Wprowadzenie do wykresów funkcji w 3D

Witam wszystkich. Chciałbym tutaj przedstawić w jaki sposób rozumiemy trójwymiarowe wykresy. Trójwymiarowe wykresy są sposobem w jaki przedstawiamy pewne rodzaje funkcji wielu zmiennych, które mają dwa "wejścia" albo raczej dwuwymiarowe wejście i jednowymiarowe wyjście. To, które tutaj zobrazowałem to funkcja f zmiennych x i y równa się x do kwadratu plus y do kwadratu. A zanim zajmiemy się tym wykresem, myślę, że będzie dla nas bardzo pomocne jeśli rzucimy okiem na wykresy dwuwymiarowe i przypomnimy sobie o co w nich chodzi, ponieważ praktycznie to samo robimy w trzech wymiarach wymaga to tylko lepszej wizualizacji. Więc, dwuwymiarowe wykresy przedstawiają pewną funkcję niech to będzie na przykład f od x równe x do kwadratu, a za każdym razem kiedy przedstawiasz funkcję, próbujesz zrozumieć związek pomiędzy jej danymi wejściowymi a wyjściowymi. A są one tylko liczbami, więc, wstaw dwa i dostajesz cztery wstaw minus jeden i dostajesz jeden. Starasz się zrozumieć wszystkie możliwe pary danych wejściowych i wyjściowych. I fakt, że możemy to zrobić że możemy intuicyjnie zrozumieć każdą możliwą parę wejście-wyjście jest naprawdę niesamowite, sposób w jaki przedstawiamy to na wykresie jest nanoszenie tych par. Więc nanosisz punkt, powiedzmy, że chcesz przedstawić punkt (2,4), więc zaznaczasz na wykresie punkt dwa tutaj, jeden, dwa, trzy, cztery, więc chcesz zaznaczyć gdzieś tutaj (2,4), i to przedstawia parę wejście-wyjście. I jeśli zrobisz to, wiesz, z minus jeden, jeden minus jeden, jeden i jeśli zrobisz to dla każdej możliwej pary wejście-wyjście dostaniesz, mogę narysować to niezbyt dobrze, pewną regularną krzywą. Jest tak, ponieważ zwykle myślimy o liczbach na osi x jako o zmiennych wejściowych wiesz, myślimy o jeden jako argumencie funkcji a tu zmienna dwa i tak dalej, a następnie bierzemy wartości funkcji jako wysokość wykresu nad każdym punktem. Lecz to jest konsekwencja tego gdzie umieściliśmy wszystkie pary. Teraz, gdy przejdziemy do świata funkcji wielu zmiennych wiesz, nie pokażę wykresu od razu, przyjmijmy, że mamy do dyspozycji trójwymiarową przestrzeń, z którą możemy zrobić co tylko chcemy. Wciąż chcemy zrozumieć związek pomiędzy wejściem i wyjściem tego typka, lecz w tym przypadku wejście jest czymś o czym myślimy jako o parze punktów, na przykład para (1,2), a wyście będzie równe jeden do kwadratu plus dwa do kwadratu, a to równa się pięć. Więc jak to przedstawimy? Cóż, jeśli zestawimy to wszystko razem naturalne wydaje się myślenie o tym jako o pewnej trójce danych. W tym przypadku chcesz wstawić trójkę (1,2,5) i by zrobić to w trzech wymiarach spójrzmy, pójdziemy jeden w kierunku osi x, tutaj jest oś x więc przesuwamy się o jeden i chcemy pójść o dwa w kierunku y więc przesuwamy się o dwa w tym kierunku a następnie pięć w górę, i to daje nam pewien punkt, prawda? Więc to jest pewien punkt w przestrzeni, a to jest dana para wejście- wyjście. Moglibyśmy to zrobić dla wielu różnych punktów, które dostalibyśmy jeśli zacząłbyś nanosić inne punkty wyglądałoby to mniej więcej tak, oczywiście istnieje nieskończenie wiele takich punktów i zajęłoby to wieczność jeśli chciałbyś narysować je wszystkie w trójwymiarze, lecz co jest naprawdę fajne, to to, że możemy pozbyć się tych linii, jeśli wyobrazisz to sobie dla wszystkich nieskończonych par zmiennych wejściowych, które mógłbyś potencjalnie uzyskać, ostatecznie dostaniesz powierzchnię. W tym przypadku powierzchnia wygląda jak trójwymiarowa parabola, to nie przypadek mamy do czynienia z faktem, że używamy funkcji x kwadrat plus y kwadrat. Teraz zmienne wejściowe (1,2) traktujemy jako leżące na płaszczyźnie xy, prawda? Więc zmienne wejściowe leżą tutaj, a to co odpowiada wartościom funkcji jest wysokość danego punktu nad tą płaszczyzną, tak? Więc jest to bardzo podobne do 2D, traktujemy zmienne wejściowe jako leżące na jednej osi a wysokość to wartość funkcji. Aby dać przykład jakie są tego konsekwencje, chciałbym abyś zastanowił się co stanie się jeśli zmienimy naszą funkcję wielu zmiennych troszeczkę, i pomnożymy wszystko przez 0,5. Więc rysuję tutaj na czerwono, powiedzmy, że mamy funkcję ale zmieniam ją i mnożę 0,5 razy x do kwadratu plus y do kwadratu. Jaki będzie kształt wykresu tej funkcji? A to znaczy, że wysokość każdego punktu nad płaszczyzną xy zmniejszy się o połowę. To tylko modyfikacja tego co mieliśmy do tej pory, ale wszystko zjechało w dół i stało się połową tego czym było. Więc tutaj, wysokość z pięć zmieni się na 2,5. Możesz sobie wyobrazić, powiedzmy, że zrobimy to, nawet bardziej drastyczną modyfikację, zamiast przez 0,5 pomnożymy przez 1/12 użyję tego samego koloru, przez 1/12, to oznacza, że wszystko bardzo się spłaszczy i zbliży do płaszczyzny xy. Tak więc wykres będący bardzo blisko płaszczyzny xy odpowiada bardzo małym wartościom wyjściowym funkcji. Bardzo chciałbym Cię przestrzec przed bardzo kuszącą rzeczą, jaką jest myślenie o każdej funkcji wielu zmiennych jako wykresie, ponieważ przywykliśmy do rysowania w 2D i przywykliśmy do szukania analogii pomiędzy 2D i 3D bezpośrednio, ale jedyny powód dla którego to działa to taki, że jeśli weźmiesz dwa wymiary na wejściu funkcji i jeden na wyjściu to rozsądne zrobić z nich trzy , co zrobiliśmy. Lecz wyobraź sobie, że masz funkcję wielu zmiennych z, powiedzmy, trójwymiarowym wejściem, i dwuwymiarowe wyjście, które wymagać będzie pięciowymiarowego układu współrzędnych, a nie jesteśmy zbyt dobrzy na wizualizacji takich rzeczy. Dlatego jest wiele innych metod, i uważam że to bardzo ważne abyś otworzył na nie swój umysł. W szczególności, jedna którą mam zamiar niedługo przedstawić pozwoli nam spojrzeć na wykresy trójwymiarowe, lecz na dwuwymiarowym planie, i spojrzymy na przestrzeń zmiennych wejściowych zwanych mapą konturową. W innych, jak na przykład funkcje parametryczne, spojrzysz na przestrzeń wartości wyjściowych: w przestrzeni wektorowej widzisz zmienne wejściowe ale uzyskujesz wszystkie wartości wyjściowe. Istnieje mnóstwo innych sposobów, pokażę je w kolejnych filmach. I to są właśnie trójwymiarowe wykresy.