Przykład obliczania pochodnej funkcji o wartościach wektorowych

1<br/>00:00:00,000 --&gt; 00:00:00,450<br/>To, 2<br/>00:00:00,450 --&gt; 00:00:02,830<br/>co zamierzam zrobić w tym filmie, to stworzyć 3<br/>00:00:02,830 --&gt; 00:00:06,325<br/>parametryzacje dokładnie tej samej krzywej, co poprzednio, 4<br/>00:00:06,325 --&gt; 00:00:08,710<br/>przy czym będziemy poruszać się po niej z różnš szybkoœciš. 5<br/>00:00:08,710 --&gt; 00:00:11,610<br/>Mam nadzieję, że póŸniej będziemy mogli już zrozumieć, 6<br/>00:00:11,610 --&gt; 00:00:14,580<br/>albo mieć lepszš intuicję na temat tego,co dokładnie oznacza 7<br/>00:00:14,580 --&gt; 00:00:17,560<br/>obliczenie pochodnej funkcji wektorowej. 8<br/>00:00:17,560 --&gt; 00:00:21,080<br/>WeŸmy mojš pierwszš parametryzację.Mamy, że 9<br/>00:00:21,080 --&gt; 00:00:25,050<br/>x(t) jest równe t. 10<br/>00:00:25,050 --&gt; 00:00:29,990<br/>Ponadto załóżmy, że y(t) jest równe t do kwadratu. 11<br/>00:00:29,990 --&gt; 00:00:36,570<br/>Ta parametryzacja jest słusznadla t większych lub równych 0 12<br/>00:00:36,570 --&gt; 00:00:41,060<br/>oraz mniejszych lub równych 2. 13<br/>00:00:41,060 --&gt; 00:00:44,020<br/>Aby zapisać, jak wyglšdawektor wodzšcy funkcji wektorowej 14<br/>00:00:44,020 --&gt; 00:00:45,975<br/>użyję takiej notacji. 15<br/>00:00:45,975 --&gt; 00:00:50,240<br/>WeŸmy x1, y1 i napiszmywektor wodzšcy. 16<br/>00:00:50,240 --&gt; 00:00:54,707<br/>Mógłbym powiedzieć r1 -numeruję je, ponieważ 17<br/>00:00:54,707 --&gt; 00:00:56,910<br/>chcę pokazać też drugš wersję tejsamej krzywej, 18<br/>00:00:56,910 --&gt; 00:01:00,020<br/>tylko inaczej sparametryzowanej;Zatem r1 od t, 19<br/>00:01:00,020 --&gt; 00:01:05,150<br/>możemy powiedzieć, że jest tox1(t) razy wektor jednostkowy i, 20<br/>00:01:05,150 --&gt; 00:01:10,300<br/>czyli właœciwie t razy i,dodać, to właœnie jest 21<br/>00:01:10,300 --&gt; 00:01:13,410<br/>x(t), albo x1(t);numeruję je dlatego, że 22<br/>00:01:13,410 --&gt; 00:01:20,940<br/>póŸniej będę mieć też x2(t), dodać t kwadrat razy wektor j. 23<br/>00:01:20,940 --&gt; 00:01:24,940<br/>Wykonam rysunek,będę starał się być ostrożnym, 24<br/>00:01:24,940 --&gt; 00:01:26,860<br/>bo bardzo chcę zrozumieć, 25<br/>00:01:31,740 --&gt; 00:01:35,040<br/>co oznacza tutaj pochodna. 26<br/>00:01:35,040 --&gt; 00:01:43,080<br/>Spróbuję coœ naszkicować. 27<br/>00:01:43,080 --&gt; 00:01:46,240<br/>Spróbuję zastosować jakšœ skalę. 28<br/>00:01:46,240 --&gt; 00:01:47,430<br/>Powiedzmy, że mamy jeden, dwa, trzy i cztery. 29<br/>00:01:47,430 --&gt; 00:01:52,000<br/>Teraz narysuję oœ X. 30<br/>00:01:52,000 --&gt; 00:01:57,500<br/>Tak wystarczy. 31<br/>00:01:57,500 --&gt; 00:02:00,060<br/>Chcę żeby moja oœ X również miała skalę.Niech to będzie jeden i dwa. 32<br/>00:02:00,060 --&gt; 00:02:04,710<br/>Zatem gdy t jest równe 0,moje obie współrzędne, x i y, sš w zerze. 33<br/>00:02:04,710 --&gt; 00:02:08,800<br/>Czyli właœciwie sš wektorami zerowymi,zatem tu jesteœmy, 34<br/>00:02:00,060 --&gt; 00:02:04,710<br/>gdy t jest równe 0.Gdy t jest równe 1, to mamy 35<br/>00:02:04,710 --&gt; 00:02:08,800<br/>jeden raz wektor i, mniej więcej tak,dodać jeden raz wektor j. 36<br/>00:02:08,800 --&gt; 00:02:12,320<br/>1 do kwadratu to 1, razy wektor j,zatem będziemy w tym miejscu. 37<br/>00:02:12,320 --&gt; 00:02:16,470<br/>Następnie, gdy t jest równe 2,będziemy mieć 2i. 38<br/>00:02:16,470 --&gt; 00:02:20,410<br/>Zatem 2i. Możesz sobie wyobrazić2 razy wektor i będzie tym szukanym 39<br/>00:02:20,410 --&gt; 00:02:26,560<br/>wektorem, 2 razy i dodać 4,2 kwadrat to 4, 40<br/>00:02:26,560 --&gt; 00:02:32,770<br/>4 razy j, więc dodajemy 4 razy wektor j. 41<br/>00:02:32,770 --&gt; 00:02:35,610<br/>Jeœli dodasz do siebie te dwa wektory, 42<br/>00:02:35,610 --&gt; 00:02:39,370<br/>otrzymasz wektor, którego koniecjest w tym punkcie. 43<br/>00:02:39,370 --&gt; 00:02:41,050<br/>Czyli nasz wektor będzie wyglšdać jakoœ tak. 44<br/>00:02:41,050 --&gt; 00:02:43,980<br/>Spróbuję go narysować w miarę prosto. 45<br/>00:02:43,980 --&gt; 00:02:46,830<br/>Co do tej pory zrobiliœmy, 46<br/>00:02:46,830 --&gt; 00:02:50,230<br/>to obliczyliœmy r1 od 2. 47<br/>00:02:50,230 --&gt; 00:02:51,740<br/>To jest r1 od 0, 48<br/>00:02:51,740 --&gt; 00:02:53,130<br/>to r1 od 1. 49<br/>00:02:53,130 --&gt; 00:02:55,150<br/>Ale linia łšczšca te punkty,połšczmy je œcieżkš, 50<br/>00:02:55,150 --&gt; 00:02:57,090<br/>przypomina nam parabolę. 51<br/>00:02:57,090 --&gt; 00:03:03,040<br/>Czyli œcieżka wyglšda w ten sposób. 52<br/>00:03:03,040 --&gt; 00:03:05,840<br/>Mam zatem jej pierwszš parametryzację. 53<br/>00:03:05,840 --&gt; 00:03:07,470<br/>Spróbuję teraz narysować jš bardziej uważnie. 54<br/>00:03:07,470 --&gt; 00:03:09,110<br/>Chcę pozbyć się strzałek,tylko z takiego powodu, 55<br/>00:03:09,110 --&gt; 00:03:11,210<br/>że chcę, aby rysunek był przejrzysty. 56<br/>00:03:11,210 --&gt; 00:03:13,185<br/>Zatem będziemy mieć parabolę. 57<br/>00:03:13,185 --&gt; 00:03:16,250<br/>Może jeszcze raz. 58<br/>00:03:16,250 --&gt; 00:03:18,510<br/>Pozbędę się też tego punktu, 59<br/>00:03:18,510 --&gt; 00:03:20,550<br/>bo nie narysowałem go zbyt dokładnie. 60<br/>00:03:20,550 --&gt; 00:03:22,170<br/>Powinien być w tym miejscu. 61<br/>00:03:22,170 --&gt; 00:03:24,810<br/>Zatem moja parabola,właœciwie częœć mojej paraboli, 62<br/>00:03:24,810 --&gt; 00:03:27,360<br/>wyglšda jakoœ tak. 63<br/>00:03:27,360 --&gt; 00:03:27,780<br/>No dobrze. 64<br/>00:03:27,780 --&gt; 00:03:28,290<br/>Może być. 65<br/>00:03:28,290 --&gt; 00:03:30,520<br/>Mamy więc naszš pierwszš parametryzację. 66<br/>00:03:30,520 --&gt; 00:03:32,390<br/>Teraz zajmę się tš samš krzywš, 67<br/>00:03:32,390 --&gt; 00:03:34,160<br/>ale w trochę inny sposób. 68<br/>00:03:34,160 --&gt; 00:03:36,660<br/>Użyję innych kolorów. 69<br/>00:03:36,660 --&gt; 00:03:41,400<br/>Zatem x2 od t, niech będzie się równało 2t, 70<br/>00:03:41,400 --&gt; 00:03:48,570<br/>oraz y2 od t, powiedzmy, żejest równe 2t do kwadratu. 71<br/>00:03:48,570 --&gt; 00:03:52,330<br/>Alternatywnie, będzie to to samo, co 72<br/>00:03:52,330 --&gt; 00:03:55,290<br/>4 razy t kwadrat,podnoszšc ten nawias 73<br/>00:03:55,290 --&gt; 00:03:56,340<br/>do potęgi drugiej. 74<br/>00:03:56,340 --&gt; 00:03:59,080<br/>Nie ma to znaczenia, którego zapisu użyjemy. 75<br/>00:03:59,080 --&gt; 00:04:03,980<br/>Jeœli chodzi o zakres t,to zamiast przedziału od 0 do 2, 76<br/>00:04:03,980 --&gt; 00:04:10,110<br/>ustalmy wartoœć parametruna wartoœć między zerem a jedynkš. 77<br/>00:04:10,110 --&gt; 00:04:11,460<br/>Jak zaraz się okaże,w ten sposób opiszemy 78<br/>00:04:11,460 --&gt; 00:04:13,390<br/>dokładnie tę samš œcieżkę. 79<br/>00:04:13,390 --&gt; 00:04:22,220<br/>Nasz drugi wektor wodzšcy funkcji wektorowej,r2 od t, 80<br/>00:04:22,220 --&gt; 00:04:29,740<br/>będzie równy 2t razy wektor i,dodać 2t kwadrat, 81<br/>00:04:29,740 --&gt; 00:04:33,650<br/>czyli równoważnie dodać 4 razy t kwadrat,razy wektor j. 82<br/>00:04:33,650 --&gt; 00:04:37,940<br/>Gdybym chciał przedstawić tę sytuacjęna rysunku, to 83<br/>00:04:37,940 --&gt; 00:04:42,780<br/>- narysuję ponownie osie współrzędnych;to będziemy mieć taki sam 84<br/>00:04:42,780 --&gt; 00:04:46,000<br/>rysunek, ale uważam, że warto go jednak powtórzyć, 85<br/>00:04:46,000 --&gt; 00:04:49,170<br/>bo będę na nim póŸniej rysować pochodne. 86<br/>00:04:49,170 --&gt; 00:04:53,370<br/>Jeden, dwa, trzy, cztery... 87<br/>00:04:53,370 --&gt; 00:04:55,680<br/>Jeden, dwa. 88<br/>00:04:55,680 --&gt; 00:05:03,980<br/>Zobaczmy, co się stanie,gdy t jest równe zeru, równoważnie r(0). 89<br/>00:05:03,980 --&gt; 00:05:06,100<br/>Zarówno x2 jak i y2 będš równe 0,otrzymamy więc 90<br/>00:05:06,100 --&gt; 00:05:11,420<br/>wektor zerowy. x i y sš obie równe 0. 91<br/>00:05:11,420 --&gt; 00:05:15,820<br/>A co się stanie, gdy t będzie równe 1/2 ? 92<br/>00:05:15,820 --&gt; 00:05:18,530<br/>1/2 razy 2 daje nam 1. 93<br/>00:05:18,530 --&gt; 00:05:22,300<br/>Otrzymamy ponadto punkt,1/2 do kwadratu 94<br/>00:05:22,300 --&gt; 00:05:24,330<br/>to 1/4, razy 4 to 1. 95<br/>00:05:24,330 --&gt; 00:05:28,110<br/>Zatem gdy t jest równe 1/2, to będziemyw punkcie (1,1). 96<br/>00:05:28,110 --&gt; 00:05:29,690<br/>A jeœli t jest równe 1,to będziemy 97<br/>00:05:29,690 --&gt; 00:05:30,730<br/>w punkcie (2,4). 98<br/>00:05:30,730 --&gt; 00:05:35,570<br/>dwa, cztery. 99<br/>00:05:35,570 --&gt; 00:05:38,595<br/>Zauważ, że ta krzywa,ta œcieżka 100<br/>00:05:38,595 --&gt; 00:05:40,290<br/>jest dokładnie taka sama. 101<br/>00:05:40,290 --&gt; 00:05:42,840<br/>Zanim jednak zajmiemy się pochodnymi,zaznaczmy, że te dwie œcieżki 102<br/>00:05:42,840 --&gt; 00:05:44,310<br/>sš identyczne. 103<br/>00:05:44,310 --&gt; 00:05:45,590<br/>Chcę nad czymœ przez chwilę pomyœleć. 104<br/>00:05:45,590 --&gt; 00:05:51,010<br/>Załóżmy, że nasz parametr toznacza rzeczywiœcie czas. 105<br/>00:05:51,010 --&gt; 00:05:53,230<br/>Ta konwencja jest najbardziej powszechna, 106<br/>00:05:53,230 --&gt; 00:05:55,210<br/>dlatego też używamy parametru t (t-time). 107<br/>00:05:55,210 --&gt; 00:05:58,260<br/>Nie musi to być czas,ale załóżmy, że to jednak czas. 108<br/>00:05:58,260 --&gt; 00:05:59,540<br/>Co się tu więc dzieje? 109<br/>00:05:59,540 --&gt; 00:06:03,290<br/>W pierwszej parametryzacji,gdy przesuwaliœmy się od 110<br/>00:06:03,290 --&gt; 00:06:05,680<br/>sekundy zerowej do drugiej,przebiegliœmy tę œcieżkę. 111<br/>00:06:05,680 --&gt; 00:06:07,900<br/>Możesz sobie wyobrazić, że po pierwszej sekundziekropka przesuwa się tutaj, 112<br/>00:06:07,900 --&gt; 00:06:08,463<br/>a następnie tutaj. 113<br/>00:06:08,463 --&gt; 00:06:10,310<br/>Możesz sobie wyobrazić kropkę przesuwajšcš się wzdłuż tej krzywej, 114<br/>00:06:10,310 --&gt; 00:06:12,090<br/>i zajmuje jej to dwie sekundy. 115<br/>00:06:12,090 --&gt; 00:06:15,580<br/>W tej sytuacji z kolei, mamy kropkę,która przesuwa się po tej samej krzywej, 116<br/>00:06:15,580 --&gt; 00:06:19,230<br/>ale jest w stanie pokonać jšw czasie jednej sekundy. 117<br/>00:06:19,230 --&gt; 00:06:20,530<br/>W połowie sekundy dociera do tego miejsca, 118<br/>00:06:20,530 --&gt; 00:06:22,390<br/>a jednej sekundy, żebydotrzeć tutaj. 119<br/>00:06:22,390 --&gt; 00:06:24,810<br/>W jednej sekundzie, nasza kropkapokonuje całš tę drogę. 120<br/>00:06:24,810 --&gt; 00:06:26,610<br/>Ta kropka natomiast potrzebujena to dwóch sekund. 121<br/>00:06:26,610 --&gt; 00:06:28,960<br/>Zatem w drugiej parametryzacji,mimo, że œcieżka jest taka sama, 122<br/>00:06:28,960 --&gt; 00:06:32,580<br/>krzywe sš takie same, 123<br/>00:06:32,580 --&gt; 00:06:33,585<br/>kropka jest szybsza. 124<br/>00:06:33,585 --&gt; 00:06:36,580<br/>Kropka jest szybsza. 125<br/>00:06:36,580 --&gt; 00:06:39,790<br/>Chcę, żebyœ to zapamiętał, gdy myœlisz 126<br/>00:06:39,790 --&gt; 00:06:43,030<br/>o pochodnych obu tychwektorów wodzšcych 127<br/>00:06:43,030 --&gt; 00:06:44,630<br/>funkcji wektorowej 128<br/>00:06:44,630 --&gt; 00:06:47,860<br/>Zapamiętaj zatem, że kropkaporusza się szybciej, 129<br/>00:06:47,860 --&gt; 00:06:50,616<br/>w każdej sekundzie jest dalejna tej krzywej. 130<br/>00:06:50,616 --&gt; 00:06:51,930<br/>To dlatego pokonanie krzywej zajmujejej tylko 1 sekundę. 131<br/>00:06:51,930 --&gt; 00:06:53,410<br/>Zastanówmy się teraz nad pochodnymi 132<br/>00:06:53,410 --&gt; 00:06:55,840<br/>tych wektorów. 133<br/>00:06:55,840 --&gt; 00:07:03,540<br/>Pochodna w tym miejscu, więcgdybym chciał napisać r', r1' 134<br/>00:07:03,540 --&gt; 00:07:05,320<br/>od t, użyję innego koloru, 135<br/>00:07:05,320 --&gt; 00:07:11,230<br/>miałem już pomarańczowy... wezmę więc niebieski - 136<br/>00:07:11,230 --&gt; 00:07:14,320<br/>r1' od t. 137<br/>00:07:14,320 --&gt; 00:07:15,650<br/>Zatem pochodna, 138<br/>00:07:15,650 --&gt; 00:07:17,190<br/>pamiętaj, będzie to pochodna 139<br/>00:07:17,190 --&gt; 00:07:19,490<br/>każdego z tych elementówrazy wektor jednostkowy. 140<br/>00:07:19,490 --&gt; 00:07:22,570<br/>Pochodna funkcji t względem tto po prostu 1, 141<br/>00:07:22,570 --&gt; 00:07:23,920<br/>mamy więc 1 razy i. 142<br/>00:07:23,920 --&gt; 00:07:27,940<br/>Napiszę po prostu 1i,dodać, w sumie nie musiałem 143<br/>00:07:27,940 --&gt; 00:07:31,210<br/>pisać tej jedynki,dodać pochodnš funkcji t kwadrat 144<br/>00:07:31,210 --&gt; 00:07:36,132<br/>względem t to 2t,więc dodać 2t razy wektor j. 145<br/>00:07:36,132 --&gt; 00:07:38,690<br/>Obliczmy teraz pochodnš tej drugiej wersji. 146<br/>00:07:38,690 --&gt; 00:07:42,310<br/>r2' od t, 147<br/>00:07:42,310 --&gt; 00:07:45,120<br/>pochodna funkcji 2t względem twynosi 2, 148<br/>00:07:45,120 --&gt; 00:07:50,960<br/>więc mamy 2i, dodać pochodna funkcji4 razy t kwadrat, czyli 8t. 149<br/>00:07:50,960 --&gt; 00:07:54,520<br/>2 razy 4, to 8, 150<br/>00:07:54,520 --&gt; 00:07:59,460<br/>8t. 151<br/>00:07:59,460 --&gt; 00:08:00,410<br/>Właœnie tak. 152<br/>00:08:00,410 --&gt; 00:08:03,180<br/>razy wektor j. 153<br/>00:08:03,180 --&gt; 00:08:10,400<br/>Teraz powstaje nam pytanie,jak wyglšdajš odpowiednie 154<br/>00:08:10,400 --&gt; 00:08:12,050<br/>wektory pochodnych w różnych punktach? 155<br/>00:08:12,050 --&gt; 00:08:14,680<br/>Spójrzmy. Nie wiem, zobaczmyjak szybko się one poruszajš, 156<br/>00:08:14,680 --&gt; 00:08:17,350<br/>gdy czas jest równy 1. 157<br/>00:08:17,350 --&gt; 00:08:20,020<br/>WeŸmy ustalony punkt. 158<br/>00:08:20,020 --&gt; 00:08:22,800<br/>To ogólny wzór,ale zastanówmy się 159<br/>00:08:22,800 --&gt; 00:08:25,150<br/>jak wyglšda pochodna w punkcie szczególnym. 160<br/>00:08:25,150 --&gt; 00:08:31,240<br/>Rozpatrzmy więc r1, w chwili czasu trównym 1 sekunda. 161<br/>00:08:31,240 --&gt; 00:08:34,110<br/>Chcę wzišć ustalony punkt na krzywej, 162<br/>00:08:34,110 --&gt; 00:08:36,320<br/>a nie ustalony moment w czasie. 163<br/>00:08:36,320 --&gt; 00:08:38,750<br/>Zatem gdy czas jest równy 1,jesteœmy w tym punkcie, 164<br/>00:08:38,750 --&gt; 00:08:41,090<br/>mógłbyœ powiedzieć, że w drugim punkcie. 165<br/>00:08:41,090 --&gt; 00:08:43,150<br/>Ten punkt tutaj, który ma takiesame współrzędne, 166<br/>00:08:43,150 --&gt; 00:08:46,070<br/>odpowiada chwili czasu t równej pół sekundy. 167<br/>00:08:46,070 --&gt; 00:08:50,660<br/>Zatem r1(1) jest równe -oczywiœcie bierzemy w tym miejscu pochodnš- 168<br/>00:08:50,660 --&gt; 00:08:52,950<br/>jest równe 1i. 169<br/>00:08:52,950 --&gt; 00:08:54,270<br/>Ta wartoœć zupełnie nie zależy od t. 170<br/>00:08:54,270 --&gt; 00:09:01,980<br/>Zatem mamy 1i dodać 2 razy 1j, czyli dodać 2j. 171<br/>00:09:01,980 --&gt; 00:09:08,720<br/>Więc w tym punkcie pochodnafunkcji wektorowej 172<br/>00:09:08,720 --&gt; 00:09:11,440<br/>będzie wynosić 1i plus 2j. 173<br/>00:09:11,440 --&gt; 00:09:15,150<br/>Możemy więc narysować to w ten sposób:jeœli narysujemy 1i tak, 174<br/>00:09:15,150 --&gt; 00:09:16,670<br/>a następnie 2j, 175<br/>00:09:16,670 --&gt; 00:09:19,390<br/>2j tak wyglšda, 176<br/>00:09:19,390 --&gt; 00:09:22,130<br/>to nasza pochodna tutaj,użyję tego samego 177<br/>00:09:22,130 --&gt; 00:09:23,200<br/>koloru, którym pisałem, 178<br/>00:09:23,200 --&gt; 00:09:25,040<br/>myœlę, że to ten zielony,będzie wyglšdać tak, 179<br/>00:09:25,040 --&gt; 00:09:28,260<br/>właœnie tak. 180<br/>00:09:28,260 --&gt; 00:09:31,240<br/>Zauważ, że kierunek tego wektora pochodnej, 181<br/>00:09:31,240 --&gt; 00:09:39,820<br/>trochę go wyprostuję,jego kierunek jest styczny 182<br/>00:09:39,820 --&gt; 00:09:41,900<br/>do krzywej.Pokazuje kierunek, w którym 183<br/>00:09:41,900 --&gt; 00:09:42,700<br/>porusza się moja czšsteczka. 184<br/>00:09:42,700 --&gt; 00:09:44,270<br/>Pamiętaj, że moja czšsteczkaporusza się stšd dotšd, 185<br/>00:09:44,270 --&gt; 00:09:45,400<br/>więc porusza się w pewnym kierunku. 186<br/>00:09:45,400 --&gt; 00:09:47,730<br/>Za chwilę zastanowię się nad tym, 187<br/>00:09:47,730 --&gt; 00:09:49,610<br/>jaka jest długoœć tego wektora pochodnej. 188<br/>00:09:49,610 --&gt; 00:09:54,210<br/>Ten wektor, żeby było jasne,to r1'. 189<br/>00:09:54,210 --&gt; 00:09:59,610<br/>Jest to wektor, więc mówi namo chwilowej zmianie 190<br/>00:09:59,610 --&gt; 00:10:03,540<br/>naszego wektora wodzšcegowzględem zmiany parametru t, lub czasu, 191<br/>00:10:03,540 --&gt; 00:10:04,970<br/>gdy czas jest równy 1 sekundzie. 192<br/>00:10:04,970 --&gt; 00:10:06,400<br/>To ta sytuacja tutaj. 193<br/>00:10:06,400 --&gt; 00:10:09,390<br/>Rozpatrzmy teraz to samo położenieczšsteczki na tej drugiej krzywej. 194<br/>00:10:09,390 --&gt; 00:10:11,450<br/>W tym przypadku czšsteczka osišgnie jew innym momencie czasu. 195<br/>00:10:11,450 --&gt; 00:10:13,960<br/>Już powiedzieliœmy, żeaby tam dotrzeć wystarcza jej 196<br/>00:10:13,960 --&gt; 00:10:15,320<br/>jedynie pół sekundy. 197<br/>00:10:15,320 --&gt; 00:10:19,850<br/>Rozpatrzmy teraz,nie będę zmieniał koloru, 198<br/>00:10:19,850 --&gt; 00:10:23,340<br/>mamy teraz r2'. 199<br/>00:10:23,340 --&gt; 00:10:26,010<br/>Będziemy obliczać wartoœć w 1/2ponieważ rozważane położenie 200<br/>00:10:26,010 --&gt; 00:10:27,570<br/>mamy dla 1/2 sekundy. 201<br/>00:10:27,570 --&gt; 00:10:30,590<br/>A to będzie równe 2i,co nie zależy w ogóle od czasu, 202<br/>00:10:30,590 --&gt; 00:10:36,510<br/>więc, 2i, dodać8 razy czas. 203<br/>00:10:36,510 --&gt; 00:10:38,430<br/>Czas tutaj to 1/2. 204<br/>00:10:38,430 --&gt; 00:10:40,650<br/>Zatem 8 razy 1/2 to 4. 205<br/>00:10:40,650 --&gt; 00:10:42,920<br/>Więc dodajemy 4j. 206<br/>00:10:42,920 --&gt; 00:10:44,610<br/>Jak to wyglšda? 207<br/>00:10:44,610 --&gt; 00:10:46,220<br/>Chwilowa pochodna w tym punkcie. 208<br/>00:10:46,220 --&gt; 00:10:48,640<br/>Oczywiœcie mówimy o pochodnej!Zapomniałem napisać "prima". 209<br/>00:10:48,640 --&gt; 00:10:52,130<br/>Zatem 2i, jeszcze trochę porysuję,więc 2i sięgnie 210<br/>00:10:52,130 --&gt; 00:10:54,510<br/>mniej więcej tutaj. 211<br/>00:10:54,510 --&gt; 00:10:59,350<br/>Dodać 4j, co przesuwa nasdo mniej więcej tego punktu. 212<br/>00:10:59,350 --&gt; 00:11:01,800<br/>Plus 4j to ten składnik. 213<br/>00:11:01,800 --&gt; 00:11:05,950<br/>Więc gdy dodamy te wektory,otrzymamy coœ takiego: 214<br/>00:11:05,950 --&gt; 00:11:10,800<br/>spróbuję naszkicować,otrzymujemy 215<br/>00:11:10,800 --&gt; 00:11:12,065<br/>coœ takiego. 216<br/>00:11:12,065 --&gt; 00:11:15,590<br/>Coœ w tym stylu. 217<br/>00:11:15,590 --&gt; 00:11:18,070<br/>Nie narysowałem tego takprosto, jak chciałam. 218<br/>00:11:18,070 --&gt; 00:11:22,370<br/>Jednak zwróćmy na coœ ważnego uwagę:oba te wektory 219<br/>00:11:22,370 --&gt; 00:11:23,820<br/>będš mieć ten sam kierunek. 220<br/>00:11:23,820 --&gt; 00:11:28,550<br/>Każdy z nich jest styczny do œcieżki,do naszej krzywej. 221<br/>00:11:28,550 --&gt; 00:11:33,340<br/>Ale długoœć tego wektora 222<br/>00:11:33,340 --&gt; 00:11:36,050<br/>przekracza długoœć tego wektora. 223<br/>00:11:36,050 --&gt; 00:11:38,610<br/>To ma sens, bo wspominałem o tymgdy po raz pierwszy 224<br/>00:11:38,610 --&gt; 00:11:40,960<br/>zastanawialiœmy się nad tymifunkcjami wektorowymi 225<br/>00:11:40,960 --&gt; 00:11:46,650<br/>i ich pochodnymi.Długoœć wektora 226<br/>00:11:46,650 --&gt; 00:11:48,480<br/>możesz rozumieć jako szybkoœć. 227<br/>00:11:48,480 --&gt; 00:11:52,420<br/>Długoœć wektora jest równaszybkoœci, jeœli wyobrazisz sobie 228<br/>00:11:52,420 --&gt; 00:11:55,900<br/>parametr t jako czas, a parametryzacjereprezentujš ruch czšstki 229<br/>00:11:55,900 --&gt; 00:11:57,320<br/>wzdłuż tych krzywych. 230<br/>00:11:57,320 --&gt; 00:12:00,080<br/>W tym przypadku, czšsteczkapotrzebuje zaledwie sekundy 231<br/>00:12:00,080 --&gt; 00:12:03,390<br/>aby się tu dostać, poruszasię znacznie szybciej 232<br/>00:12:03,390 --&gt; 00:12:04,810<br/>niż czšsteczka w tym przypadku. 233<br/>00:12:04,810 --&gt; 00:12:08,540<br/>Więc jeœli nad tym się chwilę zastanowisz,ten wektor, 234<br/>00:12:08,540 --&gt; 00:12:11,715<br/>jeœli wyobrazisz sobie, że jest to wektorwodzšcy, to jest to prędkoœć. 235<br/>00:12:11,715 --&gt; 00:12:14,980<br/>Ten napis tutaj okreœla prędkoœć. 236<br/>00:12:14,980 --&gt; 00:12:18,330<br/>Prędkoœć to szybkoœć wraz z kierunkiem. 237<br/>00:12:18,330 --&gt; 00:12:20,630<br/>Szybkoœć to po prostu tempo,w którym się poruszasz. 238<br/>00:12:20,630 --&gt; 00:12:22,930<br/>Prędkoœć to powiedzeniejak szybko się poruszasz w danym kierunku. 239<br/>00:12:22,930 --&gt; 00:12:26,590<br/>Tak szybko się poruszam,i możesz obliczyć tę wartoœć 240<br/>00:12:26,590 --&gt; 00:12:28,260<br/>korzystajšc z Twierdzenia Pitagorasa,ale ja chcę ci tylko pokazać intuicję, 241<br/>00:12:28,260 --&gt; 00:12:31,430<br/>poruszam się tak szybko w tym kierunku. 242<br/>00:12:31,430 --&gt; 00:12:33,770<br/>W tym przypadku, poruszam się tak szybko.Jestem nawet szybszy. 243<br/>00:12:33,770 --&gt; 00:12:36,340<br/>To długoœć mojego wektora,ale wcišż mam 244<br/>00:12:36,340 --&gt; 00:12:37,710<br/>ten sam kierunek. 245<br/>00:12:37,710 --&gt; 00:12:40,240<br/>Mam nadzieję, że dobrze sięteraz czujesz, myœlšc 246<br/>00:12:40,240 --&gt; 00:12:44,380<br/>o pochodnych funkcji wektorowych. 247<br/>00:12:44,380 --&gt; 00:12:44,866<br/>Koniec.