Wartość oczekiwana inwestycji w los na loterii - film z polskimi napisami

Ahmed gra w grę losową, w której musi wybrać 2 cyfry z przedziału od 0 do 9 oraz jedną literę z 26 liter alfabetu łacińskiego. Może wybrać 2 razy tę samą liczbę. Jeśli wybrał odpowiednią kombinację w odpowiedniej kolejności to wygrywa główną nagrodę, i otrzymuje 10,405$. Jeśli tylko literę wylosował odpowiednią, ale jedna lub obie cyfry się nie zgadzają, to wygrywa zaledwie 100$. W każdym innym wypadku przegrywa i nic nie dostaje. Wzięcie udziału w grze kosztuje go 5$. Ahmed wybrał los z kombinacją 04R. Zakładamy że zapłacił 5 dolarów za udział. Zdefiniujmy zmienną losową X, jako zysk Ahmeda z gry. Zastanowimy się, ile wynosi wartość oczekiwana zmiennej X. W zasadzie w tym konkretnym przypadku zastanawiamy się nad wartością oczekiwaną z wyboru losu 04R. Interesuje nas w końcu konkretnie los Ahmeda. Czyli powiedzmy że X to zmienna losowa opisująca zysk z wylosowania w tej grze 04R. W tym filmiku zastanowimy się jaka jest wartość oczekiwana czegoś takiego. Jaki jest oczekiwany zysk z takiego losu? Zachęcam żeby spauzować filmik, i zastanowić się samemu. Przypomnijmy sobie co to wartość oczekiwana. Jest to suma prawdopodobieństw każdego przypadku, pomnożona przez wartość X w danym przypadku. Czyli tutaj prawdopodobieństwo głównej wygranej, które zapiszemy czerwonym kolorem, pomnożone przez zysk z nagrody. Czyli ile? Cóż, wygrywa 10,405$, ale nie jest to jego zysk, bo zapłacił 5$ za los. Czyli zysk to 10,405$ - 5$ = 10,400$. Kolejny przypadek to prawdopodobieństwo mniejszej wygranej, pomnożonej przez zysk, tutaj równy 100$ - 5$ = 95$. Wreszcie jest prawdopodobieństwo przypadku w którym Ahmed nic nie wygra, pomnożone przez "zysk" -5$, które musi zapłacić za udział. Czyli żeby policzyć wartość oczekiwaną, musimy policzyć te prawdopodobieństwa. Wpierw zastanówmy się jaka jest szansa na główną nagrodę. Cóż, szansa że odgadnie pierwszą cyfrę jest 1/10, bo jest 10 różnych cyfr. Tak samo dla drugiej cyfry, szansa 1/10. A szansa na odgadnięcie litery to 1/26. Czyli szansa na główną nagrodę to 1/2600. Zapiszmy tutaj wynik, 1/2600. Teraz jaka jest szansa na wygranie nagrody pocieszenia? Prawdopodobieństwo małej nagrody, pomyślmy, mała nagroda to odgadnięcie litery, ale zły wybór którejś z cyfr. Ma szansę 1/26 na odgadnięcie litery, ale to nie wszystko, bo sama szansa 1/26 dotyczy wszystkich przypadków w których zgadnął literę, włącznie z tym w którym wygrywa główną nagrodę, czyli zgaduje i literę i cyfry. Żeby to uwzględnić musimy odjąć prawdopodobieństwo że dobrze wylosuje obie cyfry i literę. Wiemy już ile to wynosi: 1/2600. Czyli tu piszemy 1/26 - 1/2600. Jeszcze raz: odejmuję 1/2600 ponieważ szansa 1/26 obejmuje wszystkie przypadki odgadnięcia dobrze litery, a jednym z tych przypadków jest odgadnięcie dobrze wszystkich znaków. No ale mała nagroda dotyczy przypadku w którym odgadliśmy literę, ale nie obie cyfry, bo wtedy dostaje się główną nagrodę. Dlatego musimy odjąć prawdopodobieństwo głównej nagrody, czyli prawdopodobieństwo zgadnięcia wszystkich znaków. Pozostaje policzyć szansę na przegraną. Czyli szansa na to że nie wygramy żadnej z nagród. Cóż, to po prostu szansa że nie wydarzą się pozostałe przypadki, czyli musimy odjąć od 1 policzone prawdopodobieństwa. Czyli odejmujemy od 1 szansę na małą nagrodę, i szansę na główną nagrodę. Wiemy że te 3 przypadki to wszystkie możliwe zdarzenia, więc ich prawdopodobieństwa muszą sumować się do 1. Wróćmy do wzoru na wartość oczekiwaną. To wyrażenie to 1/26 - 1/2600. A tutaj mamy 1 - (1/26 - 1/2600) - 1/2600. To wyrażenie możemy jeszcze trochę uprościć, mianowicie 1/2600 się skróci po opuszczeniu nawiasów. Zostaje nam 1 - 1/26. Ten wynik wydaje się bardzo sensowny, bo żeby przegrać musimy źle wylosować literę. Ponieważ na literę mamy szansę 1/26, to 1 - 1/26 to szansa że nic nie wygramy. Czyli 25/26 to szansa że źle zgadniemy literę i nic nie wygramy. Skorzystamy z kalkulatora żeby dokończyć obliczenia. Przy czym będziemy zaokrąglać do 2 miejsc po przecinku. No to mamy: 1/2600 pomnożone przez 10,400, bo taki jest zysk z głównej nagrody. Dalej mamy: 1/26 - 1/2600 pomnożone przez 95, czyli zysk z nagrody pocieszenia. Wreszcie mamy jeszcze 25/26 pomnożone przez -5 które tracimy gdy nic nie wygramy. I uwaga uwaga, dostajemy wartość oczekiwaną równą: Całe 2 dolary i 81 centów! Przynajmniej po zaokrągleniu. Zapiszmy zatem, całe to wyrażenie jest równe 2.81$. Wygląda na to że to wyjątkowa loteria, w której spodziewamy się że wyjdziemy na plus. Przeważnie to organizatorzy loterii zarabiają pieniądze, a nie gracze. W tym przypadku racjonalnym wyborem byłoby wzięcie udziału, mimo że w prawdziwym życiu prawie nigdy tak nie jest. W tej loterii spodziewamy się zarobić 2.81$,