobie. .